文定良，金 鑫WEN Ding-liang， JIN Xin（.神華包頭煤化工有限責(zé)任公司，包頭 0400；.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院，長沙 40073）

基于拓?fù)鋬?yōu)化的非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)設(shè)計與建模

文定良1，金 鑫2
WEN Ding-liang1， JIN Xin2
（1.神華包頭煤化工有限責(zé)任公司，包頭 014010；2.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院，長沙 410073）

蜂窩填充是實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化的重要手段。針對均勻蜂窩結(jié)構(gòu)未考慮最優(yōu)傳力結(jié)構(gòu)布局的缺點(diǎn)，提出了一種基于拓?fù)鋬?yōu)化的非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模方法。對受力結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，將優(yōu)化密度結(jié)果映射為蜂窩胞元的相對密度分布矩陣，通過用戶自定義特征以及參考基準(zhǔn)的循環(huán)定義提高建模的自動化程度，實(shí)現(xiàn)非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的快速建模。仿真結(jié)果表明，非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)力學(xué)性能更優(yōu)，驗(yàn)證了該方法的有效性。

蜂窩結(jié)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化；CAD建模；ANSYS仿真

0　引言

在航空航天、軌道交通等行業(yè)產(chǎn)品的設(shè)計中，結(jié)構(gòu)的輕量化不僅可以減少產(chǎn)品制造與運(yùn)行的能源消耗，而且可以為產(chǎn)品帶來更遠(yuǎn)的射程、更高的機(jī)動性以及更優(yōu)越的動靜態(tài)性能，是關(guān)系到產(chǎn)品競爭力的關(guān)鍵指標(biāo)。近年來隨著材料制備和成形加工技術(shù)的迅速發(fā)展而出現(xiàn)的超輕蜂窩結(jié)構(gòu)是以高孔隙率為特點(diǎn)，包含貫通或非貫通的二維或者三維孔隙的一類新穎多功能結(jié)構(gòu)［1］。蜂窩結(jié)構(gòu)具有低相對密度的特點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)減重的同時具有高比強(qiáng)度和比剛度，可以實(shí)現(xiàn)抗沖擊［2］、高效傳熱與隔熱［3］、電磁波吸收、吸聲降噪［4］，滿足多功能化的要求［5］。傳統(tǒng)蜂窩結(jié)構(gòu)屬于周期性結(jié)構(gòu)，相對密度分布均勻，制備工藝成熟，雖然從胞元尺度上來看其微結(jié)構(gòu)是優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)，但是從宏觀尺度上來說屬于未優(yōu)化的均勻結(jié)構(gòu)，這樣均勻分布的結(jié)構(gòu)沒有考慮最優(yōu)傳力路徑，輕量化效率不高。

拓?fù)鋬?yōu)化是在滿足性能條件下實(shí)現(xiàn)輕量化目標(biāo)的重要手段，其本質(zhì)是在一定的外力和約束作用下，尋求具有最佳傳力路徑的結(jié)構(gòu)布局形式［6］。拓?fù)鋬?yōu)化在汽車、航空航天、土木工程以及工業(yè)裝備等領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)設(shè)計中發(fā)揮了越來越大的作用［7，8］，目前商業(yè)應(yīng)用最成熟的是Rozvany［9］提出的SIMP（固體各向同性材料懲罰模型）方法，以設(shè)計空間每個單元的密度作為設(shè)計變量，最優(yōu)設(shè)計結(jié)果是結(jié)構(gòu)各部分的0～1之間的密度分布，可以將拓?fù)鋬?yōu)化的最優(yōu)密度結(jié)果向蜂窩胞元的相對密度進(jìn)行映射，從而得到非均勻的蜂窩結(jié)構(gòu)，在宏觀結(jié)構(gòu)和細(xì)觀胞元兩個尺度實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，提高結(jié)構(gòu)輕量化效率。

蜂窩結(jié)構(gòu)的建模有兩種方式，一是使用CAD平臺進(jìn)行交互式建模，其問題在于：由于蜂窩胞元的非均勻特性，不便于使用陣列或鏡像等具有周期性的操作進(jìn)行直接建模，手動建模復(fù)現(xiàn)難度大，成本高，時間周期長。二是使用快速成型前處理軟件，例如Magics。這一類軟件為基于STL格式模型的固定單元填充，該方案進(jìn)行非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模的主要問題在于：非均勻結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)困難，基本都只有均勻胞元填充功能，建模對象為STL格式，不利于優(yōu)化設(shè)計后的結(jié)構(gòu)處理調(diào)整，若結(jié)構(gòu)生成后出現(xiàn)細(xì)節(jié)缺陷，需要返回CAD軟件中進(jìn)行修改。因而，通過引入適當(dāng)?shù)姆椒▽AD軟件進(jìn)行二次開發(fā)，提高建模自動化程度對于非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的建模具有重要意義。

1　結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

對于非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，其參照結(jié)構(gòu)是均勻密度的蜂窩結(jié)構(gòu)，即通過拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)現(xiàn)在相同的減重比情況下的最大剛度。依據(jù)文獻(xiàn)［10］給出最小柔順性問題的一般性定義：在給定材料體積約束條件下，尋求設(shè)計域內(nèi)材料的最優(yōu)分布，實(shí)現(xiàn)最大化剛度的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。因此對結(jié)構(gòu)建立最小柔順度優(yōu)化模型，以單元相對密度作為設(shè)計變量，在體積約束下求最大剛度，進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化建模。

優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)最大化剛度，也就是結(jié)構(gòu)的柔度最小，柔度表達(dá)式為：

其中K是結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，可以表達(dá)為單元密度的函數(shù)，U是結(jié)構(gòu)的位移矩陣，F(xiàn)是結(jié)構(gòu)所受外力。約束條件包括體積約束、單元密度范圍約束以及其他約束。體積約束表示結(jié)構(gòu)在固定的體積百分比范圍內(nèi)進(jìn)行單元密度排布，約束體積分?jǐn)?shù)取初始均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)。單元密度范圍約束為考慮到密度過小單元胞壁過薄以及密度過大單元中心孔過小，都不利于制造，因此最小密度和最大密度取0.2和0.9。其他約束包括在設(shè)計時需要考慮的制造、使用方面的其他要求，以表示。由此可得，進(jìn)行等效連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：

針對建立的優(yōu)化模型，進(jìn)行問題的求解的關(guān)鍵步驟是進(jìn)行靈敏度分析，求得目標(biāo)函數(shù)C對設(shè)計變量xe的靈敏度［10］：

針對壁厚梯度約束等特定的設(shè)計要求，過濾并更新靈敏度函數(shù)，基于目標(biāo)函數(shù)的靈敏度，采用優(yōu)化準(zhǔn)則算法優(yōu)化更新設(shè)計變量［11］。

2　胞元密度矩陣映射

圖1　設(shè)計對象的幾何結(jié)構(gòu)與受力狀況

針對具體設(shè)計對象如圖1所示，為長120lmm=，寬w=60mm，厚度b=10mm，頂端承受均布壓力F=60N的固體板狀設(shè)計域，胞壁實(shí)體材料彈性模量E=7.2×1010Pa，泊松比v=0.3。因?yàn)橹怀惺芊涓C胞壁方向的力，參考Wang［12］進(jìn)行的包括六邊形蜂窩、正方形蜂窩、全三角蜂窩在內(nèi)的典型蜂窩結(jié)構(gòu)力學(xué)性能對比分析，選擇正方形胞元構(gòu)造變密度的蜂窩結(jié)構(gòu)。以優(yōu)化求解得到的單元密度矩陣為基礎(chǔ)，將胞元所在有限單元密度進(jìn)行平均運(yùn)算，映射求解胞元密度分布矩陣。具體過程如圖2所示，分為以下三步：

1）輸入?yún)?shù)確定。包括設(shè)計域長度length，設(shè)計域?qū)挾葁idth，胞元尺度a，拓?fù)鋬?yōu)化有限單元尺寸r，拓?fù)鋬?yōu)化單元密度矩陣xe。

圖2　密度映射示意圖

2）胞元排布確定。以設(shè)計域左上角頂點(diǎn)作為胞元排布起始點(diǎn)，x方向胞元排布數(shù)目為y方向胞元排布數(shù)目為其中ceil表示可能出現(xiàn)邊緣胞元超出設(shè)計域情況，進(jìn)行向上取整。

3）胞元密度矩陣求解。針對行為j、列為i的胞元。其胞元邊界坐標(biāo)為：

胞元所在有限單元密度矩陣的對應(yīng)邊界行列為：

對行列范圍內(nèi)的有限單元密度進(jìn)行平均化求解，得到胞元的映射密度：

3　非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模

以映射得到的胞元排布和密度矩陣為輸入，進(jìn)行變密度蜂窩結(jié)構(gòu)的建模，本文選擇PTC公司的Creo作為結(jié)構(gòu)建模CAD軟件，使用Creo中的用戶自定義特征（UDF）方法簡化建模過程，基于其功能豐富的Pro/ Toolkit函數(shù)庫進(jìn)行Creo的二次開發(fā)，編寫變密度蜂窩結(jié)構(gòu)自動建模生成的輔助應(yīng)用程序。

非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模的總體流程如圖3所示，首先分析需要導(dǎo)入的蜂窩胞元特征，建立參數(shù)化模型與參考基準(zhǔn)列表，依此完成胞元UDF的創(chuàng)建。正方形胞元結(jié)構(gòu)UDF示意圖如圖4所示。圖中關(guān)鍵參數(shù)與參考基準(zhǔn)如表1所示。構(gòu)成參數(shù)化的UDF。

圖3　非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模流程圖

圖4　正方形胞元結(jié)構(gòu)UDF

表1　正方形胞元參數(shù)與參考列表

胞元尺寸參數(shù)與胞元相對密度x之間滿足以下關(guān)系式，從而確定各胞元的基本參數(shù)取值。

第二步將依據(jù)位置信息與胞元結(jié)構(gòu)信息生成基準(zhǔn)的功能封裝為基準(zhǔn)生成模塊，基準(zhǔn)面的類型包括默認(rèn)基準(zhǔn)面與偏距基準(zhǔn)面。默認(rèn)基準(zhǔn)面是系統(tǒng)在默認(rèn)初始坐標(biāo)系下的三個標(biāo)準(zhǔn)正交平面，是起始胞元的參照；其他胞元的基準(zhǔn)為偏距基準(zhǔn)面，以默認(rèn)基準(zhǔn)面為參考，需要定義偏距值以及基準(zhǔn)排布個數(shù)，其中偏距值為胞元邊長d1，基準(zhǔn)排布為第2節(jié)中確定的x方向胞元排布數(shù)目和y方向胞元排布數(shù)目。

最后將胞元UDF與基準(zhǔn)生成模塊結(jié)合，導(dǎo)入設(shè)計域尺寸、胞元外形尺寸以及胞元密度矩陣數(shù)據(jù)，基于這些數(shù)據(jù)進(jìn)行參考基準(zhǔn)的生成及可變參數(shù)的賦值，實(shí)現(xiàn)對各個單胞的空間位置及形狀的循環(huán)定義，生成變密度蜂窩結(jié)構(gòu)模型。

4　結(jié)果及其分析

圖1所示對象的拓?fù)鋬?yōu)化密度分布以及非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模結(jié)果如圖5所示。經(jīng)過密度映射以及CAD建模后的蜂窩結(jié)構(gòu)模型完整無缺陷，能夠較好地反映拓?fù)鋬?yōu)化的密度分布。

圖5　優(yōu)化設(shè)計與蜂窩結(jié)構(gòu)建模結(jié)果對比

采用ANSYS作為仿真分析工具，對均勻蜂窩結(jié)構(gòu)以及非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的抗壓剛度進(jìn)行分析對比，其中uy為受壓頂部所有單元的y方向平均位移，F(xiàn)為頂部受到的壓力。蜂窩結(jié)構(gòu)受壓變形如圖6所示。

圖6　蜂窩結(jié)構(gòu)受壓變形對比

計算得到均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的抗壓剛度為145197N/ mm，非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的抗壓剛度為164383N/mm，剛度提升幅度為13.2%，在相同減重比情況下，拓?fù)鋬?yōu)化后的變密度蜂窩結(jié)構(gòu)抗壓剛度相比均勻密度蜂窩結(jié)構(gòu)剛度有明顯提高，驗(yàn)證了基于拓?fù)鋬?yōu)化的非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模的有效性。

5　結(jié)論

1）提出了一種基于拓?fù)鋬?yōu)化的非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模方法。對受力結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，將優(yōu)化密度結(jié)果映射為蜂窩胞元的相對密度分布矩陣，通過用戶自定義特征以及參考基準(zhǔn)的循環(huán)定義提高建模自動化程度，實(shí)現(xiàn)非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的快速建模。

2）經(jīng)過密度映射以及CAD建模后的蜂窩結(jié)構(gòu)模型完整無缺陷，能夠較好地反映拓?fù)鋬?yōu)化的密度分布。

3）分析對比了均勻蜂窩結(jié)構(gòu)以及非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)的抗壓剛度，結(jié)果表明優(yōu)化后的非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)抗壓剛度性能更優(yōu)，驗(yàn)證了基于拓?fù)鋬?yōu)化的非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模方法的有效性。

［1］ Wadley H N G.Multifunctional periodic cellular metals［J］.Phil Trans R Soc A，2006，364：31-68.

［2］ Elnasri I，Pattofatto S，et al.Shock enhancement of cellular structures under impact loading： Part I Experiments［J］.J Mech Phys Solids，2007，55（12）：2652-2671.

［3］ Tian J， Kim T，Lu T J， et al. The effects of topology upon fluidflow and heat-transfer within cellular copper structures［J］.Int J Heat Mass Transf，2004，47：3171-3186.

［4］ Wang J， Lu T J，Woodhouse J， et al. Sound transmission through lightweight double-leaf partitions： theoretical modeling［J］.J Sound Vibr，2005，286：817-847.

［5］ Fan H L， Jin F N， Fang D N.Mechanical properties of hierarchical cellular materials： Part I Analysis［J］.Compos Sci Technol， 2008，68：3380-3387.

［6］ 左孔天.連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論與應(yīng)用研究［D］.長沙：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010.

［7］ Zuo Kongtian. Research of theory and application about topology optimization of continuum structure［D］.Changsha：National University of Defense Technology，2010.（in Chinese）

［8］ Gil Ho Yoon.Maximizing the fundamental eigenfrequency of geometrically nonlinear structures by topology optimization based on element connectivity parameterization［J］.Computers and Structures，2010，88：120-133.

［9］ Soren Halkj?r， Ole Sigmund，Jakob S Jensen.Maximizing band gaps in plate structures［J］.Struct Multidisc Optim，2006，32：263-275.

［10］ Rozvany GIN， Zhou M，Birker T. Generalized shape optimization without homogenization［J］.Struct Optim，1992，4：250-254.

［11］ Bendsoe M P. Topology Optimization：Theory，Methods and Applications［M］.Berlin： Springer，2003.

［12］ Erik Andreassen，Anders Clausen，et al.Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code. Struct. Multidiscip.Optim，2011，43（1）：1-16.

［13］ Wang A J， McDowell D L. In-plane stiffness and yield strength of periodic metal honeycombs［J］.ASME J Eng Mater Technol，2004，126：137-156.

Design and modeling of non-uniform honeycomb structures based on topology optimization

TN95

A

1009-0134（2016）08-0130-04

2016-07-29

文定良（1964 -），男，湖南人，高級工程師，工程碩士，主要工作內(nèi)容為石油化工及煤化工的設(shè)備技術(shù)管理及工程管理。