張琳，劉宣會，陳會

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

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部分信息下股價帶跳的套期保值問題研究

張琳，劉宣會，陳會

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

在有重大事件出現(xiàn)時，股價會出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍，這時一般將股票價格考慮為帶有Markov調(diào)制參數(shù)的跳-擴散模型。為了追求風(fēng)險最小化或收益最大化，建立了部分信息下的跳-擴散模型(考慮到幾何布朗運動已經(jīng)無法準(zhǔn)確的刻畫股價的波動)，在股票價格服從跳-擴散過程時，通過運用非線性濾波技術(shù)，將部分信息的問題轉(zhuǎn)化為完全信息的問題，并采用隨機微分對策的思想，在均值-方差的準(zhǔn)則下，運用It公式，得到最優(yōu)套期保值策略的顯示解。

跳-擴散過程；隨機微分對策；套期保值；It公式

引言

套期保值是數(shù)理金融學(xué)研究的主要問題之一，套期保值者為了取得在一定風(fēng)險水平下的最高收益或一定收益水平下的最低風(fēng)險，決定現(xiàn)貨和期貨市場的交易頭寸，以達到最優(yōu)套期保值的目的，這就出現(xiàn)了最優(yōu)套期保值策略問題。隨著金融學(xué)與隨機學(xué)等近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用，最優(yōu)套期保值策略問題已成為金融數(shù)學(xué)中的熱門領(lǐng)域之一。文獻[1]最早提出了均值-方差的組合投資理論，文獻[2-3]認(rèn)為交易者進行套期保值實際上是對現(xiàn)貨市場和期貨市場的資產(chǎn)進行組合投資。文獻[4]研究了在標(biāo)的資產(chǎn)服從Levy過程時，運用局部風(fēng)險最小方法，得到了最優(yōu)套期保值策略。文獻[5]考慮了標(biāo)的資產(chǎn)是由布朗運動驅(qū)動的金融市場，采用了動態(tài)規(guī)劃原理，給出了套期保值策略。近年來，國內(nèi)外眾學(xué)者也對套期保值問題進行了不同層次的研究[6-11]，其中利用均值-方差準(zhǔn)則[12-16]研究已成為熱點之一，而利用隨機微分對策思想研究套期保值問題較為新穎。本文考慮了部分信息下的股價帶跳的套期保值模型，采用了隨機微分對策思想，在均值-方差的準(zhǔn)則下，最終得到最優(yōu)套期保值策略。

1　套期保值模型的建立

當(dāng)有重大事件出現(xiàn)時(如經(jīng)濟危機、政治事件等)，會對股票價格產(chǎn)生沖擊，股價會出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍，這時一般將股票價格考慮為跳躍-擴散模型。這里考慮金融市場只有一種無風(fēng)險資產(chǎn)與一種風(fēng)險資產(chǎn)的情形(多維情況與一維情況無本質(zhì)上的差異)。

設(shè)無風(fēng)險資產(chǎn)P0(t)服從微分方程：

風(fēng)險資產(chǎn)S(t)服從隨機微分方程：

設(shè)(Ω,F,P)為一完備概率空間，W(t),N(t)為(Ω,F,P)上標(biāo)準(zhǔn)的Brown運動與強度為λ的Poisson過程，s(t)為其上時間連續(xù)平穩(wěn)Markov鏈，M是有限狀態(tài)空間，M={1，2，...m}，而且假設(shè)W(t)，N(t)與s(t)相互獨立，s(t)具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率，

pij(t)=p{s(t)=j|s(0)=i},t>0,i,j=1,2,...m

證券預(yù)期收益率μ(t,s(t))已知，金融市場參數(shù)σ(t,s(t))，φ(t,s(t))均為Ft的適應(yīng)隨機過程。

設(shè)投資者初始財富為X(0)=x0，π(t)表示t時刻投資者在股票上投資財富的市場價值，此時的財富過程為X(t)，那么

dX(t)=[r(t)X(t)+b(t,s(t))π(t)]dt+

σ(t,s(t))π(t)dW(t)+

π(t)φ(t.s(t))dN(t)

(1)

其中，

b(t,s(t))=μ(t,s(t))-r(t)

定義2稱ξ為一未定權(quán)益，若ξ為Ft可測的，而且ξ∈L2(Ω,R)。

考慮套期保值問題(P)：

2　將部分信息轉(zhuǎn)換為完全信息

部分信息轉(zhuǎn)化為完全信息狀態(tài)就是將η(t,s(t))和λt轉(zhuǎn)化為Gt可測，所以設(shè)：

d=dt+dWt

<μ,Lf>dt+[<μ,Gtf>-

同理求得

考慮一組新的過程

將部分信息的情況轉(zhuǎn)化為完全信息的情況，所以描述的套期保值問題(P)可以敘述為：J(X0:π(t))=MinE[X(T)-ξ]2，其約束條件為：

3　最優(yōu)套期保值策略

假設(shè)2Ep2(t,s(t))dt<∞

假設(shè)3E[π(t)φ(t,s(t))-1]2<∞

定理1 在假設(shè)1，2，3條件下，問題(P)的最優(yōu)解為：

(2)

證明引入倒向隨機微分方程

r(t))-β(t,s(t))]dt+

[π(t)σ(t,s(t))-1]dW(t)+

[π(t)φ(t,s(t))]dNt

(3)

r(t))-β(t,s(t))+

d{p(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))]2}=

p(t,s(t))d[X(t)-h(t,s(t))]2+

[X(t)-h(t,s(t))]2dp(t,s(t))+

d=

2p(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))][r(t)X(t)+

2p(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))]·

2p(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))]·

p(t,s(t))[π(t)σ(t,s(t))-1]2dt+

[X(t)-h(t,s(t))]2m(t,s(t))dt+

2h(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))]·

[π(t)σ(t,s(t))-1]dt

(4)

對(4)式從0到T積分然后求數(shù)學(xué)期望可知

E{p(t,s(t))[X(T)-h(T,s(T))]2}=

p(0,s(0))[X(0)-h(0,s(0))]2+

則

H(t,s(t))=

2[X(t)-h(t,s(t))][r(t)X(t)+

2[X(t)-h(t,s(t))](π(t)σ(t,s(t))-1)

σ2(t,s(t))π2(t)+2[X(t)-h(t,s(t))]·

2[X(t)-h(t,s(t))][r(t)X(t)-β(t,s(t))-

(5)

在(5)式中取

β(t,s(t))=

(6)

E{p(t,s(t))[X(T)-h(T,s(T))]2}=E[X(T)-ξ]2=

p(0,s(0))[X(0)-h(0,s(0))]2+

當(dāng)β(t,s(t))滿足(6)式時，H(t,s(t))就為π(t)的完全平方式，這時當(dāng)π(t)滿足(2)式時，H(t,s(t))=0，顯然最小，從而得到的最優(yōu)套期保值策略π(t)為：

4　結(jié)束語

文章在具有部分信息條件下，股價服從具有Markov調(diào)制參數(shù)的跳-擴散過程時，研究了均值-方差準(zhǔn)則下最優(yōu)套期保值問題，先用非線性濾波技術(shù)，將部分信息轉(zhuǎn)化為完全信息，運用倒向隨機微分方程得到最優(yōu)套期保值策略。

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Researche on Problem of Hedging for Price of Stock with Jump-diffusion Processes Under Partial Information

ZHANG Lin, LIU Xuan-hui, CHEN Hui

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

When an important things occurs,the stock price will be discontinuous jumps and generally be considered as jump-diffusion model with Markov modulation Parameter.To minimize risk and maximize revenue, the part of the information under the jump diffusion model to be seted up (Taking into account the geometric Brown movement has been unable to accurately portray the volatility of the stock price). When the stock price follows the jump diffusion process, using nonlinear filtering technique, transforming partial information into complete information, under the mean variance criterion by adopting the idea of stochastic differential game, by using Itformula,display solution of optimal hedging strategy is obtained.

jump-diffusion process; stochastic differential games; hedging; Itformula

2015-12-27

國家自然科學(xué)基金青年項目(11501434)

張琳(1990-)，女，陜西西安人，碩士生，主要從事金融數(shù)學(xué)方面的研究，(E-mail)495269402@qq.com；

劉宣會(1964-)，男，陜西乾縣人，副教授，主要從事隨機控制，數(shù)理金融，風(fēng)險管理方面的研究，(E-mail)lxh1112011@163.com

1673-1549(2016)02-0085-05

10.11863/j.suse.2016.02.17

F830；O211

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