沈澄

(浙江工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江寧波315012)

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n維空間上一類對(duì)稱區(qū)域的n重積分性質(zhì)及其應(yīng)用研究

沈澄

(浙江工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江寧波315012)

n重積分與定積分的概念在數(shù)量關(guān)系上的一致性使它們具有諸多類似的性質(zhì)，單變量奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上定積分的運(yùn)算性質(zhì)，能夠推廣到n維空間一類對(duì)稱區(qū)域的n重積分。通過(guò)討論空間對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)輪換，以及對(duì)稱點(diǎn)從對(duì)稱區(qū)域Ω1到Ω2映射變換的Jacobian行列式，性質(zhì)推廣得以嚴(yán)格證明。結(jié)論作為基礎(chǔ)理論具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值：簡(jiǎn)化n維球體的面積公式推導(dǎo)；巧用對(duì)稱性提高工程計(jì)算效率；幫助人們更好地理解和討論n維空間的數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)解題行為。

n維空間；n重積分；有界閉域；對(duì)稱

引言

單變量奇偶函數(shù)的定積分運(yùn)算是常見(jiàn)的定積分應(yīng)用，它在對(duì)稱區(qū)間上的運(yùn)算性質(zhì)能夠推廣到n維空間上一類對(duì)稱區(qū)域的n重積分，文獻(xiàn)[1-2]給出了該定積分性質(zhì)對(duì)單變量函數(shù)成立的證明與應(yīng)用，文獻(xiàn)[3]的研究將其推廣到二維、三維空間的積分運(yùn)算，文獻(xiàn)[3-9]針對(duì)二元、三元奇偶函數(shù)基于不同類型對(duì)稱區(qū)域上重積分進(jìn)行了具體的運(yùn)算與討論，文獻(xiàn)[4]定義了n元奇偶函數(shù)，文獻(xiàn)[4-6]指出該性質(zhì)對(duì)n元函數(shù)也成立，但沒(méi)給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。文獻(xiàn)[10]指出，若n元函數(shù)f (x1, x2,…,xn)在下列不等式確定的n維空間有界閉域內(nèi)連續(xù)，

其中，a、b為常數(shù)，hi(x1,x2,…,xi-1)與φi(x1,x2,…,xi-1)均為連續(xù)函數(shù)(i=2,3,…,n)，則對(duì)應(yīng)的n重積分計(jì)算公式[10]：

但未涉及空間對(duì)稱域重積分性質(zhì)的討論。因此，本文探究證明這個(gè)性質(zhì)推廣的正確性并賦予應(yīng)用。

1　二維有界對(duì)稱閉域上定積分的性質(zhì)定理

引理1[1-2]若f(x)在閉區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，那么?x∈[0,a]有：

(I)有界閉域D可劃分為對(duì)稱的兩部分D1和D2，對(duì)稱點(diǎn)P(x,y)∈D1，P′∈D2；

(II)被積函數(shù)在對(duì)稱點(diǎn)處的值相等或互為相反數(shù)，那么對(duì)?P∈D1有：

其中點(diǎn)P′的坐標(biāo)由區(qū)域D的對(duì)稱類型確定。如：D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則P(x,y)∈D1，P′(-x,-y)∈D2；D關(guān)于y=x對(duì)稱，則P(x,y)∈D1，P′(y,x)∈D2。

2　n維空間上一類對(duì)稱區(qū)域的n重積分性質(zhì)證明

(I)空間有界閉域Ω可劃分為對(duì)稱的兩個(gè)子空間域Ω1和Ω2，對(duì)稱點(diǎn)P(x1,x2,…,xn)∈Ω1，P′∈Ω2；

(II) 被積函數(shù)在空間對(duì)稱點(diǎn)處的值相等或互為相反數(shù)，那么對(duì)?P∈Ω1有：

其中對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)由空間域Ω的對(duì)稱類型確定。

證明(1)有界閉域Ω關(guān)于Xi(i=1,2,…,n)單維對(duì)稱。令

xj=xi(j=i=1,2,…,n)

xj=-ti(j≠i；i,j=1,2,…,n)

則

P(x1,x2,…,xi,…,xn)∈Ω1

P′(-x1,-x2,…,xj,…,-xn)∈Ω2

這個(gè)變換的Jacobian行列式[11]記為△，因此

故對(duì)?P∈Ω1有：

所以

(1)

(2)有界閉域Ω關(guān)于Xi中任意(k+1)維對(duì)稱(i=1,2,…,n-1；k=1,2,…,n-i)，不妨取Xi,…,Xi+k(i=1,2,…,n-1；k=1,2,…,n-i)，令

xj+k=xi+k(j=i=1,2,…,n-1；k=1,2,…,n-i)

xj=-ti(i=1,2,…,n-1；k=1,2,…,n-i；

j=1,2,…,i-1,i+k+1,…,n)

則

P(x1,x2,…,xi,…,xi+k,…,xn)∈Ω1

P′(-x1,-x2,…,xj,…,xj+k,…,-xn)∈Ω2

故

因此對(duì)?P∈Ω1有：

同(1)式的的推尋過(guò)程，結(jié)論成立。

(3)定理3[12]設(shè)n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在空間域Ω上可積，且滿足：

(I)空間域Ω的邊界方程中將xi、xj對(duì)換后Ω的邊界方程不變；

(II)將積分變量xi、xj對(duì)換后，積分元素不變，則

因此，討論定理2中點(diǎn)P(x1,…,xi,…,xi+k,…,xn)的對(duì)稱性與xi,…,xi+k的序無(wú)關(guān)，故定理2證畢。

3　n維球體的面積公式推導(dǎo)

眾所周知，在n維歐氏空間Rn中，以原點(diǎn)為中心，a為半徑的n維球體定義為：

它的球面Sn-1(a)的顯示方程為：

當(dāng)Rn中任意(n-1)維曲面S有顯示表示xn=f (x1, x2,…,xn-1)時(shí)，S的面積σ(S)的計(jì)算公式[13-14]為：

(2)

有界單變量函數(shù)f在球體Bn(a)上的積分[13]為：

(3)

因此根據(jù)球的對(duì)稱性，應(yīng)用本文定理2和(2)式，球面Sn-1(a)的面積作如下推導(dǎo)：

σ(Sn-1(a))=

令t=asinu，結(jié)合Γ函數(shù)的性質(zhì)，得到n維球體的面積公式：

4　工程上的重積分應(yīng)用

4.1n維體的體積

n重積分定義n維空間區(qū)域有界點(diǎn)集的體積問(wèn)題，取被積函數(shù)為1，一個(gè)n維有界閉域V(x1,…,xn)的體積：

通常采用變換轉(zhuǎn)化為重?cái)?shù)較低的積分完成計(jì)算。若分析Vn的對(duì)稱性，此時(shí)積分運(yùn)算將得到簡(jiǎn)化。文獻(xiàn)[15]中：

If a>0 and n>2，let Vn(a) denote the following set in Rn：

i=1,...,n-1}

可將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步推廣：

設(shè)

ai>0(i=1,2,...,n),n≥2

求Vn的體積。

4.2工程積分案例

重積分亦廣泛應(yīng)用于工程中空間曲面面積、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力等工程問(wèn)題，積分對(duì)稱性依然發(fā)揮著計(jì)算的優(yōu)勢(shì)。

將一個(gè)質(zhì)量均勻的圓臺(tái)物體的下底面圓心放置于坐標(biāo)原點(diǎn)，中心軸置于z軸，如果圓臺(tái)的高為h，上、下底面圓的半徑分別為a，b(b>a>0)，密度μ為常數(shù)，那么側(cè)面圓錐面的方程為：

工程中求它繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是重積分在工程上的應(yīng)用。

微元法思想告知，對(duì)占有空間區(qū)域Ω的物體若密度為μ(x,y,z)，該物體繞x軸、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

因?yàn)樵摪咐摩冈趜軸上的投影區(qū)間為[0，h]，所以

這里Ωz是平面z=z(z∈[0,h])截立體Ω的截痕區(qū)域，即

于是

(4)

所以

考慮到積分區(qū)域關(guān)于x、y輪換對(duì)稱，將x、y互換得到

然而

(5)

12a2h2+6abh2+2b2h2)

5　結(jié)束語(yǔ)

二重積分、三重積分 、n重積分，盡管它們被積函數(shù)的變量個(gè)數(shù)不同，積分區(qū)域不同，但仍存在許多共性，n重積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要內(nèi)容，n重積分的概念是采用分割取近似、求和取極限的數(shù)學(xué)思想，建立特定積分和式的極限[16]來(lái)定義，因而在數(shù)量關(guān)系上的一致性，使它們具有諸多類似的性質(zhì)，如積分區(qū)間可加性、換元積分、分部積分等，對(duì)一元函數(shù)成立的積分運(yùn)算性質(zhì)、公式、結(jié)論是否都能推廣到n維空間，這需要建立n重積分的理論體系。本文基于單變量奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上定積分運(yùn)算性質(zhì)，推廣到n維空間上一類對(duì)稱區(qū)域n重積分，是通過(guò)空間對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)輪換的討論，以及對(duì)稱點(diǎn)從對(duì)稱區(qū)域Ω1到Ω2映射變換的Jacobian行列式計(jì)算而實(shí)現(xiàn)。論證n維空間特殊區(qū)域n重積分的這個(gè)性質(zhì)作為常規(guī)性原理的正確性，由此奠定的理論基礎(chǔ)為求解n重積分的數(shù)學(xué)計(jì)算，提供了簡(jiǎn)便的求解方法。巧用積分對(duì)稱性提高解題效率，從而幫助人們更好地理解和討論n維空間的數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)解題行為。

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京:高等教育出版社,2014.

[2] 邊文莉.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)[M].2版,北京:高等教育出版社，2012.

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A Study on n-Degree Integral Properties and Applications of a Class of Symmetric Region on the n-Dimensional Space

SHEN Cheng

(Zhejiang Business Technology Institute, Ningbo 315012, China)

The concept of n-degree integral and definite integral has a number of similar properties because of the consistency of quantitative relation. The operation properties of integral for univariate odd and even functions in symmetric domains can be generalized to n-degree integral in symmetric domains of n-dimensional space. By discussing the coordinate transformation of space symmetric points, Jacobian determinant for the projective transformation of the symmetric points projected from symmetric domain Ω1to Ω2, the generalized propevties are strictly proved. The conclusion as a basic theory has meaningful applied value. The derivation of the formula for calculating surface area of n-dimensional sphere can be simplified. Using symmetry to improve the efficiency of engineering computation. All of these have strong positive influences on forming mathematical thinking and problem-solving skills.

n-dimensional space; n-degreel integral; closed and bounded domain; symmetry

2015-12-22

浙江省高等教育課堂教學(xué)改革研究項(xiàng)目(kg2015718)

沈 澄(1963-)，女，浙江寧波人，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)方面的研究，(E-mail)4181649@qq.com

1673-1549(2016)02-0090-05

10.11863/j.suse.2016.02.18

O13

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