☉江蘇省南通市第一初級中學　周紅娟

開放與放開：概念生成與例題變式的教學追求——從“三角形內(nèi)角和”教學說起

☉江蘇省南通市第一初級中學周紅娟

幾何新授課教學一直是教學研討的重點，特別是幾何概念如何生成？新概念怎樣得到運用和鞏固？都是教師值得精心設(shè)計的主題.本文從近期筆者開設(shè)的一節(jié)“三角形內(nèi)角和”教學研討課的兩個教學片斷說起，并圍繞幾何概念的生成、例題教學的開放兩個角度進一步闡釋，提供研討.

一、從“三角形內(nèi)角和”教學說起

教學片斷1：三角形內(nèi)角和定理的情境引入.

師：小學我們就已經(jīng)知道三角形三個內(nèi)角的和等于180°，當時你是如何驗證這個結(jié)論的？

生1：把三角形的三個角都用量角器測量出來，然后加起來發(fā)現(xiàn)是180°.

生2：用折紙的方法，將三角形折成一個長方形（演示過程如圖1所示）

圖1

圖2

圖3

生3：也可以把三角形的三個角剪下來，拼到一起，發(fā)現(xiàn)構(gòu)成一個平角.

師：幾種方法都正確.現(xiàn)在大家利用手中的三角形，通過剪和拼的方法驗證我們的結(jié)論.（學生大多拼成類似圖2或圖3的圖形）

師：現(xiàn)在我們本子上或黑板上畫的這個三角形，無法將角剪下來，我們能不能從剛才實驗操作的過程中總結(jié)方法，嘗試證明三角形的內(nèi)角和是180°呢？

（學生先獨立思考，然后在小組之間進行交流）

解讀：三角形內(nèi)角和為180°是學生在小學就已熟知的一個性質(zhì)，但是小學圖形學習并不要求推理證明，這里通過引導學生回顧當時是如何通過剪拼“實驗”驗證這一性質(zhì)，主要意圖并不是重復小學階段的剪拼活動，而是重新反思這些操作活動的原理，并由這些操作活動得到的“拼接線”受到啟發(fā)，作出相應的輔助線，為進一步推理證明獲得思路啟發(fā).

教學片斷2：三角形內(nèi)角和定理的例題教學環(huán)節(jié).

在“三角形的內(nèi)角和”的例題教學環(huán)節(jié)中，設(shè)計了以下兩個問題鞏固定理.

問題1：在△ABC中.

（1）若∠A=50°，_________________，則∠C的度數(shù)是_______________.

（2）若_____________________________，則∠C的度數(shù)是_______________.

（補充一個條件，使能求出∠C的度數(shù)）

生4：若∠B=60°，則∠C=70°.

生5：若∠B比∠A大10°，則∠C=70°.

師：不錯，三角形中已知兩個角，就能求出第三個角的度數(shù).

哪位同學還能補充一個與此不同類型的條件？

生6：若∠C=∠A，則∠C=50°.

生7：若∠B=∠A，則∠C=80°；若∠B=∠C，則∠C= 65°.

這時學生在考慮他們熟悉的一些圖形，在嘗試分析三角形三個角之間的關(guān)系.

（在短暫的等待后）生8：若∠B-∠C=10°，則∠C= 60°.

師：為什么想到補充這樣的條件？

生8：如果∠A=50°，則∠B+∠C=130°，再補充∠B-∠C=10°的條件，就可以組成方程組.

師：正確！△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°是關(guān)于∠A、∠B、∠C的一個數(shù)量關(guān)系，當已知其中兩個角，則可求得第三個角，當已知其中一個角，則可求得另外兩角之間的關(guān)系.

解讀：由于學生在小學階段就運用三角形內(nèi)角和性質(zhì)解過大量的習題，所以我們安排的例題就沒有重復小學的練習類型，而是設(shè)計成開放式的問題，讓學生參與設(shè)計，結(jié)果精彩紛呈，出現(xiàn)豐富的題型，并且結(jié)合了方程組的思想，從多個等量關(guān)系的角度解讀學生設(shè)計問題，也使得例題的講評更加有了初中階段的“學段特點”.

二、關(guān)于幾何概念生成與運用的思考

以上再現(xiàn)了筆者在“三角形內(nèi)角和”教學時的兩個教學片斷，下面再圍繞幾何概念生成和鞏固運用給出進一步的闡釋和思考.

1.重視知識的生成過程，注重引導學生自主學習

在上文“教學片斷1”可以發(fā)現(xiàn)，教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ).“三角形的內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論學生非常熟悉，折紙亦或剪拼對他們來說也容易接受，但是最后的“如何證明”這個問題很快將學生的思維由直觀感知引向嚴密的邏輯思維.學生需要思考用怎樣的數(shù)學方法不改變角的大小但是改變它的位置？這時就有學生想到通過構(gòu)造平行線來等量轉(zhuǎn)換角.雖然拼成圖3的同學在學習過程中遇到了一些阻礙，我們不用急于告訴學生這種拼的方法行不通，無法證明.全國著名特級教師李庾南老師專家報告曾提及如下觀點：中考復習期間，較難綜合題講解時，常常向?qū)W生展示合理念頭往前推演，思路受阻時，解決問題的智慧在于：合理念頭，推演幾步，思路受阻，回頭是岸，調(diào)整方向，貫通思路，反思全程，明辨“是非”.筆者深有共鳴：這樣的過程，才能讓學生從被動接受性學習轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃荧@取性學習，學生的自主學習能力才能獲得提升.

2.開放例題追求變式生成，促進學生思維能力發(fā)展

在“教學片斷2”中提供的開放式例題，帶來的教學效果不僅限于一題多解、一題多變、一題多法.而是在已知條件和問題上進行開放或半開放，一方面面向全體學生，適應學生個性發(fā)展需要，使得不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展；另一方面，盡量不讓學生跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，掌握學習的主動權(quán)，克服思維惰性，讓學生思維的變通性和創(chuàng)造性得到發(fā)展.而學生在設(shè)計問題的過程中，不斷在大腦搜集整理關(guān)于本題的信息（已知和未知），用什么來建立關(guān)聯(lián).算式方法也好，方程思想也罷，重要的是，這是屬于學生自己的問題，自己的方法！新課標指出：學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心.

3.教師敢于開放和善于放開，學生主體性就能得到激發(fā)

從上面兩個教學片斷來看，概念教學的情境開放與例題教學中條件、結(jié)論的開放，都源于備課設(shè)計時教者的敢于開放，如果情境也限制教師的預設(shè)、例題也是教師本人給出，則學生亦步亦趨地跟著學完一節(jié)課，對于這一節(jié)內(nèi)容的教學效果達成也可能是高效的.但是對于學生主體性的體現(xiàn)，就沒有達到一定的高度，沒有能走向從學會到會學的學力發(fā)展高度.比如，筆者此前在“等腰三角形”教學研討課的研究中，曾經(jīng)糾結(jié)過不同的新課導入方案（兩種引入方案），方案1：（人教教材）如圖4，先將一張紙片對折剪出一個等腰三角形進而發(fā)現(xiàn)其軸對稱性；方案2：（蘇科教材）如圖5，將等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？因為是模擬課堂，所以最終也無法定奪究竟哪種更易為學生接受.

圖4

圖5

圖6

筆者以為：無論哪一種引入方法，實際上都給學生框定了一條路“折疊”，為什么這個方法不能由學生來主動思考呢？既然等腰三角形是學生熟悉的，“等腰三角形的兩個底角相等”也是學生知道的結(jié)論，教師何不直接拋出問題“你如何驗證等腰三角形的兩個底角相等？”引導學生“將等腰三角形沿頂角平分線折疊”，進一步分析得到通過作等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線或者底邊上的高來構(gòu)造全等三角形（如圖6），等腰三角形幾個性質(zhì)的獲得和證明都是水到渠成.

有人說，課堂教學中的“生成”并不應該期待更多的預設(shè)之外的生成，而應該是教師本人預設(shè)下的精彩生成.這是有充分道理的，但是課前預設(shè)的基本功，以及敢于和善于“放開”的智慧又是值得認真研討的話題.筆者以為，這些預設(shè)的功夫最后都指向教師的專業(yè)基本功：善于提問、善于舉例、善于優(yōu)化（鄭毓信教授語）.

參考文獻：

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.周紅娟.從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時）”教學與反思［J］.中學數(shù)學（下），2014（7）.

3.鄭毓信.“開放的數(shù)學教學”新探［J］.中學數(shù)學月刊，2007（7）.

4.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

5.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

6.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.