☉浙江臺(tái)州市白云中學(xué)　張安軍

建立師徒教研模式，促進(jìn)青年教師專業(yè)的提升——以平行四邊形性質(zhì)（2）為例

☉浙江臺(tái)州市白云中學(xué)張安軍

一、聽(tīng)課背景

臺(tái)州市白云中學(xué)是近年來(lái)創(chuàng)辦的一所公辦學(xué)校，由于近年來(lái)學(xué)校都在擴(kuò)大班級(jí)規(guī)模，因此有很多優(yōu)秀的畢業(yè)生來(lái)我校從教.為了促進(jìn)青年教師更好、更快的成長(zhǎng)，學(xué)校為1至3年教齡的教師進(jìn)行師徒結(jié)對(duì)，師傅為學(xué)校的骨干教師，規(guī)定師傅每周至少聽(tīng)徒弟1至2節(jié)課，且聽(tīng)課后要對(duì)徒弟的課進(jìn)行全面點(diǎn)評(píng)和研討.這樣的課堂真實(shí)而質(zhì)樸，不預(yù)演也不雕琢；這樣的點(diǎn)評(píng)實(shí)話實(shí)說(shuō).師徒坦誠(chéng)相待，共同成長(zhǎng)，促進(jìn)青年教師教學(xué)水平的迅速提升.由于堅(jiān)持一以貫之的這種主題教研，經(jīng)過(guò)八年的努力，我校教學(xué)水平和教學(xué)業(yè)績(jī)已經(jīng)成為臺(tái)州市的優(yōu)秀學(xué)校之一，青年教師中有多人獲臺(tái)州市大比武一等獎(jiǎng)和優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，多人獲區(qū)大比武或優(yōu)質(zhì)課一、二等獎(jiǎng).筆者有幸擔(dān)任一位青年教師的師傅，以下是聽(tīng)了一位僅從教2年的小S老師的課并予以記錄、研討、評(píng)論.小S老師授課內(nèi)容：人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十八章第一節(jié)平行四邊形性質(zhì)第三課時(shí).課后和小S老師進(jìn)行詳細(xì)的交流，并整理成文，希望對(duì)青年教師有所啟發(fā).

二、授課實(shí)錄、研討、評(píng)論

1.復(fù)習(xí)引入

（1）課堂教學(xué)實(shí)錄.

師：什么是平行四邊形？

生（齊）：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形.

師：上一節(jié)課主要探討了平行四邊形的性質(zhì)，我們是從哪一個(gè)角度研究平行四邊形的性質(zhì)的？

生1：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等.

師：對(duì)，我們得到了平行四邊形兩組對(duì)邊相等，對(duì)角也相等.

師：平行四邊形除了對(duì)角相等和對(duì)邊相等，還有其他性質(zhì)嗎？這節(jié)課我們繼續(xù)探索平行四邊形的性質(zhì).

（2）師徒研討.

師傅：學(xué)生1的回答是不是你想問(wèn)的問(wèn)題？

徒弟：不是.

師傅：你知道為什么一問(wèn)一答不匹配嗎？

徒弟：不是很清楚.

師傅：出現(xiàn)答非所問(wèn)有兩種可能，一種是問(wèn)題的指向性不明確，模棱兩可；另一種是學(xué)生不清楚老師所問(wèn)的問(wèn)題或者還未曾理解，教師就急于讓學(xué)生回答.課后調(diào)查確認(rèn)，該學(xué)生的回答屬于后者.因此課堂上提問(wèn)時(shí)，要聲音響亮、清晰，問(wèn)題指向性明確，認(rèn)為問(wèn)題重要的要堅(jiān)定設(shè)問(wèn)的方向，同時(shí)提問(wèn)后要有適當(dāng)?shù)耐ｎD，給學(xué)生思考的空間.

師傅：當(dāng)時(shí)學(xué)生回答不匹配時(shí)，你是怎樣想的？

徒弟：許多的課例和網(wǎng)上的課件都是從怎樣研究、研究什么進(jìn)行設(shè)問(wèn).當(dāng)時(shí)我也希望學(xué)生沿著我的預(yù)設(shè)“主要元素（邊和角）（相關(guān)元素（對(duì)角線）”來(lái)回答，從而揭示這一節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.當(dāng)學(xué)生回答平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等時(shí)，覺(jué)得也差不多，就順應(yīng)了學(xué)生的思維.

師傅：學(xué)生所答的是平行四邊形的性質(zhì)，你所問(wèn)的是怎樣研究，差距是比較大的，按知識(shí)分類來(lái)看，前者屬于陳述性知識(shí)，是是什么的問(wèn)題，是一類顯性的知識(shí)；后者屬于策略性知識(shí)，是怎么做的問(wèn)題，是一類緘默性知識(shí).所謂圖形的性質(zhì)，是構(gòu)成圖形的主要元素在圖形形狀變化下主要元素和相關(guān)元素之間的關(guān)系還保持不變的規(guī)律；怎樣研究是對(duì)幾何圖形研究的經(jīng)驗(yàn)、方法的總結(jié)，涉及觀念的層面，它是內(nèi)隱的，是學(xué)生經(jīng)歷做相同事情經(jīng)驗(yàn)的升華.因此學(xué)生對(duì)于前者感覺(jué)易，對(duì)于后者感覺(jué)難.

評(píng)析：當(dāng)下教師備課時(shí)，很容易用到各種資料，如網(wǎng)上各種課件、教案等，面對(duì)五花八門(mén)的資料，教師需要自己的判斷和思考，不能用別人的精品課件代替你的備課，這是因?yàn)槟愕膶W(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，你的教學(xué)風(fēng)格，你理解數(shù)學(xué)和教材的程度都不一樣.你可以參考，但一定要有自己的思考和選擇.

2.創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

（1）課堂教學(xué)實(shí)錄.

師：平行四邊形還有其他性質(zhì)嗎？讓我們看看下面的實(shí)際問(wèn)題.

問(wèn)題1：一位飽經(jīng)滄桑的老人，經(jīng)過(guò)一輩子的辛勤勞動(dòng)，到晚年的時(shí)候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地.由于年邁體弱，他決定把這塊土地平分給他的四個(gè)孩子，如圖1所示的方法分法.

圖1

師：你認(rèn)為老人這樣分公平嗎？

生2：不公平.

師：為什么？

生2：形狀、大小不一樣，面積也不一樣.

師：還有不同的意見(jiàn)嗎？

生3：我認(rèn)為老人的分配是公平的.

師：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由.

（生3先說(shuō)明△ABC≌△CDA，△BOC≌△DOA；而后說(shuō)明S△ABC=S△CDA，S△BOC=S△DOA.老師繼續(xù)追問(wèn)S△BOA=S△DOC？從而得出平行四邊形對(duì)角線互相平分的猜想，然后師生共同完成這一性質(zhì)的證明）

（2）師徒研討.

師傅：你想通過(guò)故事的引入，激起學(xué)生的好奇心嗎？

徒弟：是的，這個(gè)故事所蘊(yùn)含的面積相等，最后可歸結(jié)為對(duì)角線互相平分.

師傅：這個(gè)故事中分配的公平性，雖和平行四邊形對(duì)角線互相平分有關(guān)聯(lián)，但實(shí)際上課時(shí)，用時(shí)過(guò)多，造成后半部分匆忙結(jié)束，頭重腳輕.在你的課剛開(kāi)始時(shí)，先回顧“平行四邊形的定義”，而后提出研究平行四邊形的性質(zhì)，以及如何研究，試圖從平行四邊形整體、系統(tǒng)性的研究得出視角：平行四邊形變化下邊、角、對(duì)角線的穩(wěn)定的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；接著又從故事引入，經(jīng)過(guò)一番周折，又一次回到課的對(duì)角線互相平分.相比之下，后者引入，故事雖能激趣，但拐彎抹角，所要解決目標(biāo)不明確，起點(diǎn)高，耗時(shí)多；而前者通過(guò)回顧平行四邊從哪些角度研究，主要元素是什么，相關(guān)要素又是什么，確定研究對(duì)象，而后用觀察、測(cè)量等實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行猜想，然后對(duì)自己的猜想加以證明，獲得新對(duì)象的性質(zhì)后，再?gòu)男再|(zhì)定理的逆命題進(jìn)行猜想和驗(yàn)證，得到對(duì)幾何對(duì)象的判定，這樣引入問(wèn)題目標(biāo)明確，前后連貫、邏輯一致又基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn).

評(píng)析：實(shí)際問(wèn)題的引入要慎重考慮，不好的實(shí)際問(wèn)題往往會(huì)起到干擾作用，有時(shí)會(huì)破壞數(shù)學(xué)的整體性和結(jié)構(gòu)性，使知識(shí)結(jié)構(gòu)大大削弱，破壞課的內(nèi)在氣韻，這就得不償失了.知識(shí)是教不完的，學(xué)生也有解不完的題目，只有學(xué)生形成研究幾何圖形的一般觀念，知道探究什么，如何探究，以及探究的方法，學(xué)生才能自覺(jué)做到把一般觀念遷移到其他幾何圖形的研究，這樣雖離開(kāi)了學(xué)校，知識(shí)忘記了，但方法猶存.

3.鞏固新知，例題教學(xué)

（1）課堂教學(xué)實(shí)錄.

例1 如圖2，在?ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC、CD、AC、OA的長(zhǎng)，以及?ABCD的面積.

圖2

圖3

師：有會(huì)做的同學(xué)嗎？

（舉手的同學(xué)比較多，老師叫一位男同學(xué)到黑板上進(jìn)行板書(shū)）

解：在?ABCD中，因?yàn)镃D=AB=10，所以AD=BC=8.因?yàn)锳C⊥BC，所以AB2=BC2+AC2.

所以AC=6.S?ABCD=48.

師：答案正確嗎？

生（齊）：正確！

師：接下來(lái)，我們看下一題.

變式：在上題中，如圖3，直線EF過(guò)點(diǎn)O，且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F.求證：OE=OF.

生4：只要證明：△AOE≌△COF，就可得到OE=OF.

師：證兩個(gè)三角形全等，條件夠了嗎？

生4：夠了，因?yàn)橛小?=∠2，∠3=∠4，AO=CO.

師（追問(wèn)）：圖中還有幾對(duì)三角形全等？

生5：3對(duì).

生6：4對(duì).

……

（2）師徒研討.

師傅：你認(rèn)為例題的教學(xué)功能是什么？

徒弟：給學(xué)生書(shū)寫(xiě)的榜樣和示范作用.

師傅：除了書(shū)寫(xiě)的榜樣作用，例題教學(xué)還要詮釋解題思路和方法，通過(guò)板書(shū)的展示，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，它是學(xué)生形成良好的解題和書(shū)寫(xiě)習(xí)慣的重要途徑.學(xué)生板書(shū)字跡模糊、缺乏嚴(yán)謹(jǐn)，例題示范功能得不到體現(xiàn).學(xué)生書(shū)寫(xiě)習(xí)慣的形成，是教師長(zhǎng)期熏陶的結(jié)果，是老師每節(jié)課點(diǎn)點(diǎn)滴滴積累的結(jié)果.因此，教師重視例題書(shū)寫(xiě)示范作用，重視幾何證明書(shū)寫(xiě)的嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生感受到教師的板書(shū)多加一句話是廢話，少一句又不夠嚴(yán)謹(jǐn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔美、嚴(yán)謹(jǐn)美.老師一以貫之，日積月累注重書(shū)寫(xiě)的榜樣，是學(xué)生形成良好書(shū)寫(xiě)習(xí)慣的重要途徑.

師傅：例題所求的量較多，對(duì)于所求的量的難易度、所運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)及其解題方法有無(wú)思考過(guò)？

徒弟：備課時(shí)簡(jiǎn)單思考過(guò)，但沒(méi)有作深層次的思考.

師傅：所求的5個(gè)量可以簡(jiǎn)單分成兩類，一類是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)直接得出，如BC和CD；另一類是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解的量，如OA等.在解決問(wèn)題時(shí)，同時(shí)呈現(xiàn)5個(gè)量，容易分散問(wèn)題的重、難點(diǎn).因此教師面對(duì)教材，不是教教材，而是用教材.例如本題，教師可以設(shè)計(jì)開(kāi)放的問(wèn)題，“根據(jù)上述的已知量，你還能求出圖中哪些量”，或者把主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，讓學(xué)生提出問(wèn)題，如“根據(jù)上述的已知，你還能提出一個(gè)求解的問(wèn)題嗎”.教師再根據(jù)學(xué)生提出的問(wèn)題進(jìn)行分類，然后選擇讓學(xué)生有重點(diǎn)進(jìn)行求解，做到教學(xué)的實(shí)效性.

師傅：在講解例題后，還進(jìn)行變式教學(xué)，突出平行四邊形的本質(zhì)屬性，這是很好的舉措，但是上述在例題教學(xué)后，進(jìn)行變式訓(xùn)練，所變式的內(nèi)容在難度上又低于例題，這樣的變式似乎是多余的，也不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；其次，變式的目的是在變化中突出不變的性質(zhì)，例如上述變式中，突出經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對(duì)邊所截的線段相等，而相反老師把相等的量引到全等上來(lái)，數(shù)三角形全等的對(duì)數(shù)，偏離本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).因此本例題可作如下的變式拓展.

如圖4，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

（1）如圖4（1）中的對(duì)角線AC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度，交AD、BC于E、F，則OE等于OF嗎？為什么？

（2）交AD、BC于E、F，改為如圖4（2），交BA、DC的延長(zhǎng)線于E、F，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？過(guò)O點(diǎn)任意畫(huà)一條直線與平行四邊的一組對(duì)邊或其對(duì)邊所在的直線相交于E、F，則OE都等于OF嗎？

（3）如圖4（3），若AC⊥BC，AB=10，AD=8，你能求出圖中的哪些量？

圖4

評(píng)析：殊不知，每年中考閱卷時(shí)，老師們最怕改的題目就是幾何證明題.學(xué)生在書(shū)寫(xiě)時(shí)，字跡了草，邏輯混亂，思維缺乏嚴(yán)謹(jǐn)，寫(xiě)得洋洋灑灑，卻讓改卷老師不知其所云.例題教學(xué)不僅要使學(xué)生形成基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，而且也是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和提升思想方法的重要途徑.因此要重視例題的教學(xué)，比如重視例題教學(xué)后的反思和提升，解題方法上重視一題多解和一題多變，增強(qiáng)例題教學(xué)的實(shí)效，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

4.應(yīng)用新知，鞏固練習(xí)

（1）如圖5，在?ABCD中，∠EAF=50°，若AE、AF為高，則∠B=________.

圖5

圖6

（2）如圖6，在?ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，△AOD的周長(zhǎng)是多少？△ABC與△DBC的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？長(zhǎng)多少？

（1）課堂教學(xué)實(shí)錄.

師：（過(guò)幾分鐘后）有沒(méi)有同學(xué)全做完？

（此時(shí)，有3位同學(xué)舉手，老師讓舉手的一位同學(xué)回答）

生7：∠B=50°；△AOD的周長(zhǎng)為21，△DBC的周長(zhǎng)比△ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng)，長(zhǎng)6.

師：同學(xué)們，還有不同的答案嗎？

（此時(shí)，班級(jí)沒(méi)有同學(xué)發(fā)出聲音，然后老師宣布這位同學(xué)所回答的是正確的，讓全班同學(xué)掌聲鼓勵(lì)）

（2）師徒研討.

師傅：這兩個(gè)練習(xí)題是你自己編寫(xiě)的嗎？

徒弟：是從別處課件復(fù)制過(guò)來(lái)的.

師傅：上述練習(xí)中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言在準(zhǔn)確性、嚴(yán)密性上都存在一定的問(wèn)題，學(xué)會(huì)正確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言的這些特點(diǎn)只能由學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行感悟.練習(xí)題是很好的載體，因此教師要重視練習(xí)題中語(yǔ)言的規(guī)范性，如練習(xí)（1）中“若AE、AF為高”，這一句話表達(dá)不準(zhǔn)確，是哪一條邊上的高應(yīng)該說(shuō)清楚.練習(xí)（2）已知條件中沒(méi)有交代點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，而所求中結(jié)論出現(xiàn)△AOD的周長(zhǎng).數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確性的缺乏，會(huì)直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的正確使用.

師傅：除了使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確性，還要重視各種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，比如根據(jù)題意中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，或者將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成文字語(yǔ)言，讓學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)圖是最經(jīng)濟(jì)、有效的培養(yǎng)學(xué)生各種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化能力的重要途徑.然而隨著多媒體的普遍應(yīng)用，在幾何教學(xué)中，老師們的PPT中都是“如圖所示”，為了追求課堂效率，省略學(xué)生讀題目畫(huà)圖這一步驟，而恰恰相反，做幾何題時(shí)學(xué)生正是從讀題中進(jìn)行構(gòu)圖，在構(gòu)圖中完善解答.練習(xí)（1）如果沒(méi)有如圖所示，畫(huà)圖時(shí)，有圖7所示三種可能的情形.幾何解答中答案遺漏的主要原因是學(xué)生不會(huì)構(gòu)圖.

圖7

師傅：你認(rèn)為本節(jié)課的核心知識(shí)是什么？

徒弟：應(yīng)該是平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)及其應(yīng)用.

師傅：對(duì)，本節(jié)課的重點(diǎn)是平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)的探究及其應(yīng)用，讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過(guò)程，體會(huì)圖形探究的一般思路.然而練習(xí)的功能和本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)不一致，如練習(xí)（1）中求角度計(jì)算，練習(xí)（2）中“△ABC與△DBC的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？長(zhǎng)多少”，都不是本節(jié)課的核心內(nèi)容，這樣的練習(xí)題缺乏針對(duì)性.因此在備課時(shí)，要精心選題，要選擇與本節(jié)課核心知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題.

評(píng)論：練習(xí)的主要功能是查漏補(bǔ)缺，要曝露學(xué)生的錯(cuò)誤，然而該老師只是讓優(yōu)秀的學(xué)生匆忙報(bào)答案，而沒(méi)有挖掘錯(cuò)誤的資源.學(xué)生錯(cuò)誤在一定程度折射出教與學(xué)存在的問(wèn)題，學(xué)生很多錯(cuò)誤是有規(guī)律的而不是偶然的，從學(xué)習(xí)者身上觀察到的一系列錯(cuò)誤表明，錯(cuò)誤不是教給的，而是學(xué)習(xí)者構(gòu)造了自己特有的概念和程式造成的.學(xué)生在解題中出錯(cuò)是學(xué)生解題的必然行為，教師對(duì)錯(cuò)例的剖析是解題教學(xué)的一部分.在解題練習(xí)時(shí)，一方面是幫助學(xué)習(xí)上有困難的學(xué)生，另一方面可曝露學(xué)生典型的錯(cuò)誤，從而加深對(duì)本節(jié)課的理解.

5.小結(jié)（略）

（到小結(jié)時(shí)，下課鈴聲響起，教師沒(méi)有總結(jié)）

三、對(duì)“師徒教研”的思考

數(shù)學(xué)課堂是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值的主渠道，它也毫無(wú)疑問(wèn)地成為數(shù)學(xué)教研活動(dòng)的重點(diǎn).常見(jiàn)的數(shù)學(xué)教研是以公開(kāi)課為主題加專家講座，公開(kāi)課是事先規(guī)劃好的，由于這樣的公開(kāi)課具有示范和引領(lǐng)作用，開(kāi)設(shè)公開(kāi)課的老師都會(huì)經(jīng)歷一次次備課，一遍遍試教，一回回推倒，一番番重來(lái)，最后打磨滿意，完美出場(chǎng).聽(tīng)課的老師通過(guò)觀摩，欣賞教學(xué)藝術(shù)、品味其蘊(yùn)含的先進(jìn)理念，再通過(guò)專家的引領(lǐng)，把這種共識(shí)轉(zhuǎn)化成教學(xué)規(guī)范，轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)行為.這種以完美的公開(kāi)課為載體的教研活動(dòng)是通過(guò)正面導(dǎo)向和示范來(lái)提升教師的專業(yè)水平的.然而在現(xiàn)實(shí)中，這樣完美的公開(kāi)課離一線老師太遙遠(yuǎn)，因?yàn)橐痪€教師的常態(tài)課堂，哪來(lái)那么多時(shí)間準(zhǔn)備？在我們?nèi)粘＝虒W(xué)中，師徒聽(tīng)課趨于平常，不需要濃妝的修飾和表演，它是一線教師真實(shí)的常態(tài)課.也因?yàn)槠涫钦鎸?shí)而不預(yù)演的課堂，所以有時(shí)略顯粗放而不完美，但正因?yàn)椴煌昝?，才有研討的價(jià)值，才可促進(jìn)教師專業(yè)知識(shí)的提升.

怎樣的教學(xué)研究過(guò)程才更適合教師專業(yè)發(fā)展的需要，才更能促進(jìn)教師廣泛而有深度地參與教學(xué)研究與討論呢？對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，這兩種方式對(duì)提升教師的專業(yè)水平都很重要，然而公開(kāi)課的研討由于投入的經(jīng)費(fèi)大，場(chǎng)地也有限，并不是每個(gè)老師都能參與觀摩，只有微乎其微的幾個(gè)老師前往觀摩學(xué)習(xí).因此，師徒自由式的聽(tīng)課，全放位、即時(shí)的點(diǎn)評(píng)，基于課例，有的放矢；從提問(wèn)到課堂的引入，從例題到習(xí)題的教學(xué)，對(duì)課堂中存在的問(wèn)題，從授課老師的視角合理構(gòu)建課堂，既經(jīng)濟(jì)又有效地促進(jìn)青年老師專業(yè)的提升.