☉江蘇省無錫市河埒中學(xué)　姜鴻雁

“調(diào)色板上”五彩繽紛的“畫”——2016年江蘇省無錫市中考第27題賞析與啟示

☉江蘇省無錫市河埒中學(xué)姜鴻雁

一、試題呈現(xiàn)及出處

圖1

題目如圖1，已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作?ABCD關(guān)于直線AD的對(duì)稱圖形AB1C1D.

（1）若m=3，試求四邊形CC1B1B的面積S的最大值.

本題是2016年江蘇省無錫市中考試題（整份試卷共28題，滿分130）第27題，滿分10分.

二、試題賞析

1.題面簡潔，內(nèi)涵豐富

題目文字?jǐn)⑹霾欢?，圖形線條不繁，用數(shù)學(xué)獨(dú)特的簡潔魅力，在考生心理上給出了人文關(guān)懷.在題面簡潔的背后，卻包含了豐富的內(nèi)涵.平面直角坐標(biāo)系像一塊調(diào)色板，?ABCD像一支畫筆，在圖形翻折的主色調(diào)下，“畫”出了圖形的平移，“畫”出了矩形、全等三角形、相似三角形，“畫”出了數(shù)形結(jié)合的韻味，“畫”出了從一般到特殊的意境，包含了數(shù)量關(guān)系上的特殊——最大值，位置關(guān)系上的特殊——點(diǎn)B1恰好落在y軸上……了了四十來個(gè)字，一幅五彩繽紛的“圖畫”立刻展示在眾人面前，真是簡約中蘊(yùn)藏著豐富的內(nèi)涵.

2.解法多樣，意味深長

本題兩小問都不止一種解法，而且對(duì)于學(xué)生來說，即使不能全部“拿下”，也不至于“無話可說”，給了學(xué)生“話語權(quán)”.下面筆者談?wù)勛约航忸}的大致過程及感悟.

（1）解法一：設(shè)BB1交直線AD于E點(diǎn)，如圖2，由題意得CB∥C1B1，CB=C1B1，所以四邊形CC1B1B是平行四邊形，由翻折可知AD垂直平分B1B于E，則?CC1B1B是矩形.由A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，得則，BB1所以當(dāng)時(shí)，Smax=9.

圖2

解法二：容易證得△CDC1≌△BAB1，因?yàn)镾=S?ABCD+ S?AB1C1D+S△BAB1-S△CDC1，所以S=2S?ABCD=4（-n2+3n），以下同解法一.

對(duì)于解法一：要求S的最大值，得先對(duì)相關(guān)圖形進(jìn)行定性分析，配合圖形的直觀暗示，自然想到確定它的形狀，結(jié)合翻折、平行四邊形、矩形的判定等相關(guān)知識(shí)，確定四邊形CC1B1B的形狀是不難的，這一點(diǎn)估計(jì)絕大部分學(xué)生是能做到的，也就是前面所說的本題給了學(xué)生“話語權(quán)”.而當(dāng)確定其形狀為矩形后，為計(jì)算其面積打開了“一扇窗”，為接下來的定量分析奠定了基礎(chǔ)，其中一邊長BC很易表示，于是思維聚焦到求BB1的長，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求BE的長.在學(xué)習(xí)一次函數(shù)及相似三角形時(shí)，對(duì)“坐標(biāo)△AOD”在解題過程中發(fā)揮的作用，相信不少老師會(huì)提醒學(xué)生積累相關(guān)解題經(jīng)驗(yàn)；面對(duì)相似直角三角形，聯(lián)想到三角函數(shù)，自然是錦上添花，最終利用二次函數(shù)求最值將問題解決.綜上，對(duì)于解法一，不但廣泛地考查了初中階段的重要內(nèi)容及核心知識(shí)點(diǎn)，而且體現(xiàn)思維的自然生長，過程的自然流露.

對(duì)于解法二：一切思維的靈感來自于仔細(xì)的觀察，邊看邊想、邊想邊看是重要的學(xué)習(xí)方式.?ABCD沿直線AD翻折是顯性的已知條件，在并不復(fù)雜的圖形暗示之下，我們要能想到化舊已知條件為新已知條件的意識(shí)，要具備用動(dòng)態(tài)的眼光看靜態(tài)圖形的能力，目光匯聚到△CDC1和△BAB1，圖形的平移款款來到眼前，必然會(huì)讓答題者眼前一亮，足以讓人感受到數(shù)學(xué)的魅力！于是在解決問題的路上多了一條光明大道，簡潔的運(yùn)算過程足以讓人興奮不已！

當(dāng)然不排除有學(xué)生想不到“坐標(biāo)△AOD”，看不到相似，聯(lián)系不上三角函數(shù)、沒有用動(dòng)態(tài)的眼光看靜態(tài)圖形的能力……，但試題能夠?qū)崿F(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展”的目標(biāo)了.

圖3

第（2）問給出的是特殊的位置關(guān)系——點(diǎn)B1恰好落在y軸上，必然映射著特殊數(shù)量關(guān)系，需要揭示的是顯性位置關(guān)系下隱藏著的隱性數(shù)量關(guān)系，圖3中線段DO、DB1、OB1之間的和差關(guān)系或Rt△AOB1中三邊之間由勾股定理帶來的數(shù)量關(guān)系都是解決問題的突破口，于是表示線段OB1便成了解決問題的關(guān)鍵.本題相似三角形較多，需要在嘗試的過程中不斷優(yōu)化思路.往往思維具有慣性，解法一是受第（1）問的影響，用BE的表達(dá)式切換到B1E，再運(yùn)用△DOA與△DEB1相似，慢慢向“目標(biāo)”靠近…….解法二則是在眾多的相似三角形中，選擇了對(duì)于解決這個(gè)問題最簡潔的一對(duì).當(dāng)然本題一定還有其他解法，筆者全當(dāng)拋磚引玉.

三、對(duì)教學(xué)的啟示

1.追求自然生長的課堂教學(xué)

“生長”是一切有生命的事物的共性，對(duì)于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)知識(shí)的過程、發(fā)展思維的過程都是一個(gè)個(gè)鮮活的自然生長的過程，教師要賦予他們自然生長的權(quán)利，提供給他們自然生長的機(jī)會(huì).

（1）知識(shí)的自然生長.

“知識(shí)樹”是當(dāng)下不少老師喜歡將知識(shí)以生長的態(tài)勢展示給學(xué)生的外在形態(tài)，學(xué)生的知識(shí)“大樹”就在一個(gè)個(gè)知識(shí)“樹枝”的生長過程中逐步成長起來的.教師不僅要實(shí)現(xiàn)每一塊知識(shí)學(xué)習(xí)過程的自然生長，還要有打通各章節(jié)知識(shí)的能力，使各章節(jié)之間實(shí)現(xiàn)共通互融.從本題來看，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖像時(shí)，常常要研究圖像與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長、面積等問題，既然這個(gè)三角形“入鏡率”如此之高，我們可以順?biāo)浦劢o它命名，不妨叫“坐標(biāo)三角形”，為后期學(xué)習(xí)相似三角形，甚至三角函數(shù)等知識(shí)的自然生長做好鋪墊，當(dāng)相似三角形來到之時(shí)，三角函數(shù)進(jìn)入之后，再以平面直角坐標(biāo)系為“調(diào)色板”，給這些知識(shí)點(diǎn)能“畫出”五彩繽紛的“畫”提供了天地.再如，本題呈現(xiàn)的是?ABCD沿直線AD翻折，而在這一變化中，衍生出三角形的平移、三角形的相似，還有以平面直角坐標(biāo)系為背景，通過坐標(biāo)這個(gè)視角，量化反映圖形變化過程…….本題只是一個(gè)“點(diǎn)”，無疑給廣大教師一個(gè)這樣的教學(xué)導(dǎo)向：教師要善于打通章節(jié)之間的通道，不同章節(jié)之間的“營養(yǎng)”會(huì)讓學(xué)生吸收知識(shí)更加全面，知識(shí)將掌握得更加牢固，“知識(shí)樹”將生長得更加“茂盛”.

（2）思維的自然生長.

縱觀平時(shí)課堂教學(xué)，基本是教師講得多，學(xué)生聽得多，解題教學(xué)是如此，初三復(fù)習(xí)課更是如此.其實(shí)，在課堂上，教師給足學(xué)生“說話”的時(shí)間，讓有思路的學(xué)生講思路，會(huì)多少講多少，讓不會(huì)的學(xué)生講困難在何處，說清在哪里思維受阻，使學(xué)生真正參與思考之中，這樣的課堂教學(xué)才更有效.學(xué)生“講”的過程，便是思維在做“體操”的過程.讓學(xué)生講出思路、講出困惑，分析問題、解決問題的能力在“講”的過程得到了發(fā)展與提升，思維能力才能實(shí)現(xiàn)自然生長.假如我們以本題為例，作解題教學(xué)的課堂情境：在審題之后，教師可以提出問題：“要求四邊形CC1B1B的面積S的最大值，你們覺得如何思考？”如果學(xué)生會(huì)，讓會(huì)的學(xué)生說思路、講方法，教師可以追問：“你是怎么想到的？”如果學(xué)生不會(huì)，教師可以作如下引導(dǎo)，“你的困難在哪里？”“如果我們知道了它的形狀，計(jì)算它的面積可能應(yīng)該方便些……”“如何確定它的形狀？根據(jù)已知條件，我們能得到什么？對(duì)確定它的形狀有作用么？”“我們還可以從其他動(dòng)態(tài)的視角來審視這幅圖形嗎？”……而不是直接“灌”它是矩形或各圖形面積之間的和差關(guān)系.我們認(rèn)為，“怎么想”遠(yuǎn)比“怎么做”重要得多.筆者今年沒有機(jī)會(huì)參加閱卷，只能從少部分學(xué)生的片言只語中，了解到一些情況.有學(xué)生（不算學(xué)習(xí)困難的學(xué)生）反映，不知道如何下手，聽了很是奇怪，本題雖不是送分題，但不是難到“不知如何下手”，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)得到不同的發(fā)展”應(yīng)該是命題者的初衷，但良苦用心卻不能得到很好的體現(xiàn).

反思平時(shí)的課堂，常常是教師包辦太多，使學(xué)生的思維總是處于“被稚化”狀態(tài)，得不到真正生長，所以一遇到?jīng)]見過的問題，便束手無策.相反，教師應(yīng)該做的是：“稚化”自己的思維，讓學(xué)生的思維成長、強(qiáng)大起來.在課堂上，教師把“講”的機(jī)會(huì)更多地讓給學(xué)生，讓“思”的路徑本真地流露出來，學(xué)生“會(huì)想”要遠(yuǎn)比“會(huì)做”重要得多，“會(huì)做”不一定“會(huì)想”，但“會(huì)想”一定“會(huì)做”.教師應(yīng)該長期地給學(xué)生提供思維自然生長的“陽光”與“雨露”，只有這樣，我們的學(xué)生才能在考場上為自己贏得“話語權(quán)”.

2.追求揭示本質(zhì)的課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)的運(yùn)算法則、公理定理、圖形結(jié)論等都是顯性的，怎么在解決問題的過程中，自如地“調(diào)度”相關(guān)法則定理？這需要我們在提煉數(shù)學(xué)思想方法的過程中，努力追求揭示問題本質(zhì)的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的深度思維.揭示問題本質(zhì)的切入口很多，而本題給了我們兩個(gè)重要的切入點(diǎn)的啟示.

（1）行走在“動(dòng)靜”之間.

在動(dòng)態(tài)問題中，發(fā)現(xiàn)“不變”的元素，叫“以靜制動(dòng)”；用動(dòng)態(tài)的眼光看靜態(tài)的圖形，是“用動(dòng)解靜”，在“動(dòng)”“靜”之間思考問題，有助于發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).在本題中，問題給出了“?ABCD沿直線AD翻折變化”是比較明顯的“動(dòng)”，而A、D、B的坐標(biāo)都是用字母表示的，△CDD1、△BAB1可以看作平移，這些也是“動(dòng)”的，只是一個(gè)比一個(gè)來得隱蔽；但D（0，2n），A（n，0）卻以坐標(biāo)的方式“告訴”我們∠ODA的度數(shù)不變，除此之外，AD垂直平分BB1，△ODA、△EBA、△OBB1、△EDB1是相似的直角三角形，四邊形CD1B1B是矩形，……這些都是不變的，發(fā)現(xiàn)“動(dòng)”與“靜”的過程，是思維不斷走向深入的過程.

在平時(shí)的教學(xué)中，我們不能僅僅框于明顯的動(dòng)態(tài)問題（比如動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線等問題）才想到“動(dòng)”，其實(shí)“動(dòng)”與“靜”就在我們身邊.譬如，在學(xué)習(xí)正方形、等邊三角形、等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形……時(shí)，教師應(yīng)該有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生站在動(dòng)態(tài)的角度，去觀察、研究、思考這些“靜”態(tài)的圖形.以圖形位似為例，如果兩個(gè)圖形在位似中心的同側(cè)，我們用動(dòng)態(tài)的眼光可以看成是圖形在平移的同時(shí)進(jìn)行擴(kuò)大或縮小（相似）變換，在位似中心異側(cè)時(shí)，可以認(rèn)為圖形繞著位似中心旋轉(zhuǎn)180°的同時(shí)進(jìn)行擴(kuò)大（縮?。┳儞Q.再深入下去，圖形可以旋轉(zhuǎn)任意角度的同時(shí)進(jìn)行擴(kuò)大（縮?。┳儞Q，也就是通常所說的“旋轉(zhuǎn)相似”；也可翻折的同時(shí)擴(kuò)大（縮小）……教師在平時(shí)教學(xué)過程，不但要引導(dǎo)學(xué)生在“動(dòng)”中發(fā)現(xiàn)“靜”的元素，也要練就“靜”的圖形從“動(dòng)”的視角看的本領(lǐng)，采用如此辯證的方式思考問題，一定能培養(yǎng)學(xué)生的深度思維，有助于把握問題的本質(zhì).

（2）穿梭于“數(shù)形”之中.

華羅庚先生的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”已經(jīng)把“數(shù)”與“形”的關(guān)系描述得出神入化.不少教師對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的認(rèn)識(shí)僅僅停留在數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)圖像等這些范疇下，實(shí)際上對(duì)于一個(gè)問題的研究，常是“定性分析”、“定量計(jì)算”并駕齊驅(qū)，細(xì)致分析“形”是“定性分析”的開始，深入計(jì)算“數(shù)”是“定量計(jì)算”的標(biāo)志.以本題為例，對(duì)于第（1）問，確定四邊形CD1B1B的形狀、研究相關(guān)的相似三角形、觀察到△CDC1、△BAB1可以看作平移運(yùn)動(dòng)，……這些都是對(duì)“形”展開思考，而圖形面積的計(jì)算，二次函數(shù)關(guān)系式的出現(xiàn)，求出最大值直到問題解決，則是回到“數(shù)”的細(xì)致計(jì)算.在第（2）問，點(diǎn)B1落在y軸上這一特殊的位置關(guān)系，必然對(duì)應(yīng)著特殊的數(shù)量關(guān)系，還是“定性分析”先行，“定量分析”盾后，思維始終在“數(shù)形”之間穿梭.在對(duì)“形”的深入研究的基礎(chǔ)之上，用“數(shù)”進(jìn)行精密計(jì)算，沿著“數(shù)與形”的微妙關(guān)系，我們還可以對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行如下深入思考：B1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是什么（用含m的關(guān)系式表示）？如果四邊形CD1B1B是正方形時(shí)，m、n應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？……這一系列的過程中，“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)也反映了“一般”與“特殊”的微妙關(guān)系，在一般性規(guī)律下，給予了特殊的“數(shù)量”或“位置”，則一定對(duì)應(yīng)著特殊的“位置”或“數(shù)量”關(guān)系，我們在透徹研究了“一般”的基礎(chǔ)上，深入研究“特殊”的狀態(tài)，這一切都離不開“數(shù)”與“形”的結(jié)合！

在日常的教學(xué)中，我們對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解不能停留在表面，只有教師自身深入研究問題本質(zhì)，才有可能把學(xué)生帶向深度思維的海洋.類似“定性與定量”分析，“形與數(shù)”的結(jié)合，平時(shí)解題是屢見不鮮，只要我們有這樣的認(rèn)識(shí)問題的視角，引領(lǐng)學(xué)生揭示問題的本質(zhì)也就指日可待了.

如果把課堂比作“調(diào)色板”，把“追求自然生長”與“揭示問題本質(zhì)”比作兩支畫筆，則教師和學(xué)生一起，一定可以用“畫筆”勾勒出一幅幅“五彩繽紛”的“畫卷”！