張秀君，俞國(guó)軍（.浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用工程學(xué)院，浙江杭州30053；.展訊科技杭州有限公司，浙江杭州3005）

基于壓縮感知的電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)算法研究*

張秀君1，俞國(guó)軍2
（1.浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用工程學(xué)院，浙江杭州310053；2.展訊科技杭州有限公司，浙江杭州310052）

為解決傳統(tǒng)電能質(zhì)量信號(hào)在采樣時(shí)面臨的采樣率高，采樣資源浪費(fèi)和硬件成本高的問(wèn)題，壓縮感知理論被引入到電能質(zhì)量信號(hào)的采樣與重構(gòu)過(guò)程。信號(hào)的稀疏表示是壓縮感知理論中的關(guān)鍵問(wèn)題，一般選擇正交基作為壓縮感知中的稀疏變換基。基于多重?cái)_動(dòng)的電能質(zhì)量信號(hào)，本文提出了基于不同干擾的電能質(zhì)量模型來(lái)選擇不同的信號(hào)稀疏變換基的壓縮感知重構(gòu)算法。實(shí)驗(yàn)證明與整個(gè)信號(hào)采用單一DCT變換基或FFT變換基的壓縮感知重構(gòu)算法相比，本文提出的方法具有更好的信號(hào)重構(gòu)性能。

壓縮感知；小波變換；電能質(zhì)量；信號(hào)重構(gòu)

0　引言

隨著工業(yè)規(guī)模的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，電力系統(tǒng)中的電能質(zhì)量必須監(jiān)控，并要嚴(yán)格保證電能質(zhì)量。目前，提高和改善電能質(zhì)量的研究主要集中在以下兩方面問(wèn)題:（1）海量電能質(zhì)量數(shù)據(jù)處理問(wèn)題，涉及到的是數(shù)據(jù)采集、壓縮、傳輸與存儲(chǔ)等問(wèn)題；（2）電能信號(hào)擾動(dòng)的準(zhǔn)確檢測(cè)定位及識(shí)別。對(duì)于電能質(zhì)量信號(hào)的采樣和壓縮，目前主要依據(jù)信號(hào)采樣定理，要求信號(hào)采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的兩倍，這不但需要快速信號(hào)處理的能力，同時(shí)也給相應(yīng)的硬件設(shè)備帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)。因此，基于奈奎斯特采樣定理來(lái)處理電能質(zhì)量信號(hào)的采樣和壓縮，在應(yīng)用中有一定的局限性，研究者一直沒(méi)有找到好的解決辦法。

近年來(lái)，壓縮感知（Compressed Sensing，CS）理論被提出并不斷完善［1-2］。CS理論的信號(hào)處理框架和傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法不同，如圖1所示。對(duì)于CS理論，信號(hào)的采樣、壓縮編碼在同一個(gè)操作中完成。對(duì)于稀疏的信號(hào)，信號(hào)在測(cè)量編碼時(shí)的采樣頻率將遠(yuǎn)低于Nyquist采樣速率，這降低了信號(hào)前端處理的復(fù)雜性。文獻(xiàn)［3］對(duì)壓縮感知在電能質(zhì)量信號(hào)的應(yīng)用進(jìn)行了研究，驗(yàn)證了壓縮感知在電能質(zhì)量中應(yīng)用的可行性。文獻(xiàn)［4］研究了在電能質(zhì)量信號(hào)壓縮過(guò)程，不同稀疏變換基的影響。文獻(xiàn)［5］針對(duì)重構(gòu)算法研究了電能質(zhì)量重構(gòu)信號(hào)的性能。為了研究和分析壓縮感知理論在電能質(zhì)量領(lǐng)域中的應(yīng)用，研究者們開(kāi)展了大量的研究工作［6-9］。但目前對(duì)電能質(zhì)量的信號(hào)分析大多采用固定的稀疏基來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu)。本文提出了基于不同電能質(zhì)量故障模式，采用不同稀疏變換基來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的壓縮重構(gòu)的方法。

1　理論與方法

1.1壓縮感知

基于壓縮感知的信號(hào)重建過(guò)程如圖1所示，其主要包括信號(hào)的稀疏表示、測(cè)量和重構(gòu)三部分［10］。

圖1　基于壓縮感知理論的信號(hào)處理框架

信號(hào)的稀疏性是壓縮感知理論的前提條件，為了闡述簡(jiǎn)單，本文以長(zhǎng)度為N的離散實(shí)值信號(hào)x為研究對(duì)象，記為。依據(jù)信號(hào)理論，假設(shè)信號(hào)x可用一組基的線性組合表示（符號(hào)ψT表示ψ的轉(zhuǎn)置），則

根據(jù)CS編碼測(cè)量的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于非稀疏信號(hào)x，采樣測(cè)量并不是直接對(duì)信號(hào)x本身進(jìn)行操作，而是首先將信號(hào)x投影變換到一組測(cè)量向量上，通過(guò)測(cè)量矩陣得到測(cè)量值。寫成矩陣形式為

上述公式中x為N×1矩陣，y為M×1矩陣，Φ是M×N的矩陣。將方程（1）代入方程（2），得到如下方程：

Θ=Φψ為M×N矩陣。因?yàn)樾盘?hào)的稀疏性，信號(hào)維數(shù)N遠(yuǎn)大于測(cè)量值維數(shù)M。如果這樣求解方程（2）的逆將是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題，我們將無(wú)法直接從y的M個(gè)觀測(cè)值中求解出原始信號(hào)x。但是如果方程（3）中的矩陣Θ能夠滿足RIP準(zhǔn)則的要求，那么CS理論提出了基于優(yōu)化問(wèn)題求解方程（3）的逆。首先獲得稀疏系數(shù)α=ψTx，然后代入方程（1），這樣稀疏度為K的信號(hào)x就可以根據(jù)M維的觀測(cè)值y獲得精確的重構(gòu)。這里給出基于l1最小范數(shù)求解方程（3）的最優(yōu)化問(wèn)題。

從上面的推導(dǎo)可知，如果信號(hào)在某一正交基下稀疏，那么基于CS理論可以通過(guò)M?N個(gè)測(cè)量值完全恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)。壓縮感知的核心思想，就是基于稀疏信號(hào)的少量線性測(cè)量完全重構(gòu)信號(hào)，從而突破香農(nóng)極限。

1.2電能質(zhì)量多重干擾信號(hào)

研究者在監(jiān)測(cè)和分析電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)，多基于數(shù)學(xué)模型來(lái)仿真研究。本文為了能夠更好的研究壓縮感知在電能質(zhì)量信號(hào)的采樣重構(gòu)過(guò)程的可行性，也為了更適于實(shí)際情況，以頻率為50Hz電壓信號(hào)為例，建立了受多重干擾（包含振蕩瞬變、沖擊、諧波、間諧波和壓降干擾）的電能質(zhì)量信號(hào)，如圖2所示。

1.3重構(gòu)質(zhì)量的評(píng)價(jià)方法

為了客觀評(píng)價(jià)重構(gòu)信號(hào)的精確度，本文主要研究信號(hào)的均方誤差，公式如下：

其中N為信號(hào)長(zhǎng)度，fi為原始信號(hào)，fi為重構(gòu)信號(hào)。

1.4組合稀疏基的重構(gòu)方法

對(duì)于這個(gè)多重干擾信號(hào)，我們根據(jù)不同干擾的特征，劃分為5個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間采用不同稀疏變換基來(lái)實(shí)現(xiàn)壓縮感知的信號(hào)重構(gòu)，每個(gè)干擾區(qū)間所使用的變換基的選擇依據(jù)MSE指標(biāo)確定。

2　仿真結(jié)果

2.1含有脈沖沖擊的諧波部分重建仿真

基于這個(gè)多重干擾信號(hào)，我們選取含有脈沖沖擊的諧波部分（圖中的實(shí)線所示）為例來(lái)研究不同稀疏變換基對(duì)重構(gòu)信號(hào)的影響。基于相同的信號(hào)稀疏度和重構(gòu)算法，采用離散余弦為稀疏變換基得到的信號(hào)重構(gòu)如圖3所示，MSE=0.130 2。采用小波變換為稀疏變換基得到重構(gòu)信號(hào)如圖4所示，MSE= 0.055 6；無(wú)論從圖3、4對(duì)照來(lái)看，還是從MSE指標(biāo)來(lái)看，對(duì)于該段分析的電能質(zhì)量信號(hào)，基于小波基的壓縮感知信號(hào)重建可以獲得更好的重建效果。因而這段電能質(zhì)量信號(hào)在本文的壓縮感知重構(gòu)算法中，我們選擇小波基作為稀疏變換基。其它不同的干擾區(qū)間均采用這種方法進(jìn)行優(yōu)化，因而可以獲得優(yōu)化后的組合稀疏變換基。

圖3　基于DCT基的諧波重構(gòu)圖

2.2多重干擾信號(hào)的重建仿真

基于同樣的研究方法，對(duì)于圖2所示的多重干擾信號(hào)，我們基于不同區(qū)域特點(diǎn)，分別采用不同的稀疏變換基（DCT基、小波基、FFT基）來(lái)完成信號(hào)的重建，重建的信號(hào)如圖5所示。

為了分析本文提出算法的優(yōu)劣性，我們又分別采用DCT變換基和FFT變換基來(lái)實(shí)現(xiàn)多重干擾信號(hào)的重建，重建的信號(hào)如圖6、7所示?；谏鲜鋈N方法，均可實(shí)現(xiàn)壓縮感知的信號(hào)重建，不同重建方法重建信號(hào)的MSE如表1所示。從表1以及圖6、7的對(duì)比，可知本文提出的壓縮感知算法可以獲得更好電能質(zhì)量信號(hào)重建效果。

3　結(jié)論

基于多重干擾的電能質(zhì)量信號(hào)，本文提出的基于不同干擾模型，采用不同的稀疏變換基來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的壓縮感知重建，比基于單一的稀疏變換基（DCT基、FFT基）的信號(hào)重建效果要好。如何劃分電能質(zhì)量信號(hào)的不同干擾區(qū)域以及如何尋找最優(yōu)的稀疏變換基將是作者未來(lái)的研究方向。

圖4　基于小波變換基的諧波重構(gòu)圖

圖5　基于不同稀疏變換基完成的信號(hào)重建

表1　不同信號(hào)壓縮感知重建方法的性能比較

圖6　基于FFT基完成的信號(hào)重建

圖7　基于DCT基完成的信號(hào)重建

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（責(zé)任編輯：王本軼）

Study on the Reconstruction Algorithm sof the Power Quality SignalBased on Com pressed Sensing

ZHANG Xiu-jun1，YUGuo-jun2
（1.Zhejiang Business College，App lied Engineering College，Hangzhou，310053，China；2.Spreadtrum Technology Hangzhou limited company，Hangzhou，310052，China）

To solve the problems of high sampling rate and sampling resourcewaste and high costof hardware implementation faced by traditional sam plingmethodsof pow er quality signal，compressed sensing theory w as used for sam pling and reconstruction of the powerquality signal.Sparse representation of signals in compressed sensing has received a lotof attention.Usually，theorthogonal basewas chosen assparse transform base in compressed sensing.Based onmultiple disturbance power quality signals，this paper proposed the compressed sensing reconstruction algorithms，which the different signal sparse transform baseswere chosen based on the different power quality disturbancemodes.Compared w ith the compressed sensing reconstruction algorithms based on single DCT transform or FFT transform baseusing for thewhole signal，experimental results demonstrate that the algorithmsproposed by thispaperhad better signal reconstruction performance.

compressed sensing；wavelet transform；pow er quality；signal reconstruction

TM 933；TP274

A

1672-0105（2016）01-0030-04

10.3969/j.issn.1672-0105.2016.01.008

2015-10-15

浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)基金資助

張秀君，碩士，高級(jí)工程師，主要研究：能源品質(zhì)管理。