張改平，李智強(qiáng)，閆明寶

(空軍工程大學(xué)，陜西 西安　710051)

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波爾共振實(shí)驗(yàn)中值得探討的兩個(gè)問題

張改平，李智強(qiáng)，閆明寶

(空軍工程大學(xué)，陜西 西安710051)

從實(shí)驗(yàn)原理出發(fā)，計(jì)算相位差的不確定度，并對(duì)由公式計(jì)算的φ理值與實(shí)際測(cè)得的φ測(cè)值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)二者之差最大可達(dá)到4.2°。分析了受迫振動(dòng)相頻特性曲線的變化規(guī)律，對(duì)部分論文中出現(xiàn)錯(cuò)誤的相頻特性曲線進(jìn)行討論，最后得出結(jié)論：隨著驅(qū)動(dòng)力頻率的增大，振幅與驅(qū)動(dòng)力之間的相位差應(yīng)是逐漸減小的。

共振，相位差，不確定度

波爾共振儀可實(shí)現(xiàn)自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)三種振動(dòng)。大部分高校都開設(shè)有這一實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。然而本實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)原理較難，物理量的推導(dǎo)過程復(fù)雜，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較多，這些問題導(dǎo)致學(xué)生并不能完全理解振動(dòng)的特性，甚至出現(xiàn)學(xué)生已做完實(shí)驗(yàn)，但對(duì)實(shí)驗(yàn)原理仍然沒有完全掌握。而且對(duì)于受迫振動(dòng)的相頻特性研究，部分老師也并未完全理解相位差與驅(qū)動(dòng)力頻率之間的變化關(guān)系，甚至出現(xiàn)了錯(cuò)誤的結(jié)論。本文就相位差的不確定度計(jì)算及相頻特性曲線的變化規(guī)律進(jìn)行重點(diǎn)討論，在對(duì)相頻特性的討論中，一方面，從實(shí)驗(yàn)原理分析曲線的變化規(guī)律，并繪制出曲線圖，另一方面，通過實(shí)例驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)原理。通過理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的手段，使學(xué)生深刻理解受迫振動(dòng)的特性。

1　實(shí)驗(yàn)原理

1.1受迫振動(dòng)方程建立及相關(guān)物理量導(dǎo)出

(1)

(2)

當(dāng)mcosωt=0時(shí)，式(2)即為阻尼振動(dòng)方程。

方程(2)的通解為它的一個(gè)特解加上齊次方程的通解[3]：

θ=θ1e-βtcos(ωft+α)+θ2cos(ωt+φ)

(3)

上式第一項(xiàng)表示一個(gè)減幅振動(dòng)，反映受迫振動(dòng)的暫態(tài)行為，經(jīng)過很短的時(shí)間衰減至消失，第二項(xiàng)表示與驅(qū)動(dòng)力頻率相同的穩(wěn)定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)衰減為零后，受迫振動(dòng)可以表示為：

θ=θ2cos(ωt+φ)

(4)

對(duì)上式求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得：

(5)

(6)

將(5)和(6)式代入(2)式，得：

θ2(ω02-ω2)cosφ-2βθ2ωsinφ=m

(7)

θ2(ω02-ω2)cosφ-2βθ2ωsinφ=0

(8)

由(7)和(8)式，可得振幅與驅(qū)動(dòng)力之間的相位差φ為：

(9)

且可得振幅

(10)

1.2穩(wěn)定受迫振動(dòng)三種共振的條件

(1)位移共振

(2)速度共振

由(5)式可得受迫振動(dòng)的速度

(11)

(3)加速度共振

由(5)式可得受迫振動(dòng)的加速度

(12)

2　對(duì)兩個(gè)問題的探討

2.1對(duì)φ的測(cè)量不確定度分析

對(duì)φ的測(cè)量結(jié)果見表1。

表1　對(duì)φ的測(cè)量

2.2對(duì)受迫振動(dòng)相頻特性曲線的描繪

對(duì)受迫振動(dòng)特性研究中，在查閱資料的過程中發(fā)現(xiàn)，部分論文對(duì)于受迫振動(dòng)相頻特性曲線的描繪是不正確的，出現(xiàn)了隨著ω的增大φ也增大的變化規(guī)律[6,7]，然而這一變化規(guī)律與實(shí)驗(yàn)原理是相矛盾的。從實(shí)驗(yàn)原理來看，由(9)式可知，相位差φ的表達(dá)式為一復(fù)合函數(shù)，為了分析φ隨ω的變化規(guī)律，本文采用Matlab繪圖軟件描繪φ隨自變量ω的變化圖像，如圖1所示。

圖1　φ函數(shù)圖像

從圖像便能直觀的看到φ隨ω的變化規(guī)律。很明顯，隨著驅(qū)動(dòng)力頻率ω的增大，振幅與驅(qū)動(dòng)力之間的相位差φ是逐漸減小的。為了更進(jìn)一步驗(yàn)證這一結(jié)論，本文測(cè)量了各個(gè)周期下的φ值，數(shù)據(jù)如表2，此項(xiàng)阻尼旋鈕置于11mm處，并繪制出φ隨ω的變化規(guī)律，如圖2所示。由圖可知,φ隨ω的變化規(guī)律與從實(shí)驗(yàn)原理分析的結(jié)果是一致的。因此，本文特別提出這一問題，對(duì)部分論文中出現(xiàn)的錯(cuò)誤的相頻特性曲線進(jìn)行糾正，以免誤導(dǎo)學(xué)生。

表2　 受迫振動(dòng)相頻特性曲線測(cè)量

圖2　受迫振動(dòng)相頻特性曲線

2　結(jié)　　論

波爾共振實(shí)驗(yàn)是我校開設(shè)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中相對(duì)較難的一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，大部分教材對(duì)該實(shí)驗(yàn)的原理未做詳細(xì)推導(dǎo)，對(duì)方程中出現(xiàn)的各個(gè)物理量的物理意義未加說明，對(duì)三種共振的條件并未區(qū)分，這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)該部分內(nèi)容時(shí)并不能完全理解其物理含義。本文在原理部分對(duì)位移共振、速度共振和加速度共振三種共振做了詳細(xì)的分析，最后得出共振的條件。在討論部分分析了相位差的不確定度，并詳細(xì)討論了受迫振動(dòng)的相頻特性曲線，通過理論分析+實(shí)例驗(yàn)證的手段糾正部分論文中出現(xiàn)的錯(cuò)誤相頻特性曲線。

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Study of Two Problems of the Pohl Resonator Experiment

ZHANG Gai-ping,LI Zhi-qiang,YAN Ming-bao

(Air Force Engineering University,Shaanxi Xi’an 710051)

Beginningfromexperimentalprinciple,itcalculatestheuncertaintyofthephasedifference,andcomparewiththetheoreticalvalueandthecalculatedvalueofthephasedifference,andthenobtainaresult:themaximumdifferencebetweenthetwois4.2°.Then,itanalysisthechangeregulationofthephase-frequencycharacteristicsoftheforcevibration,discussthemistakeofthephase-frequencycurveofapartofpaper,thelast,havearesult:thephasedifferencebetweenamplitudeanddrivingforceisgraduallydecreasewithenlargementofdrivingforcefrequency.

resonance；phasedifference；uncertainty

2016-01-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61501502)；陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015JM6277)

1007-2934(2016)04-0018-03

O321

ADOI：DOI:10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.004.006