魏岳嵩，肖燕婷，芮紹平①（.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 35000；.西安理工大學(xué)理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 70054）

線性代數(shù)課程中融入Matlab軟件教學(xué)的實(shí)踐與研究

魏岳嵩1，肖燕婷2，芮紹平1
①
（1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.西安理工大學(xué)理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710054）

文章研究在線性代數(shù)課程中融入Matlab軟件學(xué)習(xí)的教學(xué)改革.探討引入軟件教學(xué)的必要性，揭示如何處理好軟件教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的關(guān)系，闡述軟件教學(xué)的內(nèi)容與安排，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議.

線性代數(shù)；Matlab軟件；教學(xué)改革

線性代數(shù)作為高等院校理工科學(xué)生必修的公共基礎(chǔ)課程之一，具有概念抽象、邏輯性強(qiáng)、運(yùn)算復(fù)雜等特點(diǎn).在實(shí)際教學(xué)中，又面臨學(xué)時(shí)短、內(nèi)容多等問題，教師在教學(xué)中往往重計(jì)算、輕應(yīng)用，而手工計(jì)算的繁雜使學(xué)生深感枯燥，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.即使有些教師想與實(shí)際問題相結(jié)合，但面對工程領(lǐng)域龐大的數(shù)據(jù)，繁瑣的步驟，若采取筆算的方式是很難實(shí)現(xiàn)的.那么，如何避免繁雜計(jì)算的同時(shí)，又凸顯“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的這一特定教學(xué)目標(biāo)呢？科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和現(xiàn)代教學(xué)手段的改革為我們開辟一條新路子.

Matlab作為常用的數(shù)學(xué)軟件之一，具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖形可視化功能，可以滿足科研和工程計(jì)算的需要.因此，在線性代數(shù)的教學(xué)中適時(shí)適量地引入Matlab軟件教學(xué)內(nèi)容［1-3］，可以增強(qiáng)課程的工程背景，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識，加深學(xué)生對抽象概念的掌握和理解，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，從而提高教學(xué)質(zhì)量.

1　引入Matlab軟件教學(xué)的必要性

Matlab軟件教學(xué)與線性代數(shù)教學(xué)相結(jié)合，是近年來高校教師在探索教學(xué)改革時(shí)的一種新嘗試，它的作用主要體現(xiàn)在以下幾方面：

1.1抽象的概念借助幾何圖形來解釋，可以幫助學(xué)生直觀理解

線性代數(shù)課程中概念抽象，定理眾多，不易理解，如何深刻理解概念的本質(zhì)及定理之間的相互聯(lián)系就顯得尤為重要.

比如非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問題，如果以三元方程組為例，就可以從幾何圖形上直觀理解“有唯一解，無窮多解，無解”的情形.具體情況可見圖1.除此之外，三個(gè)向量線性相關(guān)可以理解為這三個(gè)向量共面，線性無關(guān)則為不共面；二階行列式的絕對值可以理解為以它的列向量為相鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積等.總之，線性代數(shù)中的眾多概念，都可以從幾何的角度出發(fā)，然后借助Matlab強(qiáng)大的圖形功能，幫助學(xué)生直觀理解.

1.2繁瑣的計(jì)算利用簡單程序的調(diào)用，體現(xiàn)機(jī)算的強(qiáng)大功能

在實(shí)際教學(xué)中，往往會(huì)聽到學(xué)生這樣的抱怨，線性代數(shù)課程的方法論簡單，但就是計(jì)算繁瑣，不是不會(huì)做，而是算不出，一個(gè)“算”字概括了線性代數(shù)的顯著特點(diǎn)之一.比如教材上的普通四階行列式的計(jì)算，三階矩陣的求逆等，運(yùn)算量都比較大，需要認(rèn)真仔細(xì)，稍微疏忽大意，就容易出錯(cuò).比如，一個(gè)一般的三階矩陣的求逆問題，如果采取筆算，不管是采用伴隨矩陣法還是初等變換法，都需要至少幾分鐘，但如果利用Matlab軟件，只需要在命令窗口輸入矩陣，然后一個(gè)簡單的inv命令，就可以了，只需要幾秒鐘而已.用學(xué)生的話說，那就是“Matlab簡直太神奇了”！那么，工程上處理的更大階數(shù)的矩陣，比如一幅圖像可以看成256*256的矩陣，筆算已經(jīng)不可能，這時(shí)，只有借助計(jì)算機(jī)來進(jìn)行機(jī)算.

圖1　三元方程組解的不同情況

1.3增加案例教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力

現(xiàn)在的學(xué)生在開始上一門新課程的時(shí)候，往往首先詢問任課教師的問題就是，這門課程到底有什么用處，尤其是對他自己的專業(yè)有什么幫助，或者能解決哪些實(shí)際問題.教師可以在實(shí)際教學(xué)中，采取適時(shí)引入應(yīng)用案例的方法，來吸引學(xué)生的注意力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性，同時(shí)達(dá)到學(xué)以致用的效果［4-5］.

比如在講完矩陣乘法之后，可提出著名的“人口遷移問題”［6］，設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化.每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū).假如開始時(shí)有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問1年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？10年、30年、50年后又如何？

這樣，就把書本上介紹的矩陣乘法與實(shí)際問題有機(jī)結(jié)合起來.緊接著引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)果可以看出，隨著時(shí)間的推移，市區(qū)人口和郊區(qū)人口之比是趨近于一個(gè)常值的，約為0.25/0.75，那么這個(gè)比值又有什么意義呢？等到了后面特征值與特征向量的學(xué)習(xí)時(shí)，再接著研究此題目，回答該比值的含義.這樣，又為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)埋下伏筆，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

除此之外，在學(xué)習(xí)逆矩陣之后，教師可以提出“密碼破譯”問題［7］；在學(xué)習(xí)線性相（無）關(guān)，向量組的極大無關(guān)組等之后，可以提出“藥品配方”問題；在學(xué)習(xí)方程組的解之后，可以提出“交通流量”問題等.像這樣，在講完課本上的理論知識之后，就緊接著介紹一個(gè)實(shí)際應(yīng)用案例的方法，不僅可以吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能更好地理解書本上的理論，達(dá)到學(xué)以致用的效果.這樣，通過Matlab軟件的學(xué)習(xí)就為數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用之間搭建一座橋梁.

1.4數(shù)學(xué)軟件的早期接觸，對后續(xù)課程的教學(xué)起示范作用

線性代數(shù)課程一般都開設(shè)在大學(xué)一年級下半學(xué)期，適時(shí)增加Matlab軟件教學(xué)，可以使學(xué)生較早地接觸一門實(shí)用性強(qiáng)的軟件，該語言與其他計(jì)算機(jī)語言兼容，相得益彰，為今后科研工作的開展奠定了基礎(chǔ).對后續(xù)課程，諸如信號與系統(tǒng)、電路基礎(chǔ)、通信原理、自動(dòng)控制原理等課程的學(xué)習(xí)都有很好的幫助.

2　處理好傳統(tǒng)教學(xué)與軟件教學(xué)的關(guān)系

雖然我們闡述了在教學(xué)中引入Matlab軟件教學(xué)的好處，但在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注意處理好傳統(tǒng)教學(xué)與軟件教學(xué)的關(guān)系，把握“筆算是基本，機(jī)算是輔助”的原則.

線性代數(shù)作為一門公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，它不僅要求學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)理論和方法，知道其應(yīng)用條件和使用步驟，還非常注重培養(yǎng)學(xué)生的基本運(yùn)算能力和邏輯推理能力.在引入機(jī)算的同時(shí)，不能忽略基本的筆算，削弱傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容，打亂原有的教學(xué)體系.在教學(xué)中，應(yīng)該注意避免學(xué)生過分依賴數(shù)學(xué)軟件的強(qiáng)大功能，而完全減弱淡化筆算能力，不能所有問題都拿到計(jì)算機(jī)上去算，完全丟掉筆和紙，本末倒置.應(yīng)該注重二者的有機(jī)結(jié)合，既強(qiáng)調(diào)機(jī)算的益處，又不能忽略筆算能力的培養(yǎng)和邏輯思維能力的提高.

3　建議

理學(xué)、工學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)的所有專業(yè)和部分文科專業(yè)開設(shè)線性代數(shù)課程，課時(shí)主要分為54課時(shí)和48課時(shí)兩種.對于理工科學(xué)生，可以嘗試?yán)肕atlab輔助教學(xué)，適當(dāng)增加Matlab的理論和實(shí)踐課時(shí)，進(jìn)行線性代數(shù)的教學(xué)試點(diǎn)改革.具體可考慮做以下兩方面的改變.

3.1學(xué)時(shí)安排

在傳統(tǒng)的理論教學(xué)基礎(chǔ)上，增加8個(gè)學(xué)時(shí)，其中，教師講解4學(xué)時(shí)，學(xué)生上機(jī)練習(xí)4學(xué)時(shí)，具體分配如下.

（1）在第一章行列式內(nèi)容講解完之后，介紹Matlab軟件入門及行列式的計(jì)算命令，時(shí)間為1學(xué)時(shí).

（2）在第二章矩陣內(nèi)容講解完之后，介紹矩陣運(yùn)算相關(guān)命令及實(shí)際應(yīng)用案例，如密碼破譯問題等，時(shí)間為1學(xué)時(shí).

（3）緊接著帶學(xué)生進(jìn)機(jī)房進(jìn)行第一次上機(jī)練習(xí)，時(shí)間為2學(xué)時(shí).

（4）在第三章向量和第四章方程組講解完之后，介紹有關(guān)向量與方程組的操作命令及相關(guān)實(shí)際應(yīng)用案例，如藥品配方問題和交通流量問題等，時(shí)間為1學(xué)時(shí).

（5）在第五章特征值和特征向量講解完之后，介紹相關(guān)命令及實(shí)際應(yīng)用案例，如人口遷移問題等，時(shí)間為1學(xué)時(shí).

（6）緊接著帶學(xué)生進(jìn)機(jī)房進(jìn)行第二次上機(jī)練習(xí)，時(shí)間為2學(xué)時(shí).

這里需要注意的問題，第一次上機(jī)練習(xí)多為學(xué)生第一次接觸Matlab軟件，遇到的問題會(huì)比較多，可以采取進(jìn)機(jī)房后，先由老師帶領(lǐng)學(xué)生回憶復(fù)習(xí)軟件內(nèi)容，再由學(xué)生自己練的方式.同時(shí)，應(yīng)該多配備幾名實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)教師，盡可能面對面解決學(xué)生的問題.

3.2考核方式的改變

可考慮將原有的考核方式變?yōu)閭鹘y(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容占80%，軟件教學(xué)占20%.而在軟件教學(xué)中，10%可設(shè)為較低層次的基本命令，要求學(xué)生記住常見的操作命令，諸如求行列式，求逆矩陣，求向量的極大無關(guān)組，解線性方程組，求方陣的特征值和特征向量等.10%為較高層次應(yīng)用案例分析，采取大作業(yè)的形式，由題目分析、源程序代碼、運(yùn)行結(jié)果以及結(jié)果分析4個(gè)部分組成.可以提前設(shè)置同類型的多道題目，采取學(xué)生隨機(jī)抽取的方式進(jìn)行.

4　結(jié)語

利用Matlab軟件進(jìn)行線性代數(shù)的輔助教學(xué)，為強(qiáng)化理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐應(yīng)用相結(jié)合提供一種新的途徑.在確保原有教學(xué)理論體系完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)上，融入軟件教學(xué)內(nèi)容，不僅使學(xué)生有了抽象思維的理性訓(xùn)練，同時(shí)又有應(yīng)用上的引導(dǎo)，對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高整體數(shù)學(xué)素質(zhì)，能起到很大的作用.因此，可以在部分專業(yè)中進(jìn)行實(shí)踐.

［1］陳懷琛，龔杰民.線性代數(shù)實(shí)踐及Matlab入門［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2009.

［2］譚瑞梅，朱云.工科“線性代數(shù)"課程改革模式探討［J］.高等理科教育，2005，13（6）：32-34.

［3］高淑萍.線性代數(shù)課程MATLAB實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的教學(xué)與研究［J］.中國電子教育，2007，14（4）：59-62.

［4］孫燕，呂唐紅.《線性代數(shù)》課程教學(xué)改革的實(shí)踐與思考［J］.長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，20（1）：42-44.

［5］杜燕飛，肖鵬.加強(qiáng)線性代數(shù)實(shí)踐教學(xué)，提高學(xué)生創(chuàng)新、實(shí)踐能力［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008，27（8）：54-55.

［6］閔蘭，陳曉敏.《線性代數(shù)》研究性教學(xué)案例［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，35（6）：206-208.

［7］卓澤朋，崇金鳳，杜翠真，等.地方院校線性代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐［J］.淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，35（3）：80-84.

Research on the Practicality of Immerging Matlab Software Teaching into Linear Algebra

WEI Yuesong1，XIAO Yanting2，RUI Shaoping1
（1.School of Mathematics Science，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China；2.Department of Applied Mathematics，Xi′an University of Technology，710054，Xi′an，Shanxi，China）

This paper is mainly for immerging the Matlab software teaching into linear algebra teaching prac?tice.The necessity of introduction of software teaching and how to handle the relationship between software teaching and traditional teaching are discussed.The contents and arrangement of the software teaching are described and some teaching suggestions are provided.

linear algebra；Matlab software teaching；teaching reform

G 642.0

C

2095-0691（2016）02-0075-04

2016-01-23

安徽省質(zhì)量工程教研項(xiàng)目（2015jyxm165）；淮北師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（jy14116，jy15106）

魏岳嵩（1975-），男，陜西定邊人，副教授，博士，研究方向：時(shí)間序列圖模型理論.