王永成（浙江省嘉興市海鹽高級(jí)中學(xué)）

錯(cuò)位相減求和方法在教學(xué)中的拓展

王永成
（浙江省嘉興市海鹽高級(jí)中學(xué)）

數(shù)列求和是數(shù)列專題中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考中的常考內(nèi)容，而錯(cuò)位相減法是解決數(shù)列求和問題的一種典型的方法，同時(shí)它也是“差比數(shù)列”的求和公式推導(dǎo)，因此它有著廣泛的應(yīng)用。此法雖然適用范圍明確，思路清晰，過(guò)程的形式固定，但是計(jì)算量較大，學(xué)生得分率很低，特別在高考試卷中得分低尤為突出。為了解決這樣的現(xiàn)狀，主要談了教學(xué)中的幾點(diǎn)教學(xué)拓展，以便于學(xué)生能更好地掌握此法。

教學(xué)拓展；數(shù)列求和；錯(cuò)位相減法；差比數(shù)列

一、錯(cuò)位相減法的背666F

數(shù)列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯(cuò)位相減法，拆項(xiàng)法，裂項(xiàng)法，累加法，等價(jià)轉(zhuǎn)化等。錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的重要方法，也是高考的一大熱點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”一節(jié)中，給出了等比數(shù)列｛an｝前n項(xiàng)和Sn的推導(dǎo)方法：

Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，等號(hào)兩邊同乘以公比q得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn，

求這類數(shù)列前n項(xiàng)的和時(shí)通常在和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，通常將這種方法稱為“錯(cuò)位相減法”，顧名思義：“錯(cuò)一位兩式相減”。

二、錯(cuò)位相減法的應(yīng)用

錯(cuò)位相減法除了用于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)之外，還能解決一類數(shù)列的求和問題。這一類數(shù)列通常被教師形象地稱為“差比數(shù)列”。即，等差數(shù)列｛an｝與等比數(shù)列｛bn｝對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積的數(shù)列｛anbn｝。

設(shè)Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn

即Sn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+an-1b1qn-2+anb1qn-1①

①×q得qSn=a1b1q+a2b1q2+…+an-2b1qn-2+an-1b1qn-1+anb1qn②

①-②得（1-q）Sn=a1b1+（db1q+db1q2+…db1qn-2+db1qn-1）-anb1qn

三、錯(cuò)位相減法教學(xué)的反思

在課后的作業(yè)情況及與學(xué)生的交流討論中，了解到學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法的困惑。出錯(cuò)的主要原因有：學(xué)生不知道何時(shí)用錯(cuò)位相減法，計(jì)算過(guò)程出錯(cuò)，計(jì)算結(jié)果一般比較復(fù)雜導(dǎo)致學(xué)生信心不足，或者結(jié)論未對(duì)公比討論等等。

筆者對(duì)此反思，試著探討發(fā)現(xiàn)錯(cuò)位相減法的教與學(xué)存在著哪些需要注意的細(xì)節(jié)并有效地進(jìn)行拓展。

四、錯(cuò)位相減法的拓展

用錯(cuò)位相減法求和思路清晰，解題步驟明確，學(xué)生也容易理解，但是教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)學(xué)生用錯(cuò)位相減法求“差比數(shù)列”的和錯(cuò)誤率很高，為此在教學(xué)上需要有所拓展，提高解題的有效性。

1.從數(shù)列結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)上的拓展

例1.設(shè)an=2n+1，bn=3n，Tn=anb1+an-1b2+…+a2bn-1+a1bn，求Tn．

對(duì)此問題，僅有少數(shù)幾個(gè)學(xué)生能夠想到用錯(cuò)位相減法做，很出乎教師的意料。在與學(xué)生的交流過(guò)程中了解到其中的問題所在，不少學(xué)生認(rèn)為這并不是差比數(shù)列｛anbn｝的求和問題，因?yàn)椴畋葦?shù)列的和應(yīng)該是Tn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn，而所給問題中的和是Tn=anb1+an-1b2+…+a2bn-1+a1bn

面對(duì)此種情況，教學(xué)可以從兩個(gè)方面去拓展：一是反問學(xué)生：“難道an，an-1，…，a2，a1不是等差數(shù)列嗎？”讓學(xué)生從“差比數(shù)列”的含義去思考；二是提示學(xué)生：既然已經(jīng)知道，an=2n+1，bn=3n，那么和Tn=anb1+an-1b2+…+a2bn-1+a1bn是否可以寫得更具體一些呢？

經(jīng)過(guò)討論和嘗試，大多數(shù)學(xué)生明白了：一個(gè)等差數(shù)列，順序上倒過(guò)來(lái)仍然是一個(gè)等差數(shù)列（公差是相反數(shù)）。不僅如此，一個(gè)等比數(shù)列，順序上倒過(guò)來(lái)仍然是一個(gè)等比數(shù)列（公比是倒數(shù)）。還有，將Tn寫成Tn=（2n+1）×3+（2n-1）×32+（2n-3）×33+…+5×3n-1+3×3n。

更可以直觀地看出：和式中每一項(xiàng)，前一個(gè)因式成等差，后一個(gè)因式成等比。問題仍然是“差比數(shù)列求和”。

2.從操作過(guò)程的細(xì)節(jié)上的拓展

知道了怎么做，并不等于就做得對(duì)。對(duì)于一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)尤其如此。所以教學(xué)上還需要關(guān)注細(xì)節(jié)。還是以例1為例：

解：由an=2n+1，bn=3n，得

Tn=（2n+1）×3+（2n-1）×32+（2n-3）×33+…+5×3n-1+3×3n①

①×3得

3Tn=（2n+1）×32+（2n-1）×33+…+7×3n-1+5×3n+3×3n-1②，

-2Tn=（2n+1）×3+（9-3n+1）-3×3n+1=-4×3n+1+或字里行間圈、點(diǎn)、勾、畫，留下一行行娟秀小字，記錄下點(diǎn)滴閱讀感受，待日后回味細(xì)品，這才是真正的閱讀。九年級(jí)上冊(cè)第六單元系統(tǒng)地教學(xué)生圈點(diǎn)批注的方法，我認(rèn)為不用等到九年級(jí)，初一就可以嘗試著做起來(lái)。當(dāng)然，養(yǎng)成科學(xué)的閱讀習(xí)慣需要經(jīng)歷一個(gè)轉(zhuǎn)變、適應(yīng)的漫長(zhǎng)過(guò)程。

首先，要讓孩子知道應(yīng)該讀什么。教師可根據(jù)教學(xué)需要推薦適合的美文，比如學(xué)習(xí)了《背影》一文，為了使課堂得到延伸，啟發(fā)學(xué)生在平常小事里發(fā)掘摯愛親情，多關(guān)注那些因常見而被忽視的溫情細(xì)節(jié)，我推薦了史鐵生的《我與地壇》第二部分。作者癱瘓，母親生怕觸碰兒子脆弱、敏感的神經(jīng)，便讓“跳”“跑”等字眼在嘴里消失了，小小細(xì)節(jié)讓學(xué)生體會(huì)到母親的良苦用心。多介紹一些優(yōu)秀的作家作品，讓學(xué)生有文可讀。

其次，教學(xué)生怎么讀。這需要爭(zhēng)取家長(zhǎng)配合，當(dāng)教師推薦美文給學(xué)生閱讀的時(shí)候，不要圖省事，一“搜”了之，一定要打印出來(lái)，讓學(xué)生直接在紙上“閱讀”。哪些詞語(yǔ)充滿靈性，讓人“驚艷”？哪些句子能觸碰到你柔軟的心房？把它們找出來(lái)，珍而重之，動(dòng)情地讀一讀、仔細(xì)地劃一劃。不光用眼睛看，更要用腦子想，在旁邊寫一寫讀到這些文字的感受，哪怕就簡(jiǎn)單的一個(gè)字——“好”！不用擔(dān)心，漸漸地學(xué)生自己也不會(huì)滿足于“一字真言”。

最后，為了培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，需要教師不間斷地指導(dǎo)、監(jiān)督，還需要保證一定的閱讀時(shí)間。利用好在校的零碎時(shí)間——早自習(xí)、午休課，帶著他們讀讀文章、說(shuō)說(shuō)感受、寫寫體會(huì)?！皩憽笔菍?duì)“說(shuō)”和“想”的整理，使我們的思考由淺入深、更有條理。經(jīng)過(guò)系統(tǒng)、有序的訓(xùn)練，學(xué)生勢(shì)必能掌握細(xì)讀慢閱的方法，養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣。

2.合理利用網(wǎng)絡(luò)拓展閱讀范圍，展示閱讀成果

網(wǎng)絡(luò)是一把雙刃劍，一方面拓寬了學(xué)生的知識(shí)面、增加了閱讀量，另一方面高速度帶來(lái)了“淺”閱讀、淺思維，但多數(shù)學(xué)生還是沉迷其中。如何正確利用網(wǎng)絡(luò)資源，降低網(wǎng)絡(luò)對(duì)中學(xué)生閱讀習(xí)慣的不良影響？這不僅是語(yǔ)文教育者的迫切要求，也是現(xiàn)實(shí)和時(shí)代的需求。

首先，堵不如疏，教者應(yīng)充分利用網(wǎng)絡(luò)的便利引導(dǎo)學(xué)生有針對(duì)性地搜集閱讀資料，拓展閱讀視野。當(dāng)學(xué)習(xí)到曹操的《觀滄?！贰洱旊m壽》時(shí)，學(xué)生接觸到一個(gè)躊躇滿志、自信樂觀的政治家形象，與傳統(tǒng)觀念中敏感多疑的白臉奸相產(chǎn)生了強(qiáng)烈的對(duì)比。一鍵鏈接到“百家講壇”中易中天對(duì)曹操的解讀，進(jìn)一步延伸課堂，讓不同的思想碰撞出新的靈感，增加學(xué)生思維的寬度和深度。

其次，利用多媒體這個(gè)平臺(tái)，及時(shí)高效地分享各自的閱讀體會(huì)。建設(shè)班級(jí)博客，給學(xué)生提供一個(gè)交流思想的驛站，也方便教師布置課后閱讀任務(wù)、設(shè)定適宜的互動(dòng)話題。青少年正處在一個(gè)“自我發(fā)現(xiàn)”的特殊階段，產(chǎn)生了強(qiáng)烈的自我意識(shí)和獨(dú)立要求，開始用批判的眼光來(lái)看待周圍事物，有獨(dú)到的見解，喜歡質(zhì)疑和爭(zhēng)論；期望自己在集體中占據(jù)重要位置，渴望被重視、被需要。利用青少年的這些心理特點(diǎn)，鼓勵(lì)大家抒寫自己獨(dú)特的感受、積極參與閱讀體會(huì)的交流，并為此提供安全、健康的平臺(tái)以滿足他們被關(guān)注的心理需求。

最后，可定期組織各任課教師和學(xué)生評(píng)選較有價(jià)值的讀書筆記，發(fā)現(xiàn)獨(dú)特的閱讀視角，打印成冊(cè)各班交流。這樣既點(diǎn)燃了學(xué)生參與的熱情也表明了“大眾”的審美傾向，更好地做出正面引導(dǎo)。

以上就是我對(duì)當(dāng)前閱讀教學(xué)中遇到的問題的思考。有人說(shuō)一個(gè)人的閱讀史就是這個(gè)人的精神成長(zhǎng)史，通過(guò)一個(gè)民族的閱讀史可以看出這個(gè)民族思想的深度和高度。信息時(shí)代更需要打造閱讀的一代，培養(yǎng)良好的閱讀習(xí)慣、提高修養(yǎng)，構(gòu)建讀書人的國(guó)度。

·編輯杜嫣然