閆循良, 廖守億, 王仕成

(火箭軍工程大學(xué)控制工程系, 陜西 西安 710025)

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基于偽譜重構(gòu)的采樣反饋近最優(yōu)制導(dǎo)

閆循良, 廖守億, 王仕成

(火箭軍工程大學(xué)控制工程系, 陜西 西安 710025)

利用采樣反饋控制和軌跡快速重構(gòu)技術(shù),設(shè)計(jì)了固定采樣反饋和自適應(yīng)采樣反饋兩種有限推力遠(yuǎn)程變軌近最優(yōu)閉環(huán)制導(dǎo)策略。建立了空間變軌和交會(huì)最優(yōu)制導(dǎo)數(shù)學(xué)模型。結(jié)合變軌運(yùn)動(dòng)方程特征,給出了偽譜優(yōu)化參數(shù)縮減方法和實(shí)時(shí)性提升策略;基于采樣反饋和最優(yōu)控制理論,利用采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行連續(xù)軌跡重構(gòu),并將開(kāi)環(huán)最優(yōu)解進(jìn)行閉環(huán)反饋以更新制導(dǎo)指令。仿真結(jié)果表明,兩種策略在保證任務(wù)指標(biāo)近最優(yōu)性的同時(shí),可以有效抑制地球扁率J2攝動(dòng)和計(jì)算誤差的影響;自適應(yīng)采樣策略自主性好、制導(dǎo)精度誤差收斂快,但計(jì)算量和燃耗偏大,二者使用時(shí)需要根據(jù)具體任務(wù)要求合理選擇。

遠(yuǎn)程交會(huì); 閉環(huán)制導(dǎo); 近最優(yōu)制導(dǎo); 采樣反饋; 偽譜軌跡重構(gòu)

0　引　言

隨著空間任務(wù)復(fù)雜性和多樣性的進(jìn)一步提高,航天器要求其變軌制導(dǎo)系統(tǒng)和制導(dǎo)律具備良好的自主性、自適應(yīng)性、魯棒性和安全性等特點(diǎn)。而經(jīng)典的沖量變軌制導(dǎo)律以及有限推力非最優(yōu)制導(dǎo)律[1-5]很難滿足以上要求。

目前,為了提高航天飛行任務(wù)的可行、可靠和最佳性能,遠(yuǎn)程變軌軌道設(shè)計(jì)往往引入最優(yōu)控制理論,將機(jī)動(dòng)軌道和制導(dǎo)律設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問(wèn)題,并采用數(shù)值方法進(jìn)行求解[6-7]。然而,此類制導(dǎo)律多為非閉環(huán)形式,制導(dǎo)精度和魯棒性受實(shí)際飛行環(huán)境影響較大。隨著控制理論和計(jì)算軟硬件技術(shù)的發(fā)展,尤其是高性能計(jì)算設(shè)備的出現(xiàn),非線性反饋控制理論被引入最優(yōu)控制領(lǐng)域,如基于偽譜法的最優(yōu)反饋控制算法[8-9]。該算法利用偽譜法的數(shù)值計(jì)算優(yōu)勢(shì)和采樣反饋控制理論,通過(guò)實(shí)時(shí)反饋低采樣頻率數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了高精度的控制,且不需要求解復(fù)雜的偏微分方程,因此被廣泛應(yīng)用于飛行器制導(dǎo)、控制問(wèn)題[10-13]。

基于文獻(xiàn)[8-9]的實(shí)時(shí)反饋控制方法和本人前期工作[13],本文將改進(jìn)的偽譜方法與采樣反饋技術(shù)相結(jié)合,分別設(shè)計(jì)了固定采樣和自適應(yīng)采樣反饋兩種近最優(yōu)制導(dǎo)策略,并通過(guò)有限推力燃耗最優(yōu)交會(huì)制導(dǎo)仿真驗(yàn)證了其可行性和有效性。

1　遠(yuǎn)程變軌最優(yōu)制導(dǎo)

1.1運(yùn)動(dòng)模型描述

由文獻(xiàn)[13]可知,考慮攝動(dòng)的航天器變軌動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

將式(1)無(wú)量綱歸一化,得到

(3)

式中,η=Tref/(mrefg0),mref=m0為量綱質(zhì)量;Tref=Tmax為量綱力;上標(biāo)“-”表示無(wú)量綱化的參數(shù),簡(jiǎn)便起見(jiàn),后文均將“-”忽略。相關(guān)處理過(guò)程及參數(shù)定義見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

1.2最優(yōu)交會(huì)制導(dǎo)規(guī)律設(shè)計(jì)問(wèn)題描述

燃料最優(yōu)往往是空間變軌首要考慮的性能指標(biāo)?？紤]燃料最省交會(huì),有

J=m0-mf→min

(4)

且需要滿足運(yùn)動(dòng)微分方程約束、端點(diǎn)約束、狀態(tài)及控制約束,以及推力方向矢量?jī)?nèi)點(diǎn)路徑約束

(5)

最優(yōu)交會(huì)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題可描述為:對(duì)于給定的飛行工況,設(shè)計(jì)規(guī)劃用于航天器變軌機(jī)動(dòng)的最佳T(t)、u(t)等控制參數(shù),保證其在完成預(yù)定交會(huì)變軌任務(wù)的同時(shí),滿足精度、燃料最省等指標(biāo)要求?？梢?jiàn),該問(wèn)題為一考慮干擾和不確定因素的典型多約束、非線性復(fù)雜最優(yōu)控制問(wèn)題,其一般描述形式(典型非線性系統(tǒng))為

(6)

式中,未攝動(dòng)常量參數(shù)p0∈RNp，X(t)?RNx,U(t,x(t))?RNu分別為相應(yīng)維數(shù)的實(shí)數(shù)空間;且作如下假設(shè),對(duì)容許任意控制u(t)而言,微分方程函數(shù)矢量f∈RNx均滿足C1-Carathéodory必要條件[8-9]。

將最優(yōu)控制描述為以下典型形式:尋找組合{x(t),u(t)}及系統(tǒng)參數(shù)p0,最小化目標(biāo)函數(shù)

(7)

除典型運(yùn)動(dòng)微分方程式(6)外,還需滿足式(8)～式(10)所描述的一般形式的非線性復(fù)雜代數(shù)約束：

(8)

(9)

(10)

由于實(shí)際應(yīng)用中存在參數(shù)不確定性因素和外界干擾,對(duì)應(yīng)式(6)的實(shí)際非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程形式為

(11)

式中,ζ(t)為外部干擾;p為實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)常量。

基于文獻(xiàn)[8-9]提出的實(shí)時(shí)最優(yōu)反饋控制原理,可以對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解,在處理不確定性因素和外界干擾影響的同時(shí),實(shí)現(xiàn)性能的最優(yōu)化。即利用采樣周期對(duì)控制時(shí)間區(qū)間[t0,tf]分段,順序解算[ti,ti+1]上的開(kāi)環(huán)最優(yōu)解u(t)=k(t,x(ti)),依次執(zhí)行上述開(kāi)環(huán)解，即等價(jià)于閉環(huán)反饋控制。解的穩(wěn)定性、連續(xù)性等詳細(xì)討論見(jiàn)文獻(xiàn)[8-9,12]。

2　近最優(yōu)制導(dǎo)策略設(shè)計(jì)

2.1改進(jìn)的偽譜軌跡快速優(yōu)化設(shè)計(jì)

由于具備解算實(shí)時(shí)性高、初值不敏感、解曲線相對(duì)光滑等諸多數(shù)值解算性能優(yōu)勢(shì)[7-8,13-14],偽譜方法(pseudospectral method,PSM),尤其是Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) PSM,在最優(yōu)控制及軌跡優(yōu)化領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用[14-15]。本節(jié)結(jié)合遠(yuǎn)程機(jī)動(dòng)變軌數(shù)學(xué)模型特征,根據(jù)位置矢量和速度矢量的物理意義和微分關(guān)系,通過(guò)變量代換等簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算消去LGL PSM中的速度優(yōu)化參量,并對(duì)約束條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換處理,從而達(dá)到降低優(yōu)化變量和約束方程數(shù)目,最終提高LGL PSM數(shù)值解算效率的目的。

考慮到LGL PSM在τ∈[-1,1]上用Lagrange多項(xiàng)式對(duì)狀態(tài)量和控制量進(jìn)行擬合,故將時(shí)間變量t進(jìn)行變換:

(12)

將式(3)改寫為微分方程組的形式:

(13)

基于LGL PSM將式(13)離散化,得到代數(shù)方程組:

(14)

式中,D=[Dki]為(N+1)×(N+1)維微分矩陣。R、V、A、M、T分別為相應(yīng)變量在LGL點(diǎn)的離散值。故優(yōu)化變量為X=[RTVTMT]T。

將式(14)的前兩式重新改寫,有

D1R=V,D1V=A

(15)

得到新的離散化方程為

(16)

其中

(17)

考慮質(zhì)量離散化方程,得到縮減的待優(yōu)化變量為X′=[RTMT]T,微分方程約束的離散化形式為

(18)

并有

V=D1R

(19)

經(jīng)過(guò)上述變換,待優(yōu)化變量消去了狀態(tài)分量V,由X縮減為X′;與此相對(duì)應(yīng),離散化的微分方程約束則消去了與V有關(guān)的矢量方程,由式(14)變?yōu)槭?18)。結(jié)合V的物理意義知其維數(shù)為3(N+1),因此,待優(yōu)化變量和總約束均縮減了3(N+1)。可見(jiàn),變換處理后,偽譜解算效率和算法的實(shí)時(shí)性均將會(huì)顯著提高。

2.2近最優(yōu)閉環(huán)制導(dǎo)策略

如圖1所示,本節(jié)設(shè)計(jì)了固定采樣和自適應(yīng)采樣反饋兩種閉環(huán)近最優(yōu)制導(dǎo)策略。

圖1　閉環(huán)近最優(yōu)制導(dǎo)策略框圖Fig.1　Closed-loop near optimal guidance frame

開(kāi)環(huán)軌跡離線生成模塊通過(guò)離線解算,為首次在線軌跡重構(gòu)提供初值,從而保證算法的計(jì)算效率和優(yōu)化收斂性能;數(shù)據(jù)處理及存儲(chǔ)模塊用于實(shí)現(xiàn)在線優(yōu)化結(jié)果的存儲(chǔ)和控制指令的映射插值;真實(shí)動(dòng)力學(xué)模型模塊主要進(jìn)行運(yùn)動(dòng)方程積分、狀態(tài)測(cè)量和飛行模擬;制導(dǎo)邏輯模塊則通過(guò)對(duì)狀態(tài)偏差的分析,完成是否執(zhí)行軌跡重構(gòu)判斷;狀態(tài)預(yù)報(bào)模型模塊主要用于預(yù)報(bào)下一采樣時(shí)刻的狀態(tài)數(shù)據(jù)。其中,僅固定采樣反饋策略需要用到狀態(tài)預(yù)報(bào)模型。

2.2.1固定采樣反饋近最優(yōu)制導(dǎo)策略

設(shè)采樣周期為Δt,采樣時(shí)刻ti+1=ti+Δt。

步驟 2執(zhí)行制導(dǎo)算法控制邏輯模塊:

(20)

式中,范數(shù)‖·‖均取2范數(shù)‖·‖2進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于終端狀態(tài)而言,有

(21)

對(duì)于過(guò)程狀態(tài)條件,有

(22)

ε偏差球由具體任務(wù)要求決定,同時(shí)取決于制導(dǎo)系統(tǒng)的硬件設(shè)備性能。

邏輯判斷執(zhí)行過(guò)程:若式(21)成立,意味著終端精度達(dá)到預(yù)定指標(biāo),閉環(huán)制導(dǎo)任務(wù)完成,即無(wú)需繼續(xù)執(zhí)行軌跡重構(gòu)解算,而是保持當(dāng)前制導(dǎo)指令變軌飛行至任務(wù)結(jié)束;式(21)不成立時(shí),若式(22)成立,則表明當(dāng)前測(cè)量狀態(tài)與前一次優(yōu)化狀態(tài)滿足偏差要求,則繼續(xù)積分運(yùn)動(dòng)方程而不進(jìn)行軌跡重構(gòu),即轉(zhuǎn)到步驟1;否則,轉(zhuǎn)至步驟3;

2.2.2自適應(yīng)采樣反饋近最優(yōu)制導(dǎo)策略

步驟 1與第2.2.1節(jié)步驟1相同。

步驟 2與第2.2.1節(jié)步驟2相同。

3　算例及分析

本節(jié)開(kāi)展燃料最省近地軌道遠(yuǎn)程空間交會(huì)制導(dǎo)仿真。表1給出了交會(huì)雙方航天器的軌道根數(shù)。其余仿真條件設(shè)置如下:追蹤航天器初始質(zhì)量m0=1 000 kg,攜帶燃料質(zhì)量mp=400 kg,有限推力發(fā)動(dòng)機(jī)相關(guān)參數(shù)為比沖Isp=300 s,推力極值Tmax=500 N。

表1　相關(guān)初始軌道根數(shù)

仿真用臺(tái)式計(jì)算機(jī)配置:E7500/2.93GHzCPU,2G內(nèi)存,編程環(huán)境為Matlab。初值生成器[7]的初始節(jié)點(diǎn)數(shù)目N1=5,離線及在線重構(gòu)所用的多節(jié)點(diǎn)數(shù)目均取N2=25?；谛蛄卸我?guī)劃(sequencequadraticprogram,SQP)優(yōu)化軟件包SNOPT對(duì)該問(wèn)題數(shù)值求解。

為了驗(yàn)證本文制導(dǎo)算法的精度、魯棒性等性能,制導(dǎo)仿真重點(diǎn)考慮地球扁率J2攝動(dòng)、計(jì)算誤差、預(yù)報(bào)誤差等影響,即軌跡重構(gòu)和狀態(tài)預(yù)報(bào)不考慮J2攝動(dòng),而只在模擬實(shí)際飛行過(guò)程中考慮。固定采樣周期Δt需要結(jié)合任務(wù)要求和彈載計(jì)算機(jī)性能進(jìn)行選擇。初步計(jì)算后,根據(jù)優(yōu)化計(jì)算需求,本文保守選取Δt=10s。由于無(wú)法真正獲取實(shí)際工程中對(duì)位置和速度偏差的精度要求,故人為選取了一組偏差球參數(shù)來(lái)驗(yàn)證算法的有效性,其中,εrm=5m,εvm=0.05m/s,εrf=50m,εvf=0.5m/s。

表2給出了開(kāi)環(huán)制導(dǎo)(用OL表示)、固定采樣反饋閉環(huán)制導(dǎo)(用FSP表示)、自適應(yīng)采樣反饋閉環(huán)制導(dǎo)(用ASP表示)的仿真結(jié)果。飛行結(jié)束tf時(shí)刻的質(zhì)量、位置及速度偏差分別用mf、Δrf、Δvf表示,Tg為閉環(huán)反饋制導(dǎo)連續(xù)軌跡重構(gòu)結(jié)束時(shí)對(duì)應(yīng)時(shí)刻,該時(shí)刻表征了制導(dǎo)解算的結(jié)束時(shí)間。圖2給出了部分情況對(duì)應(yīng)的狀態(tài)軌跡、制導(dǎo)指令結(jié)果對(duì)比。

表2　不同制導(dǎo)策略的仿真結(jié)果

圖2　不同情況的制導(dǎo)仿真結(jié)果對(duì)比Fig.2　Results comparison of different guidance schemes

由表2可知,采用離線軌跡優(yōu)化得到的控制指令進(jìn)行開(kāi)環(huán)制導(dǎo),無(wú)論有無(wú)J2攝動(dòng)交會(huì)誤差均較大,考慮J2影響時(shí)位置和速度誤差分別達(dá)到5 833m和3.76m/s。究其原因,主要有以下幾方面:①軌跡優(yōu)化所用離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少;②積分計(jì)算等數(shù)值誤差的積累;③最優(yōu)控制曲線的光滑程度較差、對(duì)其插值所用方法精度較低。

通過(guò)表2不難發(fā)現(xiàn),兩種閉環(huán)制導(dǎo)策略交會(huì)精度得到顯著提高,均滿足所設(shè)定的偏差球要求,即位置偏差不大于50m,速度偏差不大于0.5m/s,但為了修正制導(dǎo)誤差,二者交會(huì)時(shí)間均有一定的增加。分析閉環(huán)制導(dǎo)策略可知,閉環(huán)制導(dǎo)一方面通過(guò)軌跡重構(gòu)增加了積分過(guò)程所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目,另一方面,連續(xù)采樣和軌跡重構(gòu)減小了積分計(jì)算誤差的積累,因此能夠彌補(bǔ)開(kāi)環(huán)制導(dǎo)的前兩條不足,以提高制導(dǎo)精度。由表2亦可知,對(duì)于閉環(huán)制導(dǎo)策略而言,在滿足速度偏差要求時(shí),有無(wú)J2攝動(dòng)的位置誤差不同,如對(duì)于ASP閉環(huán)制導(dǎo)而言,無(wú)J2攝動(dòng)的位置誤差為48.55m,而有J2攝動(dòng)時(shí)為12.52m。分析可知,考慮J2攝動(dòng)時(shí),對(duì)于所設(shè)定的偏差球誤差要求,位置誤差收斂速度較快,待位置誤差滿足要求后,繼續(xù)進(jìn)行軌跡重構(gòu)計(jì)算,直至速度誤差滿足要求,此時(shí)位置誤差已得到進(jìn)一步改善。

由圖2(d)可知,閉環(huán)制導(dǎo)對(duì)應(yīng)的控制指令連續(xù)性和光滑性較差,其局部放大圖如圖3所示。實(shí)際上,除了燃料最優(yōu)所具有的近似“bang-bang”控制特性外,控制指令的不連續(xù)和非光滑性體現(xiàn)了攝動(dòng)和計(jì)算誤差的影響。由于攝動(dòng)和誤差的存在,連續(xù)采樣和軌跡重構(gòu)得到的開(kāi)環(huán)控制初始條件與上一次最優(yōu)解并不一致,故使得閉環(huán)制導(dǎo)控制指令存在明顯的不連續(xù)和不光滑,這也體現(xiàn)了閉環(huán)制導(dǎo)對(duì)開(kāi)環(huán)最優(yōu)控制的不斷修正?？紤]有些實(shí)際任務(wù)對(duì)控制指令光滑性要求較高,可以通過(guò)引入控制指令變化率約束,并在采樣點(diǎn)施加連續(xù)性條件加以改進(jìn)。

圖3　控制指令局部放大圖Fig.3　Local enlarged drawing of control command

此外,分析表2及圖2可知,ASP策略制導(dǎo)精度誤差收斂速度優(yōu)于FSP策略,對(duì)應(yīng)燃耗和交會(huì)時(shí)間則具有劣勢(shì)。不考慮J2攝動(dòng)時(shí),ASP策略在進(jìn)行639.74s制導(dǎo)計(jì)算后即可保證以給定精度完成交會(huì)任務(wù),而FSP策略制導(dǎo)計(jì)算時(shí)間則為1 060s,即前者比后者提前420.26s完成制導(dǎo)解算任務(wù),若考慮J2攝動(dòng),提前時(shí)間為21.05s。相應(yīng)地,與FSP策略相比,ASP策略燃耗代價(jià)較大,分別增加0.15kg和14.92kg。與此同時(shí),ASP策略所需的交會(huì)時(shí)間有一定的增加,分別增大0.23s和3.42s。

表3給出了不同制導(dǎo)策略連續(xù)軌跡重構(gòu)的CPU耗時(shí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,可見(jiàn),兩種制導(dǎo)策略的單次CPU耗時(shí)最大值tmax均不超過(guò)10s,平均CPU耗時(shí)tave均小于1s,具有較好的實(shí)時(shí)性和在線應(yīng)用潛力;ASP策略軌跡重構(gòu)次數(shù)Iter較多,但單次CPU耗時(shí)較小,故在保證反饋更新周期自適應(yīng)調(diào)整的同時(shí),具有更好的在線應(yīng)用潛力。

表3　閉環(huán)制導(dǎo)軌跡重構(gòu)CPU耗時(shí)統(tǒng)計(jì)

可見(jiàn),ASP制導(dǎo)策略具有更高的自主性,精度誤差收斂性優(yōu)于FSP策略,但燃耗代價(jià)偏大,所需交會(huì)時(shí)間偏長(zhǎng);單次CPU耗時(shí)較少,但軌跡重構(gòu)次數(shù)較多,計(jì)算量偏大。因此,可結(jié)合交會(huì)精度誤差收斂速度、燃耗、交會(huì)時(shí)間、軌跡重構(gòu)次數(shù)和單次CPU耗時(shí)等要求進(jìn)行閉環(huán)制導(dǎo)策略的選擇應(yīng)用。

4　結(jié)　論

基于采樣反饋控制理論和軌跡重構(gòu)算法,針對(duì)空間遠(yuǎn)程交會(huì)問(wèn)題,本文設(shè)計(jì)了兩種閉環(huán)近最優(yōu)制導(dǎo)策略。仿真結(jié)果表明:

(1) 與傳統(tǒng)的軌跡跟蹤制導(dǎo)方法不同,本文的兩種閉環(huán)制導(dǎo)策略均無(wú)需進(jìn)行參考軌跡跟蹤和控制增益調(diào)整,而是通過(guò)在線軌跡重構(gòu)技術(shù)進(jìn)行閉環(huán)指令反饋更新,以實(shí)現(xiàn)對(duì)地球扁率J2攝動(dòng)偏差和計(jì)算誤差影響的修正,而改進(jìn)的偽譜軌跡優(yōu)化算法保證了軌跡重構(gòu)的實(shí)時(shí)性能,故所提閉環(huán)制導(dǎo)策略具有較高的精度,較好的自主性、魯棒性和實(shí)時(shí)性,以及在線應(yīng)用潛力;

(2)ASP制導(dǎo)策略的采樣時(shí)間可隨飛行狀態(tài)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,具有更高的自主性,精度誤差收斂性優(yōu)于FSP策略,但燃耗代價(jià)偏大,所需交會(huì)時(shí)間偏長(zhǎng),軌跡重構(gòu)次數(shù)較多,計(jì)算量偏大,因此在應(yīng)用時(shí)需要根據(jù)具體情況進(jìn)行選擇。

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Sampled-data feedback control for near optimal guidance via pseudospectral trajectory reconfiguration

YAN Xun-liang, LIAO Shou-yi, WANG Shi-cheng

(DepartmentofControlEngineering,RocketForceUniversityofEngineering,Xi’an710025,China)

Two closed-loop near optimal guidance schemes, which are based on sampled-data optimal feedback control and pseudospectral trajectory reconfiguration, are studied and proposed for long-range rendezvous with finite thrust. They are defined respectively as the fixed sampling period(FSP) feedback and adaptive sampling period(ASP) feedback schemes according to different sampling period. Firstly, the dynamics model and fuel-optimal guidance problem are described. Combining the characteristics of the dynamics model with the pseudospectral method, a computational efficiency refinement method with the reduced state parameters, is proposed to improve the efficiency of trajectory optimization. Starting from the sampled-data optimal feedback control theory, the control command for closed-loop guidance can be updated and fed back continuously through successive trajectory reconfiguration using sampled data. The Simulation results indicate that the algorithms can not only supply excellent near optimal solution for practical mission, but can manage numerical errors, disturbances, and the J2 perturbation. Furthermore, the adaptive sampling period guidance scheme is not only more autonomous, but it has a better convergence for guidance accuracy with higher computation and fuel expense. Consequently, a favorable decision should be made for two schemes in application.

long-range rendezvous; closed-loop guidance; near optimal guidance; sampled-data feedback; pseudospectral trajectory reconfiguration

2015-06-03；

2016-03-23；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-06-22。

中國(guó)博士后科學(xué)基金特別項(xiàng)目(2014T70974)資助課題

V 421.4

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.23

閆循良(1984-),男,講師,博士,主要研究方向?yàn)轱w行動(dòng)力學(xué)與控制、制導(dǎo)及軌跡優(yōu)化。

E-mail:xly_nwpu@126.com

廖守億(1974-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)、復(fù)雜系統(tǒng)建模與仿真。

E-mail:6127725@qq.com

王仕成(1962-),男,教授,博士,主要研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)、控制與仿真。

E-mail:wsc@vip.163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160622.1118.002.html