齊　昕,寧利中,余　荔,劉嘉夫

(1.重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院,重慶 402160;2.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院,陜西 西安 710048;3.廣西電力工業(yè)勘察設(shè)計研究院,廣西 南寧 530023)

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雙局部行波斑圖的形成與時空結(jié)構(gòu)

齊昕1,寧利中2,余荔3,劉嘉夫1

(1.重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院,重慶 402160;2.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院,陜西 西安 710048;3.廣西電力工業(yè)勘察設(shè)計研究院,廣西 南寧 530023)

在大長高比Γ=30,弱分離比ψ=-0.20參數(shù)下,通過二維流體力學(xué)基本方程組模擬了混合流體Rayleigh-Benard對流運動。通過變化相對瑞利數(shù)r,在對流分叉曲線鞍結(jié)點處得到了雙局部行波,分析了雙局部行波斑圖的形成過程及時空結(jié)構(gòu),討論了其動力學(xué)特性。

混合流體; Rayleigh-Benard對流; 行波; 雙局部行波; 時空結(jié)構(gòu)

自上世紀(jì)初以來,許多科學(xué)工作者把Rayleigh-Benard對流模型作為研究非線性熱對流運動的典型模型之一。該模型是指在一個封閉的腔體內(nèi)保持上部表面溫度為常數(shù),下表面受熱,由上下不同的溫度差,即可引發(fā)腔體內(nèi)不同的對流運動[1]。

科學(xué)工作者們分別針對純流體、混合流體進行了大量的實驗和數(shù)值計算研究。通過試驗發(fā)現(xiàn),加熱腔體底板,當(dāng)相對瑞利數(shù)(反映上下溫差的無量綱參數(shù))r達到某值時,液體由傳導(dǎo)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閷α鬟\動狀態(tài)。若分離比(表征流體非線性特性)ψ>0,對流系統(tǒng)出現(xiàn)定常對流運動,現(xiàn)象與純流體(ψ=0)對流時相同,對流振幅隨r增大而增大,但其對流發(fā)生臨界值r1小于純流體時的臨界值r0,如圖1所示。

若ψ<0,系統(tǒng)將出現(xiàn)一種亞分叉,如圖1中虛線段,對流呈現(xiàn)出多種形式。1986年,Moses,Heinrichs等人在大長高比腔體,ψ∈(-0.15,-0.06)范圍內(nèi),首次發(fā)現(xiàn)了局部行波對流斑圖[2-3],即對流集中在腔體的一側(cè)局部區(qū)域,而其它區(qū)域無對流存在。

圖1　Rayleigh-Benard對流分叉曲線圖Fig.1　Rayleigh-Benard convective bifurcation curve diagram

1993年,Harada等人通過矩形窄槽(Γ=46),ψ=-0.47時,在對流分叉曲線鞍結(jié)點(圖1中虛實線連接點)附近觀察到了與以上局部行波不同的另一種行波,其對流集中在腔體的兩側(cè)局部區(qū)域,中間區(qū)域為傳導(dǎo)狀態(tài),即雙局部行波[4]。Kolodner通過實驗發(fā)現(xiàn)了局部行波與r的關(guān)系[5]。

在數(shù)值計算方面,一直以來,許多科研人員利用流體力學(xué)的基本方程組及流體力學(xué)的擾動方程組模擬出了多種在實驗中觀察到的對流斑圖,并進行了理論分析[6-14]。文獻[8,10,13-14]利用高精度差分格式再現(xiàn)了行波對流的某些現(xiàn)象。近來,對于局部對流的研究也獲得了進展[15-20]。可是,這些理論探討中發(fā)現(xiàn)雙局部行波的較少,因此,本文將通過數(shù)值模擬,研究長高比Γ=30,分離比ψ=-2.0下,對流系統(tǒng)中雙局部行波的形成過程及其特性。

1　物理數(shù)學(xué)模型

本次數(shù)值計算所用的模型為一個四周封閉的矩形腔體,腔體上部溫度為定值,底部受熱。當(dāng)上下溫差達到某個數(shù)值時,腔體內(nèi)部將產(chǎn)生對流運動,對流斑圖隨溫差變化而變化。用二維流體力學(xué)基本方程組來描述該運動[1]。

由布辛涅斯克(Boussinesq)近似假設(shè),質(zhì)量密度狀態(tài)方程為[1,11]:

(1)

如果長度用流體層厚度d,速度用κ/d(κ表示熱擴散系數(shù)),時間用d2/κ進行無因次化,則無因次流體力學(xué)基本方程組可表示為:

(2)

(3)

(4)

(5)

u、w分別表示腔體中的水平流速和垂向流速。

由于溫度在z=0和z=1處是等溫的,溫度在x=0和x=Γ處是絕熱的,故:

為了討論方便,下面去掉變量中上標(biāo)*。

本次數(shù)值計算采用有限容積法對控制方程進行離散,方程中的對流項和擴散項采用乘方格式,具有二階精度。計算中采用均勻交錯網(wǎng)格系統(tǒng)。網(wǎng)格采用均勻網(wǎng)格,Δx=Δz=1/20或者Δx=Δz=1/30。速度-壓力耦合方程的求解采用Simple算法,采用TDMA法求解離散方程,時間步長為Δt=0.001。文獻[21]驗證了本文使用的計算軟件的正確性與數(shù)值格式的合理性。當(dāng)ψ=-0.40、Pr=13.8、Le=0.01、r=1.95時,在上面兩種不同密度的網(wǎng)格下控制物理量的數(shù)值模擬獲得了一致的結(jié)果,從而驗證了網(wǎng)格的疏密程度與數(shù)值模擬結(jié)果的無關(guān)性[12]。本文計算中采用Δx=Δz=1/20。計算中采用的流體參數(shù)為:Pr=13.8,Le=0.01,ψ=-0.20,Γ=30。

2　模擬結(jié)果及討論

2.1雙局部行波的形成

在給定參數(shù)Γ=30,ψ=-0.20時,首先對對流分叉曲線鞍結(jié)點進行了計算分析。通過變化r進行計算,在r較小時,始終未發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定的行波,直到逐漸增大r至1.30時,發(fā)現(xiàn)了不同于以往在對流分叉曲線鞍結(jié)點處出現(xiàn)的局部行波,而是在腔體內(nèi)兩側(cè)區(qū)域存在對流運動,中間區(qū)域無對流,即雙局部行波。

為了分析行波的形成過程,通常采用三個不同的特性參數(shù)來描述。

1)垂向流速的最大值wmax,表示對流運動振幅的大小,即行波波峰至波谷的高度的二分之一,用來特征腔體對流的速度場。

2)努塞爾(Nusselt)數(shù),反映對流傳熱強弱的無量綱數(shù),表示通過流體層的全部垂向熱通量。

Nusselt數(shù)被定義為:

r=1.30時,隨著時間t的增長矩形腔體內(nèi)的最大垂直流速wmax、Nusselt數(shù)N-1和混合參數(shù)M等隨著時間發(fā)生了一系列的變化,如圖2所示。

圖2　r=1.30時腔體內(nèi)對流參數(shù)隨時間的變化Fig.2　Convection parameters variation with time at r=1.30

在對流發(fā)展的初期階段,三個特征參數(shù)變化幅度較大,但隨時間的不斷推進,各參數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)時間發(fā)展到t=230以后,wmax、N-1和M三個參數(shù)均穩(wěn)定,因為局部行波對流是周期變化的,所以在一個數(shù)值范圍內(nèi)波動,不再突變,且各參數(shù)的變化規(guī)律相對應(yīng),腔體內(nèi)的對流處于穩(wěn)定狀態(tài),對流斑圖的穩(wěn)定性可由對流運動的特征參數(shù)變化來確定。

r=1.30時腔體內(nèi)二分之一高度處的溫度場隨時間的變化,如圖3所示。其中縱向坐標(biāo)軸t表示時間的變化,橫向坐標(biāo)軸x表示腔體長度,為30倍腔體高度。為了便于比較,每幅圖所取的時間段均為100。與圖2相同,雙局部行波的形成過程是經(jīng)過一段較長的時間才達到穩(wěn)定的。開始,整個腔體內(nèi)出現(xiàn)瞬態(tài)的對流運動,既有向左的行波,又有向右的行波,形成控制整個腔體的對傳波;t=52之后,腔體左側(cè)區(qū)域的行波逐漸穩(wěn)定,對流區(qū)域為x=0～8之間,右側(cè)區(qū)域出現(xiàn)周期性的對流擾動,擾動強度忽大忽小,對流寬度也在逐漸減小,腔體中間區(qū)域無對流;t=230之后,右側(cè)區(qū)域的擾動改變方向,向左傳播,與左側(cè)區(qū)域行波方向相反,對流寬度保持穩(wěn)定,雙局部行波形成。

圖3　r=1.30時腔體二分之一高度處的溫度場隨時間變化Fig.3　The temperature field variation with time at r=1.30 in the midheight of the cell

在以往的數(shù)值計算中,通過流體力學(xué)擾動方程組,在大長高比Γ=46,強非線性ψ=-0.47下,沿對流分叉曲線,減小r觀察到過雙局部行波,本次計算首次通過流體力學(xué)基本方程組,在非線性ψ=-0.20下,通過逐步增大r,觀察到了雙局部行波,而且由于非線性較弱,雙局部行波出現(xiàn)的r范圍很短,在r=1.30以后即轉(zhuǎn)變成了其它類型穩(wěn)定的行波,驗證了r對對流的影響。

2.2雙局部行波的時空結(jié)構(gòu)

r=1.30時雙局部行波穩(wěn)定后,截取溫度場在t=330.0～332.7時段的變化情況如圖4所示。圖中縱向方向數(shù)值0至1表示腔體高度,一個矩形框代表一個時刻的行波運動情況,向上兩個矩形框之間時間間隔為Δt=0.3。由圖可看出,腔體中出現(xiàn)了與普通局部行波不同的對流形態(tài),普通的局部行波對流只位于腔體的左側(cè)部或者右側(cè)部,而此時,對流運動同時出現(xiàn)在腔體的左右兩側(cè),左側(cè)對流區(qū)域在x=0～8之間,右側(cè)對流區(qū)域在x=22～30之間,兩組行波的對流區(qū)域?qū)挾认嗤?x=8～22之間的區(qū)域內(nèi)無對流滾動。傳播方向上,左側(cè)行波向右側(cè)傳播而右側(cè)行波向左側(cè)傳播,即兩組行波的傳播方向是彼此相反的。

圖4　r=1.30時腔體內(nèi)溫度場隨時間的變化(t=330.0～332.7)Fig.4　The temperature field variation with time at r=1.30 (t=330.0～332.7)

圖5是r=1.30時腔體高度二分之一處溫度場、濃度場及垂直流速場隨時間的變化。其中橫向坐標(biāo)軸表示腔體長度,縱向坐標(biāo)軸表示時間的增長,各條曲線的時間間隔為Δt=0.3。濃度場、溫度場和垂直速度場的行波走向變化規(guī)律大體一致,濃度場的對流區(qū)域左側(cè)為x=0～10,右側(cè)為x=20～30，溫度場和垂直流速場的對流區(qū)域?qū)挾纫葷舛葓龅穆孕∫恍?，這說明濃度場需要比較寬的調(diào)整區(qū)間從對流向傳導(dǎo)過渡。

圖5　r=1.30時腔體二分之一高度處各場隨時間的變化Fig.5　Convection parameters variation with time at r=1.30 in the midheight of the cell

r=1.30時,截取t=350時各物性參數(shù)在整個腔體空間內(nèi)的分布情況,如圖6所示?？梢钥闯?腔體中間沒有滾動的區(qū)域為傳導(dǎo)區(qū)域。流線圖中,各等流線圈以各滾動中心呈中心對稱形式;壓力場具有移位鏡面對稱性;Shadowgraph強度、溫度場、濃度場具有移位反對稱性。

圖6　r=1.30雙局部行波對流狀態(tài)的空間結(jié)構(gòu) (t=350)Fig.6　The spatial structure of doubly localized traveling wave at r=1.30 (t=350)

3　結(jié)　語

本文首次基于二維流體力學(xué)基本方程組在大長高比Γ=30,弱分離比ψ=-0.20下,觀察到了穩(wěn)定的雙局部行波。通過特征參數(shù)的變化確認了行波的穩(wěn)定性,討論了雙局部行波的出現(xiàn)與相對瑞利數(shù)r的關(guān)系。詳細探討了溫度場、濃度場、垂直流速場中行波形態(tài)的區(qū)別,并再現(xiàn)了雙局部行波的時空結(jié)構(gòu)。

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(責(zé)任編輯李斌，王緒迪)

The formation and spatio-temporal structure of doubly localized traveling wave pattern

QI Xin1,NING Lizhong2,YU Li3,LIU Jiafu1

(1.Chongqing Water Resource and Electric Engineering College,Chongqing 402160,China;2.School of Water Resources and Hydroelectric Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China;3.Guangxi Electric Power Industry Investigation Design and Research Institute,Nanning 530023,China)

Under the parameters of a large aspect ratio(Γ=30),and a weak separation ratio ψ=-0.20,the hybrid fluid Rayleigh-Benard convection motion is simulated through the two-dimensional fluid mechanics basic equation system or group.The doubly localized traveling wave in the convection bifurcation saddle node is obtained through the variation in relative Rayleigh number r.The formation process of doubly localized traveling wave spot diagram and spatio-temporal structure are analyzed,whose dynamic behaviors are discussed in this paper.

hybrid fluid; Rayleigh-Benard convection; traveling wave; doubly localized traveling wave; spatio-temporal structure

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.01.020

2015-01-08

國家自然科學(xué)基金資助項目(10872164);陜西省重點學(xué)科建設(shè)專項資金資助項目

齊昕,女,講師,研究方向為水力學(xué)、對流動力學(xué)。E-mail:qxiou@163.com

O357

A

1006-4710(2016)01-0110-05