李開(kāi)繼，寧利中，寧碧波，田偉利

(1．西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，陜西 西安 710048； 2．嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001；3．上海大學(xué) 美術(shù)學(xué)院，上海 200444)

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側(cè)加熱腔體內(nèi)對(duì)流特性的研究

李開(kāi)繼1，寧利中1，寧碧波2，田偉利3

(1．西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，陜西 西安 710048； 2．嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001；3．上海大學(xué) 美術(shù)學(xué)院，上海 200444)

本文通過(guò)二維流體力學(xué)方程組數(shù)值模擬，研究了側(cè)加熱腔體內(nèi)的自然對(duì)流。探討了格拉曉夫數(shù)對(duì)流場(chǎng)、溫度場(chǎng)以及熱邊界層厚度的影響，普朗特?cái)?shù)對(duì)流速的影響。結(jié)果表明：壓強(qiáng)梯度促使入侵流的分離。熱邊界層厚度在初始階段只隨時(shí)間變化，與格拉曉夫數(shù)無(wú)關(guān)，在對(duì)流穩(wěn)定階段，隨格拉曉夫數(shù)增大而減小，隨腔體高度線性增大。普朗特?cái)?shù)為常數(shù)時(shí)，鉛垂方向最大流速隨格拉曉夫數(shù)增大而增大；普朗特?cái)?shù)和格拉曉夫數(shù)都為常數(shù)時(shí)，鉛垂方向最大流速隨時(shí)間先增大后減小，最后達(dá)到穩(wěn)定。

自然對(duì)流；流場(chǎng)；入侵流；熱邊界層厚度；鉛垂流速

側(cè)加熱腔體內(nèi)的自然對(duì)流是研究對(duì)流問(wèn)題的經(jīng)典流體力學(xué)模型之一，對(duì)這種對(duì)流現(xiàn)象的研究可以幫助人們理解工業(yè)內(nèi)熱交換器、太陽(yáng)能熱水器、核反應(yīng)堆的原理以及自然界中存在的大洋熱鹽環(huán)流、地幔等由溫差驅(qū)動(dòng)的對(duì)流現(xiàn)象。

隨著格拉曉夫數(shù)(Gr)增加，Yahata[1]給出側(cè)加熱腔體內(nèi)運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出的不同行為：穩(wěn)定→周期→有兩個(gè)基本頻率的準(zhǔn)周期→混沌，混沌的過(guò)渡是由于相位鎖定中斷引起的。入侵流的分離是側(cè)加熱腔體內(nèi)另一個(gè)重要物理過(guò)程，而分離是其最明顯的初期瞬態(tài)特征[2]。Ivey[3]認(rèn)為入侵流的分離是由腔體內(nèi)部水躍導(dǎo)致的，Ravi[4]認(rèn)為入侵流的分離是由熱效應(yīng)導(dǎo)致的，Xu[5]又認(rèn)為邊界層的卷入是水平入侵流分離的動(dòng)力學(xué)機(jī)制。對(duì)此目前還沒(méi)有一個(gè)明確的定論。徐豐利用實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算方法，研究了不同瑞利數(shù)下耦合熱邊界層向非定常周期性流動(dòng)的演化[6]；描述了腔內(nèi)非定常自然對(duì)流的突然側(cè)加熱的熱邊界層前緣效應(yīng) (LEE)以及水平入侵流的尾跡波[7]。薛宇軒和徐豐[8]利用二維數(shù)值模擬的方法研究了帶中間隔壁的側(cè)加熱腔內(nèi)自然對(duì)流與傳熱過(guò)程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)瑞利數(shù)(Ra)和普朗特?cái)?shù)(Pr)以及隔壁厚度是流動(dòng)和傳熱的重要控制參數(shù)。

以上研究都是以小高寬比腔體為基礎(chǔ)，本文以大高寬比(A=10)腔體為基礎(chǔ)，對(duì)流場(chǎng)、溫度場(chǎng)以及熱邊界層厚度δT進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，并探討了不同工況下的對(duì)流情況：①Pr=6.949時(shí)，計(jì)算了13種不同Gr數(shù)下的對(duì)流情況。②計(jì)算了3種不同Pr工況下的對(duì)流情況。

1　數(shù)值模擬

1.1流體力學(xué)方程組

在Boussinesq假定下,描述這一問(wèn)題的流體力學(xué)方程組可以表述為[9-14]：

質(zhì)量密度的狀態(tài)方程：

(1)

連續(xù)性方程：

(2)

動(dòng)量方程：

(3)

熱輸運(yùn)方程：

(4)

1.2邊界條件

(5)

(6)

式中，Γ為計(jì)算區(qū)域高度；d為計(jì)算區(qū)域?qū)挾?，d=2 cm；A為腔體高寬比，A=10。

溫度在上下壁面處熱通量為0，在x=0,d處是等溫的，所以，當(dāng)Y=0,A時(shí)，有：

(7)

當(dāng)X=0時(shí)，有：

(8)

當(dāng)X=1時(shí)，有：

(9)

式中，ΔT為水平方向溫度差。流速初始條件為u=w=0，初始溫度取參考值293.15 K。

本文利用SIMPLE算法求解流體方程組，采用二階迎風(fēng)格式離散對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，而時(shí)間項(xiàng)采用一階隱格式，時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 s。計(jì)算區(qū)域使用均勻交錯(cuò)網(wǎng)格系統(tǒng)，根據(jù)文獻(xiàn)[11]研究結(jié)果，網(wǎng)格密度采用20×200。

2　數(shù)值模擬結(jié)果與分析

計(jì)算中，我們通過(guò)監(jiān)測(cè)熱側(cè)壁面努塞爾數(shù)(Nu)隨時(shí)間的變化來(lái)判定對(duì)流是否穩(wěn)定。圖1為熱側(cè)壁面Nu隨時(shí)間的變化。從圖中可以看出，t≤10 s時(shí)，Nu隨時(shí)間急劇增大，10s≤t≤600 s時(shí)，Nu隨時(shí)間減小，在t≥600 s后，Nu不再隨時(shí)間變化，這說(shuō)明對(duì)流已經(jīng)穩(wěn)定。這時(shí)的對(duì)流斑圖可以作為給定Gr數(shù)情況下的穩(wěn)定對(duì)流斑圖。

圖1　Gr=1.2×106時(shí)熱側(cè)壁面Nu隨時(shí)間的變化Fig.1　Variation of Nu along the hot wall with time at Gr=1.2×106

2.1入侵流的演化過(guò)程

最初時(shí)段，由于熱量通過(guò)導(dǎo)熱傳遞給相鄰流體時(shí)會(huì)造成側(cè)壁面附近流體溫度不均勻,進(jìn)而引起密度不均勻,從而產(chǎn)生浮力。熱側(cè)壁面附近，浮升力大于流體自身重力和摩擦力，使流體沿右壁面向上運(yùn)動(dòng)；冷側(cè)壁面附近，流體自身重力大于摩擦力，使流體沿左壁面向下運(yùn)動(dòng)，使得腔體角部區(qū)“空虛”(右下角和左上角)。沿側(cè)壁爬行的流體抵達(dá)上下水平壁面時(shí)，受上下壁面阻礙，使鉛垂方向流速迅速減小到0，這會(huì)引起腔體角部區(qū)壓強(qiáng)顯著增加。該壓強(qiáng)梯度會(huì)驅(qū)動(dòng)流體在水平方向上流動(dòng)。圖2為側(cè)加熱腔體內(nèi)入侵流的發(fā)展過(guò)程。

圖2　Gr=8.5×104時(shí)入侵流的演化過(guò)程Fig.2　Evolution process of intrusion flow at Gr=8.5×104

由圖2可看出，t=1.5 s時(shí)，入侵流逐漸分離，熱入侵流分離出現(xiàn)在腔體右上角(熱邊界層上角)，冷入侵流分離出現(xiàn)在腔體左下角(冷邊界層下角)，入侵流沿水平方向流動(dòng)。t=4.0 s時(shí)，熱入侵流鋒面抵達(dá)冷側(cè)壁面，冷入侵流鋒面抵達(dá)熱側(cè)壁面。此后，在側(cè)壁面阻擋和側(cè)壁面流動(dòng)的吸卷作用下，冷側(cè)壁面附近流體將熱入侵流冷卻并卷入帶向腔體底部，熱側(cè)壁面附近流體將冷入侵流加熱并卷入帶向腔體頂部，如圖2(d)所示。由于側(cè)壁面附近流體不能將所有的入侵流卷入帶走，一部分熱流體會(huì)堆積在左上角，一部分冷流體會(huì)堆積在右下角，在左上角和右下角附近形成了一個(gè)“角形”密度場(chǎng)，如圖2(e)所示。通過(guò)對(duì)入侵流演化過(guò)程與動(dòng)力學(xué)機(jī)制分析，發(fā)現(xiàn)壓強(qiáng)梯度促使入侵流的分離。

2.2Gr對(duì)流場(chǎng)和溫度場(chǎng)的影響

對(duì)流穩(wěn)定以后，圖3給出了流函數(shù)ψ隨Gr的變化，顯示隨著Gr增加，流函數(shù)由“橢圓形”分層逐漸變成“近似四邊形”分層。圖4給出了溫度T隨Gr的變化，顯示隨著Gr增加，溫度場(chǎng)由線形分層逐漸變成“工”字形分層。圖5給出了渦度ω隨Gr的變化，顯示隨著Gr增加，渦度場(chǎng)腔體中線部逐漸出現(xiàn)一片“白化區(qū)”，并且隨著Gr增加“白化區(qū)”寬度增大。

圖3　ψ隨Gr的變化Fig.3　Variation of ψ with Gr

圖4　T隨Gr的變化Fig.4　Variation of T with Gr

圖5　ω隨Gr的變化Fig.5　Variation of ω with Gr

為了確定溫度在水平和鉛垂方向上的分布情況，分別計(jì)算了Gr=1.2×104、Gr=1.2×105、Gr=1.2×106情況下，溫度T在Y取1.6、3.2、4.8、6.4、8.0截面的水平方向分布(見(jiàn)圖6)以及溫度T在X取0.16、0.32、0.48、0.64、0.8截面的鉛垂方向分布(見(jiàn)圖7)。

圖6　水平方向T的分布Fig.6　Distribution of T in horizontal direction

圖7　豎直方向T的分布Fig.7　Distribution of T in vertical direction

由圖6可看出，在Y=1.6水平截面上，溫度先緩慢增加→相對(duì)穩(wěn)定→迅速增加；在Y=8.0水平截面上，溫度先迅速增加→相對(duì)穩(wěn)定→緩慢增加。溫度呈中心對(duì)稱分布。另外，隨著Gr增大，相對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的寬度逐漸增大，邊界層厚度逐漸減小。Gr=1.2×104時(shí)，Y=4.8腔體高度處δT/d=0.332；Gr=1.2×105時(shí)，Y=4.8腔體高度處δT/d=0.235；Gr=1.2×106時(shí)，Y=4.8腔體高度處δT/d=0.146。所以，Gr越大，熱邊界層厚度越小。由圖7可以看出，Gr越大，豎直截面之間的溫度差越小，溫度也是呈中心對(duì)稱分布。

2.3Gr對(duì)熱邊界層的影響

對(duì)于突然加熱的側(cè)壁面，初始階段，由于液體的黏性，側(cè)壁面附近的熱量主要是沿側(cè)壁面法向方向傳導(dǎo)[1,15-16]，因此在側(cè)壁面附近會(huì)迅速形成熱邊界層，所謂熱邊界層就是側(cè)壁面附近形成的溫差相對(duì)較大的溫度薄層。為了刻畫(huà)熱邊界層厚度δT的影響因子，Patterson[16]通過(guò)量綱分析的方法將方程(4)中的時(shí)間項(xiàng)和熱擴(kuò)散項(xiàng)平衡，獲得了δT量綱關(guān)系式，即δT～(κt)1/2。本文對(duì)δT進(jìn)行無(wú)因次化處理，即δT/d?？坍?huà)了初始階段δT/d隨時(shí)間t的關(guān)系曲線，如圖8所示。初始階段，δT/d隨時(shí)間迅速增加，0.15 s以后緩慢增加。當(dāng)Gr=8.5×104時(shí)，發(fā)現(xiàn)初始階段δT/d～t關(guān)系曲線與Gr=1.7×104和Gr=1.7×105時(shí)幾乎一樣，這說(shuō)明Gr對(duì)初始階段δT/d～t的關(guān)系曲線影響不大。

圖8　初始階段1/2腔體高度處δT/d隨時(shí)間的變化Fig.8　Variation of δT/dwith time at the midheight in the initial stage

對(duì)流穩(wěn)定以后，δT/d隨腔體高度線性變化，如圖9所示，發(fā)現(xiàn)δT/d隨著腔體高度線性增加。擬合曲線關(guān)系式分別為:Gr=1.2×104時(shí)，δT/d=0.021 05Y+0.220 97,擬合度R2因子達(dá)0.978 46；Gr=1.2×105時(shí)，δT/d=0.013Y+0.171 39,擬合度R2因子達(dá)0.996 42；Gr=1.2×106時(shí),δT/d=0.006 62Y+0.110 91,擬合度R2因子達(dá)0.961 4。

圖9　δT/d隨腔體高度的變化Fig.9　Variation of δT/d at the cavity height

2.4Pr對(duì)流場(chǎng)特性的影響

圖10為Gr=1.7×105時(shí)流速場(chǎng)矢量分布圖，可以清楚觀察到流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)情況。

圖10　流速場(chǎng)矢量圖Fig.10　Vector diagram of velocity field

圖11給出了不同腔體高度處鉛垂方向流速w隨X的變化?？梢钥闯?，w絕對(duì)值在冷邊界層內(nèi)先迅速增大，達(dá)到最大值后又迅速減小到0，在腔體中心區(qū)域流速在0附近波動(dòng)。在熱邊界層內(nèi)，w絕對(duì)值先迅速增大，達(dá)到最大值后又迅速減小到0，呈中心對(duì)稱分布。

從圖11明顯可以看出，w絕對(duì)值的最大值發(fā)生在1/2腔體高度處邊界層內(nèi)。Gr=1.7×105時(shí)wmax=0.011 96 m/s。

圖11　Gr=1.7×105時(shí)不同腔體高度處w隨X的變化Fig.11　Variation of w with X at different heights when Gr=1.7×105

圖12給出了鉛垂方向最大流速wmax隨Gr的變化。從圖12(a)可以看出，隨著Gr增大，wmax值先迅速增加，后緩慢增加。然后，又分別刻畫(huà)了Pr=0.703 0和Pr=6.949 0情況下，Gr與wmax的關(guān)系曲線圖。結(jié)果說(shuō)明，wmax隨Gr增大而增大。

圖12　wmax隨Gr的變化Fig.12　Variation of wmaxwith Gr

圖13為初始階段腔體內(nèi)wmax隨時(shí)間的變化。wmax隨時(shí)間先增大后減小。時(shí)間t=14 s流速達(dá)到穩(wěn)定，穩(wěn)定流速為wmax=0.008 01 m/s。

圖13　Gr=8.5×104時(shí)wmax隨時(shí)間的變化Fig.13　Relation curve of wmaxwith time at Gr=8.5×104

3　結(jié)　論

本文通過(guò)二維流體力學(xué)方程數(shù)值模擬方法，研究了側(cè)加熱腔體內(nèi)的自然對(duì)流。研究表明：壓強(qiáng)梯度促使入侵流的分離；熱邊界層厚度增長(zhǎng)是側(cè)加熱腔體內(nèi)自然對(duì)流的重要物理過(guò)程之一，在初始階段，熱邊界層厚度隨時(shí)間變化，與Gr大小無(wú)關(guān)；對(duì)流穩(wěn)定以后，熱邊界層厚度隨Gr增大而減小,隨腔體高度線性增大，Gr越大，線性斜率越?。籔r為常數(shù)時(shí)，Gr越大，熱邊界層厚度越小。

通過(guò)對(duì)流速場(chǎng)研究發(fā)現(xiàn)：腔體內(nèi)鉛垂方向流速絕對(duì)值的最大值發(fā)生在1/2腔體處的邊界層內(nèi)；Pr為常數(shù)時(shí)，鉛垂方向的最大流速隨Gr增大而增大；Pr和Gr都為常數(shù)時(shí)，腔體內(nèi)鉛垂方向的最大流速隨時(shí)間先增大后減小，最后達(dá)到穩(wěn)定。

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(責(zé)任編輯周蓓)

Study of the convection in a differentially heated cavity

LI Kaiji1，NING Lizhong1，NING Bibo2，TIAN Weili3

(1.State Key Laboratory Base of Eco-hydraulic Engineering in Arid Area，Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China；2.College of Civil Engineering and Architecture,Jiaxing University,Jiaxing 314001,China;3.College of Fine Arts,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

Natural convection of heating from side wall is investigated by means of numerical simulation of 2-D equations of hydrodynamics.The paper studies the influence of Grashof number on flow field,temperature field and the thickness of thermal boundary layer and the influence of Prandtl number on velocity.Results show that the pressure gradient causes the separated intrusion flow.The thickness of thermal boundary layer changing only with time has nothing to do with Grashof number in the initial phase,but in the stable phase,the thickness of thermal boundary layer decreases obviously with increasing Grashof number,and it increases obviously with cavity height.The vertical-velocity increases with Grashof number when Prandtl number is constant.The vertical-velocity firstly increases and then decreases with time,and finally reaches its stability when Grashof number and Prandtl number are constant.

natural convection; flow field; intrusion flow；thermal boundary layer thickness; vertical velocity

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.01.010

2015-09-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872164)；陜西省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(00X901)

李開(kāi)繼，男，碩士生，研究方向?yàn)樗W(xué)和對(duì)流動(dòng)力學(xué)。E-mail:348285456@qq.com

寧利中，男，教授，博士。研究方向?yàn)閷?duì)流動(dòng)力學(xué)和高速水力學(xué)。E-mail:ninglz@xaut.edu.cn

O357

A

1006-4710(2016)01-0052-06