謝　國，田　冰，劉　丁

(1.西安理工大學 自動化與信息工程學院，陜西 西安 710048；2.陜西省復雜系統(tǒng)控制與智能信息處理重點實驗室，陜西 西安 710048；3.中鐵第一勘察設計院集團有限公司通號處，陜西 西安 710043)

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基于數(shù)值迭代的兩能級封閉量子系統(tǒng)最優(yōu)控制

謝國1，2，田冰1，3，劉丁1，2

(1.西安理工大學 自動化與信息工程學院，陜西 西安 710048；2.陜西省復雜系統(tǒng)控制與智能信息處理重點實驗室，陜西 西安 710048；3.中鐵第一勘察設計院集團有限公司通號處，陜西 西安 710043)

期望的性能指標是實施系統(tǒng)控制的基準。針對現(xiàn)有的量子控制主要集中在基于末態(tài)精度最優(yōu)、時間最優(yōu)、或者能量最小等單一性能指標的控制，而缺乏對系統(tǒng)綜合性能考慮的問題，本文在綜合分析兩能級封閉量子系統(tǒng)特性的基礎上，提出了基于幺正演化和能量最優(yōu)的復合性能指標，并通過對性能指標變分，得到了滿足最優(yōu)控制量的狀態(tài)及其拉格朗日乘子的微分方程組。在此基礎上，采用差分的方法，設計了基于數(shù)值迭代的最優(yōu)控制量求解策略。最后，仿真分析了參數(shù)對控制結果的影響，驗證了本文所提最優(yōu)控制方法和迭代算法的有效性。

兩能級量子系統(tǒng)；最優(yōu)控制；性能指標；數(shù)值迭代

量子控制是量子力學與經(jīng)典信息學結合的產(chǎn)物，現(xiàn)階段以開環(huán)控制為主。

目前，量子最優(yōu)控制是量子開環(huán)控制中的重要方法，Rabitz對最優(yōu)控制在量子控制中的應用進行了討論，在驗證了其可行性后，量子最優(yōu)控制被應用于選鍵化學，進而被應用于原子運輸、布居數(shù)轉移控制等多個領域[1]。近來，由于量子最優(yōu)控制與經(jīng)典控制論中的最優(yōu)控制有著諸多相似，并且在各個領域都展現(xiàn)出了良好的控制效果，已引起了眾多研究學者的關注[2-4]。

量子最優(yōu)控制的基本框架是給定一個性能指標，然后求取最優(yōu)控制場或者說最優(yōu)解，使性能指標最大或最小。雖然控制思路與經(jīng)典控制中的最優(yōu)控制相似，但是對于一個量子系統(tǒng)，如何確定其性能指標是量子最優(yōu)控制中的難點。

當前的性能指標選取主要有控制場能量最優(yōu)、控制時間最優(yōu)以及D’Alessandro提出的兩能級量子系統(tǒng)的控制場能量最優(yōu)[5]。在此基礎上，吳熱冰教授總結了兩能級量子系統(tǒng)時間最優(yōu)情況下的一般特征[6]，給出了特殊情況下最優(yōu)解的結構。在控制方法方面，Rabtiz提出了一種作用在偶極矩模型的基于數(shù)值迭代的控制方法[7]，Palao等在Rabtiz的基礎上又提出了Krotov控制方法在量子控制中的應用[8]，Chen等提出了基于模糊估計器的不確定量子系統(tǒng)控制方法[9]，Harno等提出了基于差分進化算法的線性相干系統(tǒng)控制[10]。此外，線性系統(tǒng)的魯棒控制[11]、變尺度梯度方法[12]、反饋控制[13]、松弛最優(yōu)法[14]等多種最優(yōu)控制方法也逐步應用于量子控制領域。然而，現(xiàn)有關于兩能級封閉量子系統(tǒng)最優(yōu)控制的研究主要集中在單一的性能指標下，例如時間最優(yōu)、能量最優(yōu)[15]，從而導致相應的最優(yōu)策略不能與最優(yōu)控制場等其他指標兼得。

針對以上問題，本文從兩能級封閉量子系統(tǒng)最優(yōu)控制的性能指標選取出發(fā)，研究了復合性能指標下的最優(yōu)控制策略，主要包括性能指標的選取和數(shù)值迭代算法，并通過數(shù)值仿真驗證了性能指標及迭代算法的合理性和有效性。

1　最優(yōu)控制的性能指標選取

量子是指物理上不可分割的最小個體，所以量子控制專指對量子系統(tǒng)的控制，現(xiàn)階段量子控制的研究對于了解微觀物質特性有非常重要的意義。量子控制中的控制場主要有磁場、電場、激光等，目前最常用的控制場是磁場和激光。系統(tǒng)性能指標是最優(yōu)控制最重要的部分，通常的性能指標選取原則為，在一定時間內使控制場能量極小。

(1)

式中，u(t)為控制場，T為控制時間，J2為系統(tǒng)能量最優(yōu)性能指標。

在量子系統(tǒng)演化過程中，實際演化矩陣U與目標演化矩陣O有如下關系：

(2)

式中，演化矩陣O表示為酉矩陣的形式，即矩陣O的列向量是O空間的一個標準正交基；i為虛數(shù)單位，φ為全局相移。

定義復數(shù)τ的共軛展開：

(3)

(4)

(5)

性能指標寫為：

(6)

當ψT=φd時，系統(tǒng)性能指標極大，取得最優(yōu)解。

在選取性能指標時，還要考慮控制場能量問題，同樣的控制目標下，控制場能量越小越好，故性能指標第二部分選取能量最優(yōu)性能指標，如式(1)所示。

為了更好的約束性能指標，引入關于薛定諤方程的拉格朗日乘子。這里引入拉格朗日乘式，同時也為后續(xù)的迭代做準備，其運算結果如下：

(7)

J=JR-qJ2-L

(8)

式中，q為權重系數(shù)。當式(8)取其極大值時，系統(tǒng)獲得最優(yōu)控制的解。對于式(8)，首先要滿足JR取極大值，并且系統(tǒng)消耗能量最小，即J2取極小值，并使得整體性能指標式(8)取極大值。針對以上性能指標，本文將對一類兩能級量子系統(tǒng)的最優(yōu)控制量及其求解進行分析與討論。

2　基于數(shù)值迭代的最優(yōu)性求解

2.1變量與性能指標的關系

本文給定一個自旋1/2的兩能級量子系統(tǒng)，其哈密頓量為：H=H0+H1u(t)，H0為系統(tǒng)內部哈密頓量，描述了量子系統(tǒng)內部相互作用的變化，H1為系統(tǒng)外部哈密頓量，描述了量子系統(tǒng)在外部控制場作用下的情況，u(t)為控制量。對于該系統(tǒng)其性能指標選取為：

(9)

在選用磁場為控制場時，控制量u(t)表示控制場的磁場強度，Pφd為當系統(tǒng)狀態(tài)為φd時的投影算符?？刂颇繕思礊榍笕∈沟眯阅苤笜薐極大的控制量u(t)，此時u(t)即為系統(tǒng)的最優(yōu)控制解。

針對以上問題，根據(jù)變分法首先對J進行變分，分別得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程、協(xié)態(tài)方程(或伴隨方程)、耦合方程：

(10)

(11)

(12)

滿足式(10)～式(12)中|ψ〉、|χ〉、u(t)的解便是使式(9)取得極大值的最優(yōu)解。將式(12)帶入式(10)、式(11)得到：

(13)

(14)

式(13)及式(14)是關于系統(tǒng)狀態(tài)|ψ〉和拉格朗日乘子|χ〉的薛定諤方程，滿足式(13)及式(14)的|ψ〉是系統(tǒng)最優(yōu)演化軌跡，所以對式(13)及式(14)進行迭代：

1)取任意輸入u0(t)，代入式(10)，求得在初始輸入下的系統(tǒng)狀態(tài)|ψ0〉，這里u0(t)的取值對于后續(xù)的迭代沒有影響；

2)將|ψ0〉帶入式(14)求得拉格朗日乘子|χ1〉：

(15)

3)將|χ1〉帶入式(13)求得系統(tǒng)狀態(tài)|ψ1〉：

(16)

4)將|ψ1〉代入式(14)求得拉格朗日乘子|χ2〉；

5)將|χ2〉代入式(13)求得系統(tǒng)狀態(tài)|ψ2〉。

反復進行步驟4)、5)，進行拉格朗日乘子|χ〉和系統(tǒng)狀態(tài)|ψ〉的互相迭代，直到完成預定的迭代次數(shù)。

對迭代過程需要說明的是，第一步中系統(tǒng)狀態(tài)|ψ〉的初始狀態(tài)取|ψ0〉=φ0，為給定已知量；拉格朗日乘子每一次迭代的約束條件為|χ〉=Pφd|ψT〉。完成N次迭代后得到的拉格朗日乘子為|χN〉，系統(tǒng)狀態(tài)為|ψN〉，得到的最優(yōu)控制場為：

(17)

2.2數(shù)值迭代求解步驟

在設計迭代算法時，需要考慮以下幾點：

1)微分方程的迭代是一個整體連續(xù)的迭代，所以在設計算法時要以整個迭代方程組為一個系統(tǒng)，不能單步求解后帶入下步微分方程進行迭代；

2)關于拉格朗日乘子|χ〉的微分方程實際上是一個終值微分方程，處理時需要將時間t倒置，這時所求得的終值實際上是|χ〉的初值|χ(0)〉。

綜合以上兩點，迭代算法采用離散差分的方法求解最為有效。

對式(10)、式(13)及式(14)離散化有：

(18)

(19)

(20)

其中，f(·)和g(·)分別表示迭代步長的梯度。

算法的流程如圖1所示。

圖1　數(shù)值迭代算法流程圖Fig.1　Flow chart of numerical iterative algorithm

3　數(shù)值仿真

給定一個電子自旋1/2模型作為兩能級封閉量子系統(tǒng)仿真對象，其哈密頓量滿足H=H0+H1u，由于是電子自旋模型，故內外哈密頓量選取為泡利矩陣：

則系統(tǒng)滿足薛定諤方程為：

3.1迭代次數(shù)對控制的影響

初始控制場任意給定：u0(t)=cos(0.5t)，假設時間T=200，權重系數(shù)q=1，通過改變迭代次數(shù)觀察迭代次數(shù)對系統(tǒng)的影響。

表1顯示了性能指標、控制場變化范圍及控制誤差隨迭代次數(shù)變化的情況。

表1　時間固定情況下的數(shù)值分析

由運行結果可以看出，隨著迭代次數(shù)增加，性能指標明顯增大，并最終穩(wěn)定在1.648 6附近；與此同時，控制誤差即‖φd-ψT‖2逐漸減小，最終穩(wěn)定在0.12左右；控制場穩(wěn)定在-0.12～0.19的范圍。

3.2權重系數(shù)對控制的影響

初始控制場設置為u0(t)=cos(0.5t)，控制時間T=200，迭代100次。逐漸改變權重來分析權重對系統(tǒng)性能指標的影響，其中權重的變化范圍為0～1。性能指標、控制場范圍以及控制誤差隨權重系數(shù)的變化如表2所示。

表2　權重變化時系統(tǒng)數(shù)值分析

將表2所示數(shù)據(jù)表示為圖2、圖3所示的曲線。其中，圖2所示為系統(tǒng)性能指標隨權重系數(shù)的變化曲線，當權重系數(shù)逐漸增大時，系統(tǒng)性能指標呈減小趨勢，同樣最終穩(wěn)定在1.648 6附近。圖3所示為系統(tǒng)誤差隨權重系數(shù)的變化曲線，由圖可知，當權重系數(shù)逐漸增大時，控制誤差逐步減小。

圖2　性能指標隨權重系數(shù)變化Fig.2　Performance index varies with the weight change

圖3　控制誤差隨權重系數(shù)變化Fig.3　Control error with weight

綜合上述仿真結果可知，當權重系數(shù)和控制時間都確定時，隨著迭代次數(shù)的增大，系統(tǒng)性能指標逐漸增大并最終穩(wěn)定在1.648 6附近，控制場的變化范圍隨著迭代次數(shù)的增大而減小，控制誤差‖φd-ψT‖2隨迭代次數(shù)的增大而減小，這種誤差的變化與提出的性能指標相符合，迭代次數(shù)的增加會使系統(tǒng)獲得更優(yōu)的控制解；第二組仿真固定迭代次數(shù)和控制時間，當權重系數(shù)增大時，性能指標呈現(xiàn)減小趨勢并穩(wěn)定在1.648 6附近，雖然性能指標減小，但是控制場范圍隨著權重系數(shù)的增大而縮小，并且控制誤差‖φd-ψT‖2隨著權重的增大而減小。

4　結　論

本文研究了基于數(shù)值迭代的兩能級封閉量子系統(tǒng)最優(yōu)控制，并采用數(shù)值仿真的方法對自旋1/2模型的數(shù)值迭代最優(yōu)控制法進行了驗證。理論分析指出，當系統(tǒng)性能指標最大時，所得控制解即為最優(yōu)控制解。在此基礎上，對性能指標進行變分，得到了最優(yōu)控制的解空間，并設計了最優(yōu)解的數(shù)值迭代方法，獲得了最優(yōu)控制解。仿真結果驗證了控制算法的可行性，并對系統(tǒng)的性能指標顯示出了良好的跟隨性和約束性。

[1]陳宗海,董道毅,張陳斌，等.量子控制導論[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2005.

[2]ALTAFINI C,TICOZZI F.Modeling and control of quantum systems:an Introduction[J].IEEE Trans.on Auto.Cont.,2012,57(8):1898-1917.

[3]DONG D,PETERSEN I.Quantum control theory and applications:a survey[J].IET Control Theory & Applications,2010,4(12):2651-2671.

[4]王竹榮，楊波，呂興朝，等.一種改進的量子遺傳算法研究[J].西安理工大學學報,2012,28(2):145-151.

WANG Zhurong,YANG Bo,Lü Xingchao,et al.An improved quantum genetic algorithm[J].Journal of Xi’an University of Technology,2012,28(2):145-151.

[5]D′ALESSANDRO D,DAHLEH M.Optimal control of two-level quantum systems[J].IEEE Trans.on Auto.Cont.,2001,46(6):866-876.

[6]WU Rebing,LI Chunwen,WANG Yuzhen.Explicitly solvable extremals of time optimal control for two-level quantum systems[J].Phys.Letters A,2002,295(1):20-24.

[7]ZHU W,BOTINA J,RABITZ H.Rapidly convergent iteration methods for quantum optimal control of population[J].Chem Phys.1998,108(5):1953-1963.

[8]PALAO J,KOSLOFF R.Optimal control theory for unitary transformations[J].Phys.Rev.2003,68:062308.

[9]CHEN Chunli,DONG Daoyi,LAM J,et al.Control design of uncertain quantum systems with fuzzy estimators[J].IEEE Trans.on Fuzzy Systems,2012,20(5):820-831.

[10]HARNO H,PETERSEN I.Synthesis of linear coherent quantum control systems using a differential evolution algorithm[J].IEEE Trans.on Auto.Cont.,2015,60(3):799-805.

[11]PETERSEN I R.Control and robustness for quantum linear systems[C]//32nd Chinese Control Conference.Beijing:Tech.Committee on Cont.Theory,Chinese Association of Automation，2013:17-25.

[12]叢爽,匡森.量子系統(tǒng)控制理論與方法[M].合肥:中國科學技術大學出版社，2013.

[13]NURDIN H I.Synthesis of linear quantum stochastic systems via quantum feedback networks[J].IEEE Trans.on Auto.Cont.,2010,55(4):1008-1013.

[14]KHANEJA N,REISS T,LUY B,et al.Optimal control of spin dynamics in the presence of relaxation[J].Journal of Magnetic Resonance,2003,162(2):311-319.

[15]ALBERTINI F,D′ALESSANDRO D.Time-optimal control of a two level quantum system via interaction with an auxiliary system[J].IEEE Trans.on Auto.Cont.,2014,59(11):3026-3032.

(責任編輯周蓓)

The optimal control of two-level closed quantum system based on numerical iteration

XIE Guo1,2，TIAN Bing1,3，LIU Ding1,2

(1.School of Automation and Information Engineering，Xi’an University of Technology,Xi’an 710048，China；2.Shaanxi Key Laboratory of Complex System Control and Intelligent Information Processing,Xi’an 710048，China；3.China Railway First Survey and Design Institute Group Ltd,Xi’an 710043，China)

The expected performance index is the foundation for all of control systems.The research on the control of quantum systems mainly focus on a unique object such as the precision of final state,the minimum of time or energy,which lacks a comprehensive consideration on the actual system.Based on the comprehensive analysis of the characteristic of the two-level closed quantum system,a comprehensive performance index leading to an optimal unitary evolution and energy is proposed in this paper.Then a group of differential equations of state and Lagrange multipliers which satisfies the optimality condition to the performance index is obtained based on the variation of performance index.Further,regarding the group of differential equations,a strategy for the solution of optimal control is designed based on numerical iteration with finite difference methods.Lastly,the influence of parameters to the control results is analyzed based on numerical simulation,and the effectiveness of the optimal control method and the iteration algorithm suggested in this paper is tested.

two-level quantum system; optimal control; performance index; numerical iteration

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.01.002

2015-05-28

中國博士后科學基金面上資助項目(2014M552471)；陜西省創(chuàng)新團隊資助項目(2013KCT-04)

謝國，男，副教授，博士，研究方向為隨機控制、參數(shù)辨識、數(shù)據(jù)分析與處理。E-mail:guoxie@xaut.edu.cn

TP206.3

A

1006-4710(2016)01-0007-05