劉翹楚　吳志軍　馮平法

(清華大學機械工程系，北京 100084)

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最大穩(wěn)定銑削面積及切削參數(shù)優(yōu)化研究*

國家科技重大專項(2013ZX04001-011)

劉翹楚吳志軍馮平法

(清華大學機械工程系，北京 100084)

通過對于經(jīng)典顫振穩(wěn)定性葉瓣圖理論中X、Y兩個方向頻響函數(shù)相等假設對求解過程進行簡化，對其特征方程進行深入解析求解與理論分析，得到極限切深與各個切削及材料參數(shù)關(guān)系的解析表達式及各個參數(shù)變化對其的影響規(guī)律。通過對極限切深求最小值得到安全切深解析表達式。將切深與切寬的乘積定義為銑削面積，并研究其對于銑削效率的影響。提出最大穩(wěn)定銑削面積及切削參數(shù)優(yōu)化方法，并在測量鋁合金7050-T7451切削力系數(shù)后，以其為例進行了切削參數(shù)優(yōu)化。

銑削；穩(wěn)定性；葉瓣圖；切削參數(shù)；優(yōu)化

金屬切削過程中，刀具可能會在無周期性外力作用下產(chǎn)生劇烈振動，通常稱這種振動為自激振動，又稱顫振。顫振會對刀具及工件產(chǎn)生顯著的影響，使得刀具磨損加劇，工件表面質(zhì)量下降。因此如何避免顫振一直是學者們關(guān)注的問題。對于銑削顫振的解析分析始于上世紀50年代，近20年Altintas等提出的銑削解析分析方法與銑削穩(wěn)定性葉瓣圖[1-3]得到了廣泛認同。學者們在其提出的理論基礎上，做出了很多針對特定切削狀態(tài)的研究，而穩(wěn)定性葉瓣圖的基本計算思路較為一致，可概括為如圖 1的結(jié)構(gòu)，既在已知材料參數(shù)、刀尖頻響函數(shù)和工藝參數(shù)切寬b與刀具半徑R后，通過特征方程求解計算得到極限切深ap隨轉(zhuǎn)速n變化關(guān)系的穩(wěn)定性葉瓣圖。

學者們對于工藝參數(shù)的關(guān)注點主要在切深ap隨轉(zhuǎn)速n間的關(guān)系，也有學者將切寬b考慮為變量，繪制出三維穩(wěn)定性葉瓣圖[4]。

本文定義切深ap隨轉(zhuǎn)速n變化過程中最小值為安全切深，通過對安全切深的研究，將主要關(guān)注點放在切寬上，分析切寬b寬變化對于銑削穩(wěn)定性的影響，并將切寬b與切深ap作為切削面積，通過切削面積的變化規(guī)律，研究如何選取合適的切寬。

1　經(jīng)典銑削穩(wěn)定性葉瓣圖理論簡介

本文以Altintas等提出的銑削顫振穩(wěn)定性葉瓣圖理論[1-3]為基礎，出于分析的完整性，在本章中列出其研究中本文后續(xù)分析需要引用的關(guān)鍵性結(jié)論。

1.1動力學模型

首先建立銑刀銑削時受力的動力學模型如圖2所示。將銑刀對受力的響應簡化為由X和Y方向兩個2階系統(tǒng)組成的二自由度振動系統(tǒng)。

在切削參數(shù)不變時，由于切削厚度引起的切削力為恒定值，與再生顫振無關(guān)，將其忽略后，可以將切削力變化量與位移變化量轉(zhuǎn)換到X和Y軸上之后的時域表達式寫成如下形式：

(1)

將方向系數(shù)矩陣A[(t)]作傅里葉展開并去除高次諧波取0階分量，依然可以保證預測精度：

(2)

(3)

其中：φst為切入角；φex為切出角；Kr為徑向切削力與切向切削力之比，N為刀具的齒數(shù)。

因此將動態(tài)銑削力表達為如下形式：

(4)

1.2特征方程及求解方法

設工件/刀具接觸區(qū)域的頻響函數(shù)為：

(5)

根據(jù)再生震顫原理，對于某一個特定的頻率ωc，其振顫臨界狀態(tài)時滿足特征方程如下：

a0Λ2+a1Λ+1=0

(6)

(7)

這個方程的解實部為ΛR，虛部為ΛI；

(8)

記：

(9)

則極限軸向切深可表達為：

(10)

此時的主軸轉(zhuǎn)速可表達為：

(11)

式中：p為高階波紋數(shù)量。

根據(jù)如下流程可繪制出穩(wěn)定性葉瓣圖：

(1)確定繪制的葉瓣數(shù)P，先取p=0。

(2)根據(jù)頻響函數(shù)，確定主模態(tài)頻率ωn。

(3)在主模態(tài)頻率附近選擇一系列顫振頻率ωc。

(4)對每個顫振頻率ωc，求其對應的極限軸向切深aplim和轉(zhuǎn)速n。

(5)將所得極限軸向切深aplim和轉(zhuǎn)速n連成一條曲線，得到一個“葉瓣”。

(6)p=p+1，重復2～5步不斷繪制“葉瓣”，至p=P。

(7)取所有葉瓣的并集中的最小值，得到穩(wěn)定性葉瓣圖。

圖3為某機床對某刀具的銑削穩(wěn)定性葉瓣圖。

2　特征方程進一步解析求解

(12)

通常刀具在X和Y方向的傳遞函數(shù)差別很小。因此可以假設：

(13)

則原有特征方程可寫為：

(14)

b0=αxxαyy-αxyαyx

b1=αxx+αyy

(15)

將式(12)代入式(15)中并化簡，得到：

b1=αxx+αyy=-2Krθ<0

(16)

則特征方程(14)的判別式可寫為：

(17)

對于不同的Kr取值，特征方程的判別式符號可能不同，其解也存在實根和虛根兩種情況。根據(jù)Δ符號的不同分情況討論繼續(xù)求解。

(1)特征方程解為復數(shù)時求解

當θ>θ0，即Δ<0時，方程(14)的解為復數(shù)：

(18)

將式(13)、 (18)代入式(15)可得原特征方程(6)的解為：

(19)

記t=ω/ωn，則：

則極限軸向切深可表達為：

(20)

(21)

再將式(16)代入式(21)，并化簡，得：

(22)

當?shù)毒?、機床和工藝參數(shù)切寬確定之后，式(22)中只有第二項隨轉(zhuǎn)速變化將其記為：

(23)

式(23)難于用解析表達式來表達函數(shù)取極小值時t取值，因此采用數(shù)值解法進行求解。

定義M(θ)=minwhen,f(t)>0(f(t))為不同θ取值下的f(t)正值部分極小值的數(shù)值解。

(2)特征方程解為實數(shù)時求解

當θ≤θ0，即Δ≥0時，方程(14)的解為實數(shù)：

(24)

將式(18)、 (24)代入式(15)可得原特征方程(6)的解為：

(25)

仍然記t=ω/ωn，則：

虛部ΛI=kΛG2ξt；

則極限軸向切深可表達為：

(26)

再記q=t2-1，則式(26)可化簡為：

(27)

(28)

兩種情況的方程求解過程應該統(tǒng)一，因此此時與前文θ≤θ0時一致，方程解的根號前也取正號。即：

(29)

將式(16)、(29)代入式(28)，并化簡，得：

(30)

綜合(1)與(2)上述兩種情況，可以將安全切深apS的表達式寫成一個分段函數(shù)：

(31)

由于實際結(jié)構(gòu)中阻尼比ξ通常較小，在0.03～0.05，則可近似認為apS的近似表達式中兩段相同8πkξ/NKtc部分，決定了葉瓣圖的高低?？傻玫桨踩猩頰pS隨其他參數(shù)的變化關(guān)系，如安全切深大小與材料切削力參數(shù)Ktc呈反比、與刀具齒數(shù)N呈反比、與刀尖傳遞函數(shù)的剛度k和阻尼ξ乘積呈正比。還可知切寬b與機床刀具對安全切深apS的影響相互獨立。刀尖頻響函數(shù)固有頻率ω不影響安全切深大小，只影響葉瓣圖中峰值和低谷對應的轉(zhuǎn)速。

3　最大銑削面積與工藝優(yōu)化

與學者們通常關(guān)注轉(zhuǎn)速n和極限切深ap之間的關(guān)系不同，通過上文的分析得出，切寬b對于安全切深apS的影響與機床刀具對其的影響相互獨立。則可以通過分析切寬和切深乘積的大小隨切寬的變化，研究切削面積隨切寬b的變化，進而研究切削效率及優(yōu)化方式，從新的切入點應用葉瓣圖理論。

定義安全加工面積：SS=apS·b

(32)

由幾何關(guān)系易知：b=R(1-cosθ)

(33)

將式(31)、(33)代入式(32)得：

(34)

式(32)中的8πkξ/NKtc項每個參數(shù)在機床刀具和工件材料均確定不變時不發(fā)生變化。將其定義為基本切削面積，將剩余的部分定義為面積效率系數(shù)：

(35)

利用MATLAB軟件求解式(23)的極小值M(θ)的數(shù)值解，再根據(jù)式(33)對b/R和θ間關(guān)系進行換算，計算不同Kr取值時切削面積效率系數(shù)隨切寬半徑比b/R的變化關(guān)系曲線ηS(b/R)，結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，當Kr較小如Kr=0.3或Kr=0.5時，面積效率系數(shù)ηS呈先快速下降再保持基本不變的趨勢，而b/R很小時曲線雖然非常陡峭，但受刀具刃長限制，不可能實現(xiàn)小切寬情況下的大切削面積，因此可認為此時ηS基本不變；當Kr較大如Kr=1.0或Kr=1.5時，面積效率系數(shù)ηS呈比較平緩的下降趨勢，此時可以通過適當減小切寬增大切深來達到更大的切削面積，從而提高加工效率。

4　鋁合金7050-T7451切削參數(shù)優(yōu)化

4.17050-T7451切削力系數(shù)隨轉(zhuǎn)速測量

使用圖5所示的系統(tǒng)，按照圖6所示原理測量鋁合金7050-T7451的切削力——將工件通過熱熔膠粘在托板上，再使用螺栓連接托板與三向測力儀，三向測力儀固定于機床工作臺上，切削力信號經(jīng)電荷放大器傳輸?shù)诫娔X中進行處理。

設計共22×3組7050-T7451切削力測試實驗，以計算其切削力系數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化規(guī)律。具體實驗參數(shù)如下：在轉(zhuǎn)速分別為1 000, 2 000, 3 000…22 000 r/min各進行軸向切深ap為3 mm、4.5 mm、6 mm共3次切削力測量實驗。其他參數(shù)保持不變：每齒進給量ft=0.1 mm、刀具半徑R=10 mm、齒數(shù)N=3、徑向切寬b=10 mm、打開切削液。測力儀坐標系方向與切削走刀方向相對位置關(guān)系如圖7所示。

根據(jù)切削力系數(shù)的定義及三角變換關(guān)系，切削力系數(shù)與X、Y方向切削力最大值斜率的關(guān)系如下：

Ktc=Ky,max

(36)

其中：Kx,max表示測力儀X方向力最大值與切削面積擬合得到的斜率，Ky,max表示測力儀Y方向力最大值與切削面積擬合得到的斜率。實際中切削力測量存在誤差和波動，取平穩(wěn)切削狀態(tài)下，每個刀齒周期切削力最大值的平均值作為計算用平均值。

測試得到的X和Y方向切削力最大值及切削系數(shù)Ktc、Kr分別如圖8～11所示。

由于取3點作擬合及切削力測量系統(tǒng)自身的誤差，測量的切削力及由其計算的切削力系數(shù)存在一定波動。但切削力系數(shù)在1 000～22 000 r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的整體變化趨勢比較明顯：Kr在低轉(zhuǎn)速時較大，高轉(zhuǎn)速時會明顯減小。Ktc則是先減小后增大。

4.2切削參數(shù)優(yōu)化算例

根據(jù)4.1節(jié)中的實驗結(jié)果，鋁合金7050-T7451材料在轉(zhuǎn)速為0～5 000 r/min范圍內(nèi)變化較小，近似認為其保持不變。取切削力系數(shù)為其平均值：

Ktc=1 300 N/mm2，Kr=0.846

試驗用刀具傳遞函數(shù)實驗測量參數(shù)擬合為：

ωn=1 184 Hz，k=1.651×107N/(m/s2)，ξ=0.03

根據(jù)第3節(jié)中的結(jié)論。安全切深及最大穩(wěn)定銑削面積隨切寬的變化分別如圖12、13所示。

實際將該材料加工為結(jié)構(gòu)件時，粗加工過程中通常使用10 mm作為切寬。使用本文提出的模型，最大穩(wěn)定銑削面積27.75 mm2，而如果將切寬減小為7 mm，則最大穩(wěn)定銑削面積增大為37.23 mm2，切削效率提高了34%。

5　結(jié)語

本文通過對于經(jīng)典葉穩(wěn)定性分析方法中傳遞函數(shù)進行簡化，對其特征方程進行深入解析求解，并通過求解析解最小值得到安全切深進一步得到安全切削面積。根據(jù)基本切削面積8πkξ/NKtc，機床穩(wěn)定切削能力與R、k、ξ成正比，與N、Ktc成反比；根據(jù)面積效率系數(shù)ηS，對于Kr較大時，可通過適度減小切寬、增大切深的方法來提高切削效率或者穩(wěn)定性。實驗測量鋁合金7050-T7451的切削力系數(shù)，并對其轉(zhuǎn)速在0～5 000 r/min時的切削參數(shù)進行優(yōu)化。

[1]Altintas Y, Budak E. Analytical prediction of stability lobes in milling[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology, 1995, 44(1): 357-362.

[2]Budak E, Altintas Y. Analytical prediction of chatter stability in milling—part I: general formulation[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1998, 120(1): 22-30.

[3]Budak E, Altintas Y. Analytical prediction of chatter stability in milling—part II: application of the general formulation to common milling systems[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1998, 120(1): 31-36.

[4]湯愛君. 薄壁件高速銑削三維穩(wěn)定性及加工變形研究[D]. 濟南：山東大學, 2009.

[5]劉強, 李忠群. 數(shù)控銑削加工過程仿真與優(yōu)化[M]. 北京：航空工業(yè)出版社, 2011：187-212.

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Maximum stable milling area and optimization of cutting parameters

LIU Qiaochu, WU Zhijun, FENG Pingfa

(Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, CHN)

Analytic expression of critical axial depth of cut including all related process and material parameters and the effect of each parameters is obtained by further analytic solving and analyzing the characteristic equation in the theory of chatter stability lobes on the assumption that frequency response function inXandYdirection are equal. Then analytic expression of safe axial depth of cut is obtained by solving the minimum of the critical axial depth of cut. Effects of milling area on efficiency are studied, which is defined as product of axial and radial depth of cut. Stable milling area and optimize method are presented, which is used on aluminium alloy 7050-T7451 after whose cutting force coefficient is measured.

milling; stability; Lobes; process parameters; optimization

TH162+.1

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.07.021

劉翹楚，男，1990年生，碩士在讀生，主要研究方向為銑劑穩(wěn)定性及切削參數(shù)優(yōu)化。

(編輯汪藝)(2016-05-10)

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