王　鵬　邱天爽*　任福全　李景春　譚海峰（大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部大連116024）（國家無線電監(jiān)測中心北京100037）（北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院北京100876）

?

對稱穩(wěn)定分布噪聲下基于廣義相關(guān)熵的DOA估計(jì)新方法

王鵬①邱天爽*①任福全①李景春②譚海峰②③①
①（大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部大連116024）
②（國家無線電監(jiān)測中心北京100037）
③（北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院北京100876）

針對穩(wěn)定隨機(jī)變量有限二階矩不存在的特點(diǎn)，該文定義了一種新的廣義相關(guān)熵，并從理論上證明了對稱穩(wěn)定分布隨機(jī)變量廣義相關(guān)熵的有界性。此外，提出了一種穩(wěn)定分布噪聲下基于最小廣義相關(guān)熵準(zhǔn)則的DOA估計(jì)新方法，給出了一種迭代優(yōu)化算法并通過仿真實(shí)驗(yàn)分析了算法的收斂性。仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有基于分?jǐn)?shù)低階矩的FLOM-MUSIC、基于類相關(guān)熵的CRCO-MUSIC以及基于lp范數(shù)的ACO-MUSIC算法相比，所提方法可以獲得更好的估計(jì)結(jié)果，尤其是在高脈沖性噪聲環(huán)境下具有更加明顯的優(yōu)勢。

波達(dá)方向估計(jì)；相關(guān)熵；廣義相關(guān)熵；穩(wěn)定分布噪聲；MUSIC算法

1　引言

DOA（Direction O f Arrival）估計(jì)是陣列信號(hào)處理中的基本問題之一，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶以及無線電通信等領(lǐng)域［1］。多重信號(hào)分類［2］（MU ltiple SIgnal Classification，MUSIC）算法能夠?qū)崿F(xiàn)DOA的超分辨率估計(jì)，但是傳統(tǒng)算法多假設(shè)背景噪聲服從高斯分布。實(shí)際上，由于受到自然因素（如大氣噪聲、海雜波等）以及人為因素（如電動(dòng)機(jī)等電磁設(shè)備）的影響，噪聲可能呈現(xiàn)較強(qiáng)的脈沖性，此時(shí)利用A lpha穩(wěn)定分布［3］進(jìn)行描述更加合適。與高斯分布隨機(jī)變量不同，A lpha穩(wěn)定分布隨機(jī)變量不具有有限二階矩，傳統(tǒng)MUSIC方法不再適用。

為抑制A lpha穩(wěn)定分布噪聲的影響，文獻(xiàn)［4-8］提出了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量（Fractional Lower Order Statistics，F(xiàn)LOS）的DOA估計(jì)方法。該類方法雖取得了較好的估計(jì)效果，但存在一定的局限性：（1）階次p必須滿足1≤p<α［4-6］或0

為了更好地抑制脈沖噪聲，提高DOA估計(jì)算法的魯棒性，本文定義了一種新的廣義相關(guān)熵，提出了一種基于最小廣義相關(guān)熵準(zhǔn)則的DOA估計(jì)新方法。該方法無需構(gòu)造協(xié)方差矩陣，通過優(yōu)化算法直接實(shí)現(xiàn)信號(hào)子空間的估計(jì)，為利用相關(guān)熵實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)提供了一種新思路。仿真結(jié)果表明，本文算法在高脈沖性噪聲環(huán)境下能夠獲得更好的估計(jì)結(jié)果。

2　穩(wěn)定分布與相關(guān)熵

2.1穩(wěn)定分布

對稱A lpha穩(wěn)定（Symmetric A lpha Stable，SαS）分布隨機(jī)變量常用其特征函數(shù)進(jìn)行描述［3］。

其中，2α<≤0稱為特征指數(shù)，用來度量概率密度函數(shù)的拖尾厚度，0γ>是分散系數(shù)，用以度量樣本的分散程度，μ是位置參數(shù)，當(dāng)1 2α<≤時(shí)，該參數(shù)表示該隨機(jī)變量的均值，當(dāng)0 1α<<時(shí)，該參數(shù)則表示該隨機(jī)變量的中值。特別地，當(dāng)2α=時(shí)，SαS分布退化為高斯分布。當(dāng)2α<時(shí)，S Sα隨機(jī)變量不存在有限的二階矩，因此基于二階統(tǒng)計(jì)量的傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法在穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下性能嚴(yán)重退化。

2.2相關(guān)熵

相關(guān)熵作為一種隨機(jī)變量局部相似性的度量［13］，廣泛應(yīng)用于時(shí)延估計(jì)［14］、自適應(yīng)濾波［15，16］、圖像處理［17］以及醫(yī)學(xué)信號(hào)處理［18］等領(lǐng)域，其定義為

3　基于廣義相關(guān)熵的DOA估計(jì)

3.1問題描述

假設(shè)均勻等距線陣由M個(gè)陣元組成，陣元間距為d，存在P個(gè)頻率已知的窄帶信源，信源之間相互獨(dú)立，入射角度分別為θ1，θ2，…，θP，以第1個(gè)陣元為參考陣元，則第m個(gè)陣元t時(shí)刻的輸出可以表示為

其中，si（t）為第i個(gè)信源的復(fù)包絡(luò)，λ表示信號(hào)波長且滿足d≤λ/2，nm（t）表示服從SαS分布的加性噪聲，各陣元噪聲相互獨(dú)立，噪聲與信號(hào)之間相互獨(dú)立。進(jìn)一步將式（5）寫成矩陣形式：

根據(jù)低秩近似理論［19］，X可以利用低秩矩陣X進(jìn)行近似：

其全局最優(yōu)解如下：

其中，SVD（·）表示奇異值分解，Ds是由P個(gè)最大奇異值組成的對角矩陣，Us和Vs分別為對應(yīng)的左特征向量和右特征向量。由矩陣相關(guān)理論可知，矩陣Us與A張成相同的子空間。將式（8）的代價(jià)函數(shù)進(jìn)一步寫為

由于服從S Sα分布的隨機(jī)變量不具有有限的二階矩，基于式（11）算法的性能必然下降。

3.2廣義相關(guān)熵

為抑制穩(wěn)定分布噪聲的影響，受相關(guān)熵啟發(fā)，本文定義了一種新的廣義相關(guān)熵：

可以證明，對稱穩(wěn)定分布隨機(jī)變量的廣義相關(guān)熵是有界的。

定理1假設(shè)存在兩個(gè)獨(dú)立同分布的對稱穩(wěn)定分布隨機(jī)變量X和Y，定義r X Y=-，則廣義相關(guān)熵是有界的。

證明根據(jù)廣義相關(guān)熵的定義可知

由S Sα分布的性質(zhì)［3］可知，r X Y=-同樣服從S Sα分布。根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義，式（15）可進(jìn)一步寫為

其中，（）f r表示隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。

根據(jù)概率密度函數(shù)與特征函數(shù)之間的關(guān)系，將式（1）所示的特征函數(shù)代入，可得

又因?yàn)?/p>

所以，式（17）可以進(jìn)一步簡化為

3.3基于最小廣義相關(guān)熵準(zhǔn)則的DOA估計(jì)算法

利用廣義相關(guān)熵替換式（11）中的二階矩，本文提出如式（21）所示的代價(jià)函數(shù)。

為了更好說明廣義相關(guān)熵對穩(wěn)定分布噪聲的抑制作用，將式（21）進(jìn)一步寫為

其中，B C⊙表示矩陣對應(yīng)元素相乘，1/2B表示對矩陣中每個(gè)元素進(jìn)行開方運(yùn)算，R為殘差矩陣，W為加權(quán)矩陣，其第m行n列元素

圖1給出了核長1σ=時(shí)的加權(quán)因子。從圖中可以看出，當(dāng)殘差較大時(shí)，加權(quán)因子迅速趨于0，可以有效抑制穩(wěn)定分布噪聲中的野點(diǎn)。

利用最小廣義相關(guān)熵準(zhǔn)則（M inimum Generalized Correntropy Criterion，MGCC），最小化式（21）就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)子空間的估計(jì)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)空間譜的估計(jì)：

圖1　加權(quán)因子幅度圖

3.4算法實(shí)現(xiàn)步驟

對比式（22）和式（11）發(fā)現(xiàn)可利用奇異值分解實(shí)現(xiàn)最小化式（21）的求解，但是由于加權(quán)矩陣W與待求解矩陣Y和Z有關(guān)，無法單次獲得最優(yōu)解，因此本文采用IR-SVD［12］方法，主要步驟如下：步驟1隨機(jī)生成列滿秩矩陣Y（0）與行滿秩矩陣設(shè)定迭代次數(shù)k=0，初始誤差為，迭代停止誤差sε以及最大迭代次數(shù)K；

步驟6按式（24）計(jì)算空間譜，通過搜索峰值實(shí)現(xiàn)P個(gè)信源DOA的估計(jì)。

4　仿真實(shí)驗(yàn)

其中，s（t）表示信號(hào)，γ為噪聲的分散系數(shù)。

本文采用兩個(gè)指標(biāo)對算法性能進(jìn)行評價(jià)：DOA估計(jì)成功率和均方根誤差（Root M ean Square E r r o r，RMSE）。當(dāng)2個(gè)信源的入射角度估計(jì)誤差都不超過3°時(shí)，則認(rèn)為此次DOA估計(jì)是成功的。估計(jì)成功率是估計(jì)成功次數(shù)與隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)之比。DOA估計(jì)的RMS?E定義為

本文同時(shí)仿真了文獻(xiàn)［2］中的經(jīng)典MUSIC算法、文獻(xiàn)［5］中基于分?jǐn)?shù)低階矩的FLOM-MUSIC算法、文獻(xiàn)［10］中基于類相關(guān)熵的CRCO-MUSIC算法、文獻(xiàn)［12］中基于范數(shù)的ACO-MUSIC算法以及本文的MGCC-MUSIC算法。

實(shí)驗(yàn)1算法收斂性能設(shè)定迭代停止條件εs=，K=100。圖2給出了不同噪聲環(huán)境下本文算法的迭代誤差、子空間距離以及代價(jià)函數(shù)的變化曲線。其中，子空間距離定義為從圖中可以看出，當(dāng)?shù)`差滿足時(shí)，子空間距離以及代價(jià)函數(shù)基本穩(wěn)定，即以此為迭代停止條件是合適的。

實(shí)驗(yàn)2核長的選擇圖3給出了不同噪聲環(huán)境下算法性能隨核長σ的變化曲線，其中快拍數(shù)N=100。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)核長滿足σ∈［1.3，2.5］時(shí)，本文算法可以達(dá)到較好的估計(jì)結(jié)果。因此，在后續(xù)仿真實(shí)驗(yàn)中，核長參數(shù)均取σ=1.5。此外，還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)噪聲的特征指數(shù)對算法性能影響很小。

圖2　算法迭代收斂曲線

實(shí)驗(yàn)3 GSNR對算法性能的影響圖4給出了不同GSNR下的估計(jì)結(jié)果，其中噪聲的特征指數(shù)α=1.5，快拍數(shù)N=100?？梢钥闯?，隨著GSNR的提高，所有算法性能均有顯著提高。與其它4種算法相比，經(jīng)典MUSIC算法在穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下的性能較差。在低信噪比環(huán)境下，MGCC-MUSIC算法與CRCO-MUSIC算法可以獲得更高的估計(jì)成功率，而且MGCC-MUSIC算法具有更低的估計(jì)誤差；而在高信噪比環(huán)境下，MGCC-MUSIC算法則與ACO-MUSIC算法性能相當(dāng)。

實(shí)驗(yàn)4快拍數(shù)對算法性能的影響圖5給出了快拍數(shù)N對算法性能的影響。設(shè)定SαS噪聲特征指數(shù)α=1.5，GSNR為4 dB?？梢园l(fā)現(xiàn)，除經(jīng)典MUSIC算法外，其它4種算法的RMSE均隨著快拍數(shù)的增加而減小，其中MGCC-MUSIC，CRCO-MUSIC以及ACO-MUSIC 3種算法的估計(jì)成功概率相近，但是MGCC-MUSIC算法可以獲得更低的估計(jì)誤差。

實(shí)驗(yàn)5穩(wěn)定分布噪聲特征指數(shù)的影響圖6給出了不同噪聲特征指數(shù)下算法的估計(jì)結(jié)果，其中快拍數(shù)N=100，GSNR為4 dB?？梢钥闯?，在高脈沖性噪聲環(huán)境下，本文算法具有非常明顯的優(yōu)勢。此外，與圖2和圖3現(xiàn)象一致，噪聲特征指數(shù)α對本文算法性能的影響較小。

實(shí)驗(yàn)6角度分辨率圖7給出了不同算法的角度分辨能力。信源1的入射角度1θ從0°變化至18°，信源2的入射角度固定為220θ=°，噪聲特征指數(shù)1.5α=，GSNR為4 dB。從圖中可以看出，本文算法能夠分辨的最小角度差為6°，優(yōu)于其它算法。此外，還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)信源的角度差較小時(shí)，本文方法的估計(jì)成功率更高，而當(dāng)兩個(gè)信源的角度差較大時(shí)，本文方法則在RMSE方面具有微弱的優(yōu)勢。

圖3　算法性能隨核長的變化曲線

圖4　算法性能隨GSNR的變化曲線

圖5　算法性能隨快拍數(shù)的變化曲線

圖6　算法性能隨特征指數(shù)的變化曲線

圖7　算法的角度分辨率

5　結(jié)論

本文定義了一種新的廣義相關(guān)熵，證明了對稱穩(wěn)定分布隨機(jī)變量廣義相關(guān)熵的有界性，并基于最小廣義相關(guān)熵準(zhǔn)則提出了一種穩(wěn)定分布噪聲下的DOA估計(jì)新方法。該方法無需構(gòu)造協(xié)方差矩陣，通過求解優(yōu)化問題直接實(shí)現(xiàn)信號(hào)子空間的估計(jì)。為實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題的求解，本文給出了一種迭代優(yōu)化算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)分析了算法的收斂性。最后，本文分析了核長、廣義信噪比、快拍數(shù)、噪聲特征指數(shù)以及信源間入射角度差對算法性能的影響。仿真結(jié)果表明，本文算法可以獲得更好的估計(jì)結(jié)果，尤其是在高脈沖性噪聲環(huán)境下具有更加明顯的優(yōu)勢。

［1］KRIM H and VIBERGM.Twodecadesofarray signalprocessing research:the parametric approach［J］.IEEE Signal Processing Magazine，1996，13（4）:64-97.doi:10.1109/79.526899.

［2］SCHM IDE R O.Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1986，34（3）:276-280.doi:10.1109/tap.1986.1143830.

［3］SHAO M and NIKIAS C L.Signal processing with fractional lower ordermoments:stable processes and their applications［J］. Proceedings of the IEEE，1993，81（7）:986-1010.doi: 10.1109/5.231338.

［4］TSAKALIDESP and NIKIASC L.The robust covariation-based MUSIC（ROC-MUSIC）algorithm for bearing estimation in impulsive noise environments［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1996，44（7）:1623-1633.doi:10.1109/78.510611.

［5］LIU T and MENDEL JM.A subspace-based direction finding algorithm using fractional lower order statistics［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2001，49（8）:1605-1613.doi: 10.1109/78.934131.

［6］ZHANG JF and QIU T S.A novel covariation based noncircular sources direction finding method under impulsive noise environments［J］.Signal Processing，2014，98:252-262.doi: 10.1016/j.sigpro.2013.11.031.

［7］BELKACEM I H and MARCOS S.Robust subspace-based algorithms for joint angle/Doppler estimation in non-Gaussian clutter［J］.Signal Processing，2007，87（7）:1547-1558.doi: 10.1016/j.sigpro.2006.12.015.

［8］YOUG H，QIU T S，and SONG AM.Noveldirection findings for cyclostationary signals in im pulsive noise environments［J］. Circuits，System s，and Signal Processing，2013，32（6）:2939-2956. doi:10.1007/s00034-013-9597-0.

［9］張金鳳，邱天爽，宋愛民，等.Alpha穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下類M估計(jì)相關(guān)的DOA估計(jì)新算法［J］.通信學(xué)報(bào)，2013，34（5）:71-78.doi: 10.3969/j.issn.1000-436x.2013.05.008.

ZHANG Jinfeng，QIU Tianshuang，SONG Aim in，et al. M-estimate like correlation based algorithm for direction ofarrival estimation under alpha-stable environm ents［J］.Journal on Communications，2013，34（5）:71-78.doi: 10.3969/j.issn.1000-436x.2013.05.008.

［10］ZHANG J F，QIU T S，SONG A M，et al.A novel correntropy based DOA estimation algorithm in impulsive noise environments［J］.Signal Processing，2014，104:346-357.doi: 10.1016/j.sigpro.2014.04.033.

［11］邱天爽，張金鳳，宋愛民，等.脈沖噪聲下基于廣義類相關(guān)熵的DOA估計(jì)新方法［J］.信號(hào)處理，2012，28（4）:463-466.

QIU Tianshuang，ZHANG Jinfeng，SONG Aimin，et al.The generalized correntropy-analogous statistics based direction of arrival estimation in impulsive noise environments［J］.Signal Processing，2012，28（4）:463-466.

［12］ZENG W J，SO H C，and HUANG L.lp-MUSIC:Robust direction-of-arrivalestimator for impulsive noise environments［J］. IEEETransactionson SignalProcessing，2013，61（17）:4296-4308. doi:10.1109/tsp.2013.2263502.

［13］LIU W F，POKHAREL P P，and PRINCIPE J C.Correntropy: properties and app lications in non-Gaussian signal processing［J］. IEEETransactionson SignalProcessing，2007，55（11）:5286-5298. doi:10.1109/tsp.2007.896065.

［14］宋愛民，邱天爽，佟祉諫.對稱穩(wěn)定分布的相關(guān)熵及其在時(shí)間延遲估計(jì)上的應(yīng)用［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2011，33（2）:494-498.doi: 10.3724/SP.J.1146.2010.00309.

SONG Aim in，QIU Tianshuang，and TONG Zhijian.Correntropy of the symmetric stable distribution and its application to the time dealy estimation［J］.Journal of Electronics&Information Technology，2011，33（2）:494-498.doi: 10.3724/SP.J.1146.2010.00309.

［15］WU Z Z，SHIJ H，ZHANG X，et al.Kernel recursivemaximum correntropy［J］.Signal Processing，2015，117:11-26.doi: 10.1016/j.sigpro.2015.04.024.

［16］CHEN B D，LEIX，LIANG J L，etal.Steady-statemean-square error analysis for adaptive filtering under the maximum correntropy criterion［J］.IEEE Signal Processing Letters，2014，21（7）:880-884.doi:10.1109/LSP.2014.2319308.

［17］WANG L F and PAN C H.Robust level set image segm entation via a local correntropy-based K-means clustering［J］.Pattern Recognition，2014，47（5）:1917-1925.doi: 10.1016/j.patcog.2013.11.014.

［18］MELIA U，GUAITA M，VALLVERDU M，et al.Correntropy measures to detect daytim e sleepiness from EEG signals［J］. Physiological Measurements，2014，35（10）:2067-2083.doi: 10.1088/0967-3334/35/10/2067.

［19］MARKOVSKY I.Low Rank Approximation:Algorithms，Im plementation，Applications［M］.London，UK，Springer-Verlag London，2011:60-64.

王鵬：男，1989年生，博士生，研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、非高斯非平穩(wěn)信號(hào)處理.

邱天爽：男，1954年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榉瞧椒€(wěn)非高斯統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理、數(shù)字信號(hào)處理等.

任福全：男，1984年生，博士生，研究方向?yàn)閳D像處理、成像與壓縮感知等.

李景春：男，1966年生，博士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)闊o線電監(jiān)測理論與應(yīng)用等.

譚海峰：男，1977年生，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)闊o線電頻譜工程以及無線電監(jiān)測等.

A Novel Generalized Correntropy Based Method for Direction of Arrival Estimation in Symmetric Alpha Stable Noise Environments

WANG Peng①Q(mào)IU Tianshuang①REN Fuquan①LIJingchun②TAN Haifeng②③①
①（Faculty ofElectronic Information and Electrical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）
②（State Radio Monitoring Center，Beijing 100037，China）
③（Schoo l of Inform ation and Communication Engineering，Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing 100876，China）

To overcome the lim itation that the alpha stab le distributed variable possesses infinite second-order moment，a novelgeneralized correntropy is defined and thebounded property of the generalized correntropy for the symmetric alpha stab le variable is proved.Furthermore，a novelm inimum generalized correntropy criterion based DOA estim ation method for im pu lsive noise is proposed，and an iterative optim ization algorithm is presented，the convergence ofwhich is analyzed by simulation experiments.The simulation resu lts demonstrate that the proposed method can get better estimation resu lts than the fractional lower order moments based FLOM-MUSIC，the correntropy-like based CRCO-MUSIC and the lp norm based ACO-MUSIC methods，especially in the highly im pulsive noise environments.

Direction O f Arrival（DOA）estimation；Correntropy；Generalized correntropy；A lpha stable distribu ted noise；MUSIC algorithm

s:The National Natural Science Foundation of China（61139001，61172108，81241059）

TN911.7

A

1009-5896（2016）08-2007-07

10.11999/JEIT 151217

2015-11-03；改回日期：2016-03-03；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-05-09

邱天爽qiutsh@d lut.edu.cn

國家自然科學(xué)基金（61139001，61172108，81241059）