畢曉君　張　磊（哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院哈爾濱150001）

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基于自適應(yīng)e截?cái)嗖呗缘募s束多目標(biāo)優(yōu)化算法

畢曉君張磊*
（哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院哈爾濱150001）

為提高約束多目標(biāo)優(yōu)化問題所求解集的分布性和收斂性，該文提出基于自適應(yīng)ε截?cái)嗖呗缘募s束多目標(biāo)優(yōu)化算法。首先，自適應(yīng)ε截?cái)噙x擇策略能夠保留Pareto最優(yōu)解和約束違反度及目標(biāo)函數(shù)值均較優(yōu)的不可行解，不僅提高了種群多樣性，而且能夠較好地兼顧多樣性和收斂性；其次，為增強(qiáng)算法的局部開發(fā)能力，在變異操作和交叉操作之后進(jìn)行指數(shù)變異；最后，改進(jìn)的擁擠密度估計(jì)方式只選擇一部分Pareto最優(yōu)解和距離較近的個(gè)體參與計(jì)算，不僅更加準(zhǔn)確地反映解集的分布性，而且降低了計(jì)算量。通過(guò)在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問題（CTP系列）上與其他4種優(yōu)秀算法的對(duì)比結(jié)果可以得出，該算法所求解集的分布性和收斂性均得到一定提高，而且相較于對(duì)比算法在求解性能上具備一定的優(yōu)勢(shì)。

約束多目標(biāo)優(yōu)化；約束處理技術(shù)；ε截?cái)啵环植夹?；收斂?/p>

1　引言

約束多目標(biāo)優(yōu)化問題（Constrained Multiob jective Optim ization Problems，CMOPs）是科學(xué)研究和工程實(shí)踐中最常見的問題之一，涉及到航空航天、網(wǎng)絡(luò)通信、機(jī)械設(shè)計(jì)、作業(yè)調(diào)度和決策科學(xué)等諸多領(lǐng)域［14］-。然而隨著目標(biāo)個(gè)數(shù)的增加和約束條件的復(fù)雜，現(xiàn)有約束多目標(biāo)優(yōu)化算法已不能完全滿足應(yīng)用的需求，算法的性能急需進(jìn)一步提高。因此，約束多目標(biāo)優(yōu)化算法的研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。

文獻(xiàn)［5］在更新可行解集時(shí)隨機(jī)刪除歐氏距離最小的兩個(gè)個(gè)體中的一個(gè)，但會(huì)遺失邊界解，從而影響多樣性。同時(shí)在更新不可行解集時(shí)優(yōu)先選擇約束違反度小的個(gè)體，但這樣的個(gè)體可能目標(biāo)函數(shù)值較差，從而影響種群收斂速度；文獻(xiàn)［6］對(duì)可行解和不可行解分別構(gòu)造不同的適應(yīng)度函數(shù)，使得少量不可行解得到保留，從而擴(kuò)大探索范圍。但由于缺少多樣性維持策略，所求解集的分布性欠佳；文獻(xiàn)［7］優(yōu)先選擇位于稀疏區(qū)域的Pareto可行解進(jìn)入下一代可行解集以及目標(biāo)函數(shù)較優(yōu)并且位于稀疏區(qū)域的不可行解進(jìn)入下一代不可行解集，從而兼顧多樣性和收斂性，但算法收斂速度較慢；文獻(xiàn)［8］將目標(biāo)函數(shù)、多樣性度量準(zhǔn)則和約束違反度聚合成一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)，從而協(xié)調(diào)了精英選擇、多樣性和可行性之間的關(guān)系，但算法收斂精度不高；文獻(xiàn)［9］提出以可行解極小化目標(biāo)函數(shù)值和不可行解極小化約束違反度為目標(biāo)，并利用差分進(jìn)化算法優(yōu)良的多樣性能力進(jìn)化種群，但可行解集與不可行解集的信息交流不夠，種群多樣性還需提高。文獻(xiàn)［10］將分解算法和隨機(jī)排序法以及Deb準(zhǔn)則結(jié)合，但由于存在多個(gè)子問題對(duì)應(yīng)同一個(gè)體的情況，嚴(yán)重影響了種群的多樣性。

綜上，約束多目標(biāo)優(yōu)化算法的核心在于如何兼顧多樣性和收斂性，具體涉及到目標(biāo)函數(shù)與約束條件的平衡，可行解與不可行解的比較，全局探索和局部開發(fā)的協(xié)調(diào)等方面。但目前大多數(shù)優(yōu)秀算法在多樣性和收斂性上很難達(dá)到充分的平衡。為此，本文提出基于自適應(yīng)ε截?cái)嗖呗缘募s束多目標(biāo)優(yōu)化算法。首先，提出的自適應(yīng)ε截?cái)嗖僮髂軌蛴行f(xié)調(diào)可行解和不可行解，從而加強(qiáng)對(duì)搜索空間的探索范圍，并且在保證多樣性的同時(shí)又能兼顧收斂性；其次，在交叉和變異操作之后引入指數(shù)變異，進(jìn)一步提高局部搜索能力，從而在一定程度上權(quán)衡全局探索和局部開發(fā)；最后，改進(jìn)的擁擠密度估計(jì)方式能夠更加準(zhǔn)確地評(píng)估種群的分布性，不僅提高進(jìn)化效率而且更好地維持種群多樣性。

2　基于自適應(yīng)e截?cái)嗟募s束多目標(biāo)優(yōu)化算法

實(shí)驗(yàn)研究表明，影響約束多目標(biāo)優(yōu)化算法性能的關(guān)鍵在于多樣性和收斂性的協(xié)調(diào)關(guān)系。因此本文算法不僅針對(duì)約束處理技術(shù)進(jìn)行改進(jìn)，而且還對(duì)進(jìn)化操作以及多樣性維持方式進(jìn)行改進(jìn)，提出自適應(yīng)ε截?cái)嗖呗?，引入指?shù)變異，改進(jìn)擁擠密度估計(jì)方法，從而獲得算法整體求解性能的改善。

2.1自適應(yīng)e截?cái)嗖呗?/p>

目前應(yīng)用效果最好的約束處理技術(shù)為雙種群存儲(chǔ)［7］和ε約束［11］。雙種群存儲(chǔ)對(duì)可行解和不可行解分別存儲(chǔ)，能夠利用少量不可行解來(lái)提高種群多樣性。但由于在更新不可行解集時(shí)只是優(yōu)先考慮約束違反度，使得種群中存在目標(biāo)函數(shù)值較差的不可行解，進(jìn)而影響收斂速度。ε約束最先用于解決約束單目標(biāo)優(yōu)化問題，在一定程度上協(xié)調(diào)了可行解和不可行解的關(guān)系，擴(kuò)大了探索范圍。但其一對(duì)一的替換機(jī)制又會(huì)影響多樣性，因?yàn)楸惶鎿Q個(gè)體位于稀疏區(qū)域時(shí)，將會(huì)遺失部分搜索區(qū)域，所以ε約束在多樣性和收斂性上更加偏重后者。為此，在兩者基礎(chǔ)上提出ε截?cái)嗖呗裕浞謪f(xié)調(diào)多樣性和收斂性。

定義1ε截集：種群中所有滿足（）Gε≤X的個(gè)體X構(gòu)成的集合稱為ε截集，記為ε≤P。

定義2ε截?cái)嗖僮鳎簩⒎N群劃分為以約束違反度ε為界限的兩個(gè)種群（ε≤P和ε>P）的操作，稱為ε截?cái)嗖僮鳌?/p>

ε設(shè)置如式（1）所示。

性質(zhì)2當(dāng)ε=0時(shí)，ε截?cái)嗖呗耘c雙種群存儲(chǔ)性質(zhì)相同，雙種群存儲(chǔ)是ε截?cái)嗟囊粋€(gè)特例。

（1）ε截?cái)嗖呗耘c雙種群存儲(chǔ)的比較：相同點(diǎn)：兩者均讓部分不可行解參與進(jìn)化，從而提高種群多樣性；兩者都能避免可行解與不可行解的直接比較，事實(shí)上可行解與優(yōu)秀不可行解很難定量比較。不同點(diǎn)：雙種群存儲(chǔ)是ε截?cái)嗖呗栽讦?0時(shí)的特例；兩者更新種群的機(jī)理不同，ε截?cái)嗖呗詴?huì)在進(jìn)化種群中會(huì)保留少量?jī)?yōu)秀不可行解，而雙種群存儲(chǔ)通過(guò)單獨(dú)的不可行解集儲(chǔ)存不可行解，需要額外的存儲(chǔ)開支；ε截?cái)嗖呗栽谶M(jìn)化前期時(shí)，ε值相對(duì)較大，種群中的不可行解能夠擴(kuò)大對(duì)搜索空間的探索范圍，增強(qiáng)多樣性，同時(shí)保留的Pareto最優(yōu)解又能保證收斂性。在進(jìn)化后期ε相對(duì)較小并隨著進(jìn)化迭代次數(shù)的增加逐漸趨于零，種群中會(huì)全部由可行解構(gòu)成，此時(shí)更加注重的是種群的收斂性，所以ε截?cái)嗑哂凶赃m應(yīng)性。

（2）ε截?cái)嗖呗耘cε約束的比較：相同點(diǎn)：兩者均能有效協(xié)調(diào)可行解和不可行解的關(guān)系，從而加強(qiáng)種群的多樣性。不同點(diǎn)：ε截?cái)嗄軌蚍奖闳诤掀渌僮?，如小生境和擁擠密度估計(jì)等，從而更好改善種群的分布性；ε約束是新生個(gè)體與舊個(gè)體一對(duì)一的比較，是基于單個(gè)個(gè)體的操作，雖然能夠加快收斂速度，但會(huì)影響種群的多樣性，而ε截?cái)嗍腔诩系牟僮鞑⒔Y(jié)合擁擠密度估計(jì)，所以能更好維護(hù)多樣性。

綜上，ε截?cái)嗖呗酝ㄟ^(guò)自適應(yīng)調(diào)整有效平衡了可行解與不可行解的關(guān)系，在進(jìn)化前期保留Pareto最優(yōu)解和一部分優(yōu)秀不可行解，從而較好地兼顧了多樣性和收斂性，而在進(jìn)化后期更加注重對(duì)可行域的開發(fā)能力，促使種群向Pareto前沿收斂。

2.2進(jìn)化操作

本文采用文獻(xiàn)［12］的變異算子和交叉算子，分別如式（2）和式（3）所示。

研究表明，上述的變異算子和交叉算子對(duì)于維護(hù)種群的多樣性效果顯著。而為了加強(qiáng)局部搜索能力，本文以概率mp進(jìn)行指數(shù)變異［13］，如式（4）所示。

其中，η為指數(shù)因子，rand（）·為［0，1］隨機(jī)數(shù)，jl和ju分別為決策空間j維的下界和上界。

2.3基于e截?cái)嗖呗缘木⑦x擇

經(jīng)過(guò)2.2節(jié)的進(jìn)化操作，會(huì)產(chǎn)生包含N個(gè)體的新生種群，進(jìn)而將父代種群和新生種群合并，然后利用ε截?cái)嗖僮?，將合并種群一分為二成

接著從合并種群中選擇N個(gè)體作為下一代種群，共分3種情況。情況1則從中選擇N個(gè)體作為下一代種群；情況2：將ε≤P作為下一代種群；情況3:則從個(gè)體，并與合并作為下一代種群。

對(duì)于情況1，為了有效平衡多樣性和收斂性，應(yīng)該選擇在目標(biāo)空間上Pareto等級(jí)較高和擁擠密度較大的個(gè)體。首先利用快速非支配排序法［14］將分層為中選擇使得其總個(gè)體數(shù)量sN大于或等于N，如果sN N=，將然后選擇合適的前若干等級(jí)層作為下一代種群，如果sN N>，計(jì)算sF中所有個(gè)體的擁擠密度。接著選擇sF中擁擠密度最大的體，將其與合并作為下一代種群。值得注意的是，本文將sF中所有邊界解的擁擠密度定義為無(wú)窮大，以確保它們進(jìn)入下一代，從而能夠加大對(duì)搜索空間的探索廣度。

擁擠密度計(jì)算方式［14］如式（6）所示。

其中，N為種群規(guī)模，，ijd表示個(gè)體iX到j(luò)X在目標(biāo)空間上的歐氏距離。

由于式（6）考慮了其中一個(gè)個(gè)體到種群其他所有個(gè)體的距離，一方面計(jì)算量很大，另一方面處于Pareto等級(jí)較差等級(jí)，相對(duì)距離較遠(yuǎn)的個(gè)體會(huì)對(duì)所要計(jì)算擁擠密度的個(gè)體會(huì)產(chǎn)生一定影響，從而不能準(zhǔn)確反映種群的多樣性分布。為此，提出改進(jìn)的擁擠密度公式，如式（7）所示。

式（7）中參與計(jì)算個(gè)體數(shù)量遠(yuǎn)小于N，從而減少了計(jì)算量，并提高算法效率。同時(shí)，式（7）右邊第1項(xiàng)表示選擇距離較近的1T個(gè)體，從而避免距離較遠(yuǎn)個(gè)體影響，而第2項(xiàng)表示選擇Pareto等級(jí)較優(yōu)的2T個(gè)體，從而消除Pareto等級(jí)較差個(gè)體影響。所以改進(jìn)的擁擠密度不僅能夠降低計(jì)算量，而且在計(jì)算個(gè)體的擁擠密度時(shí)能夠去除較遠(yuǎn)個(gè)體和Pareto等級(jí)較差個(gè)體的影響，從而能夠準(zhǔn)確反映個(gè)體的分布情況，并提高種群多樣性。

對(duì)于情況3，由于ε≤P中的個(gè)體數(shù)量較少，說(shuō)明可行域相對(duì)較小，造成進(jìn)化過(guò)程中搜索到的可行解較少，此時(shí)算法更應(yīng)該偏重搜索可行解，故選擇約束違反度最小的個(gè)體，這樣能夠在一定程度上促使種群向可行域靠近。

2.4算法流程

為便于理解，給出本文算法的具體步驟。

步驟1初始化參數(shù)。包括最大進(jìn)化代數(shù)maxG，種群規(guī)模N，縮放因子F，交叉因子CR，指數(shù)因子η，變異因子mp.；

步驟2在決策空間里隨機(jī)生成產(chǎn)生N個(gè)體，構(gòu)成初始種群；

步驟3執(zhí)行2.2節(jié)中進(jìn)化操作，生成新生種群；

步驟4合并父代種群和新生種群，并計(jì)算合并種群所有個(gè)體的約束違反度和目標(biāo)函數(shù)值；

步驟6執(zhí)行2.3節(jié)中基于ε截?cái)嗟木⑦x擇操作，選擇N個(gè)體作為下一代種群；

步驟7判斷是否達(dá)到maxG，是則將種群中的Pareto最優(yōu)解作為結(jié)果輸出，否則，轉(zhuǎn)到步驟3。

3　實(shí)驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證本文算法在約束多目標(biāo)優(yōu)化問題上的求解性能，將其與目前性能優(yōu)異的文獻(xiàn)［5］算法、文獻(xiàn)［6］算法、BB-MOPSO［7］，NSGA-2約束多目標(biāo)優(yōu)化算法［15］（以下簡(jiǎn)稱NSGA-2）在通用標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)CTP2-CTP7［6］上進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，并采用GD［5］和SP［5］這兩種通用的評(píng)價(jià)指標(biāo)測(cè)試算法的性能。其中，GD用于評(píng)價(jià)解集的收斂性，SP用于評(píng)價(jià)解集的分布性。實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為Intel Pentium，CPU:G 620，4 GB內(nèi)存、主頻2.6 GHz的計(jì)算機(jī)，程序采用MATLAB R2010編寫。

由于CTP3和CTP4的真實(shí)Pareto最優(yōu)解為多個(gè)離散點(diǎn)，CTP5的真實(shí)Pareto最優(yōu)解為一段連續(xù)區(qū)域和多個(gè)離散點(diǎn)，再利用SP來(lái)度量分布性就不合適了。于是，將上述6個(gè)測(cè)試函數(shù)分為2組：CTP2，CTP6和CTP7記為第1組，CTP3，CTP4和CTP5記為第2組。第1組測(cè)試函數(shù)用SP來(lái)度量分布性以及用GD來(lái)度量收斂性，第2組測(cè)試函數(shù)用離散點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)度量分布性以及用GD來(lái)度量收斂性。

3.1改進(jìn)的擁擠密度估計(jì)的有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)擁擠密度估計(jì)的有效性，在本文算法基礎(chǔ)上，將原始擁擠密度估計(jì)方式（式（6））和改進(jìn)擁擠密度估計(jì)方式（式（7））進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，分別記為改進(jìn)前和改進(jìn)后。參數(shù)取值為N=100，Gmax= 3000，F(xiàn)=0.5，CR=0.9，η=20，pm=1/n。獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)為10次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1～表3所示。

表1　第1組測(cè)試函數(shù)上改進(jìn)前后的SP值

表2　第2組測(cè)試函數(shù)上改進(jìn)前后的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)

表3　 2組測(cè)試函數(shù)上改進(jìn)前后的GD值

從表1可以看出，改進(jìn)后的SP均值均優(yōu)于改進(jìn)前。特別在測(cè)試函數(shù)CTP5上，改進(jìn)后的分布性有明顯的改善，表明改進(jìn)的擁擠密度估計(jì)方法在種群多樣性維持上具有更好的性能；從表2可以看出，改進(jìn)前后的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)均取得較好的效果；從表3可以看出，在所有測(cè)試函數(shù)上，改進(jìn)后的GD均值均優(yōu)于改進(jìn)前，特別在測(cè)試函數(shù)CTP2和CTP7上有明顯的提高，說(shuō)明改進(jìn)的擁擠密度估計(jì)方法對(duì)加強(qiáng)收斂性也有幫助。同時(shí)，改進(jìn)后的標(biāo)準(zhǔn)差普遍較小，說(shuō)明算法穩(wěn)定性也得到增強(qiáng)。因此，改進(jìn)的擁擠密度估計(jì)方法對(duì)提高多樣性起著重要作用，而多樣性的提高又能有效避免陷入局部搜索，為最終收斂到整個(gè)真實(shí)Pareto前沿提供保障。

3.2對(duì)比實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文算法的先進(jìn)性，將其與優(yōu)秀的NSGA-2，文獻(xiàn)［5］算法，BB-MOPSO和文獻(xiàn)［7］算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，獨(dú)立運(yùn)行為30次。為保證公平性，所有算法參數(shù)取值為種群規(guī)模N=100，最大迭代次數(shù)除此，本文算法其他參數(shù)取值對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4～表6所示。

從表4可以看出，在測(cè)試函數(shù)CTP2和CTP6上，本文算法的SP均值優(yōu)于其他4種算法，所求解集的分布性最優(yōu)，說(shuō)明在進(jìn)化過(guò)程中較好地維持了種群多樣性。在測(cè)試函數(shù)CTP7上，NSGA-2的SP均值在5種算法中最優(yōu)，略優(yōu)于排名第2的本文算法。從表5可以看出，在測(cè)試函數(shù)CTP3上，文獻(xiàn)［5］算法、BB-MOPSO以及本文算法的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)均值都為14，說(shuō)明在30次獨(dú)立運(yùn)行中都一致找到了所有的離散點(diǎn)。但文獻(xiàn)［5］算法的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)均值只有9.90，表明由于多樣性維持不足導(dǎo)致遺失一部分Pareto解。在測(cè)試函數(shù)CTP4和CTP5上，本文算法均取得最優(yōu)的結(jié)果，并且明顯優(yōu)于其他4種算法，說(shuō)明本文算法在進(jìn)化中探索能力更強(qiáng)。綜上，本文算法在種群多樣性維護(hù)上具有明顯優(yōu)勢(shì)，使得所求的解集分布性較好。

表4　 5種算法在第1組測(cè)試函數(shù)上的SP值

表5　 5種算法在第2組測(cè)試函數(shù)上的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)

從表6可以看出，在測(cè)試函數(shù)CTP3，CTP4和CTP7上，本文算法獲得了最優(yōu)的GD均值，表明所求得的解集更加逼近真實(shí)Pareto前沿。文獻(xiàn)［7］算法在測(cè)試函數(shù)CTP2和CTP6上，取得最優(yōu)的GD均值，而在這兩個(gè)測(cè)試函數(shù)上，本文算法略劣于文獻(xiàn)［7］算法。在測(cè)試函數(shù)CTP5上，NSGA-2的GD均值最好，本文算法排名第2。但是NSGA-2的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)均值和GD標(biāo)準(zhǔn)差都較差，說(shuō)明NSGA-2的多樣性維持能力還需加強(qiáng)。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在多樣性和收斂性上均具有一定的優(yōu)勢(shì)。最后，本文算法的SP標(biāo)準(zhǔn)差和GD標(biāo)準(zhǔn)差在2組測(cè)試函數(shù)幾乎均為最優(yōu)，表明本文算法的穩(wěn)定性更好。

4　結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有約束多目標(biāo)優(yōu)化算法在求解復(fù)雜約束多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)解集分布性較差和收斂精度不高等問題，本文提出基于自適應(yīng)ε截?cái)嗟募s束多目標(biāo)優(yōu)化算法。首先，在雙種群存儲(chǔ)和ε約束的基礎(chǔ)上，提出ε截?cái)嗖呗浴Ｍㄟ^(guò)自適應(yīng)調(diào)整種群中的優(yōu)秀不可行解的比例，有效協(xié)調(diào)可行解與不可行解的關(guān)系，從而兼顧多樣性和收斂性。其次，在變異和交叉操作后再次進(jìn)行指數(shù)變異以增強(qiáng)對(duì)新生個(gè)體周圍區(qū)域的開發(fā)，進(jìn)一步增強(qiáng)局部開發(fā)能力。最后，提出的擁擠密度估計(jì)方式通過(guò)選擇部分Pareto個(gè)體和距離較近的個(gè)體參與計(jì)算，能夠在改善解集的分布性的

表6　 5種算法在二組測(cè)試函數(shù)上的GD值

同時(shí)降低計(jì)算量。通過(guò)在CTP2-CTP7測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試，并與NSGA-2，文獻(xiàn)［5］算法，BB-MOPSO和文獻(xiàn)［7］算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法所求解集的多樣性和收斂性均有較大的提高。下一步工作將針對(duì)約束高維目標(biāo)優(yōu)化算法及其在決策管理和工程優(yōu)化中的應(yīng)用進(jìn)行展開，以獲得更高的社會(huì)價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

［1］W EI H.Design exp loration of th ree-dim ensional transverse jet in a supersonic crossflow based on data m ining and mu lti-ob jective design optim ization app roaches［J］. International Journal of Hydrogen Energy，2014，39（8）: 3914-3925.doi:10.1016/j.ijhydene.2013.12.129.

［2］ABDELKHALEK O，KRICHEN S，and GUITOUNI A.A genetic algorithm based decision support system for the mu lti-ob jective node p lacement problem in next w ireless generation network［J］.Applied Soft Com puting，2015，33（8）: 278-291.doi:10.1016/j.asoc.2015.03.034.

［3］PARENTE M，CORTEZ P，and CORREIA A G.An evolutionary multi-ob jective optim ization system for earthworks［J］.Expert System swith Applications，2015，42（19）: 6674-6685.

［4］GRASSO R，COCOCCIONI M，MOURRE B，et al.A decision support system for optimal dep loyment of sonobuoy networks based on sea current forecasts and multi-ob jective evolutionary op tim ization［J］.Expert Systems with Applications，2013，40（10）:3886-3899.doi:10.1016/j.eswa. 2012.12.080.

［5］孟紅云，張小華，劉三陽(yáng).用于約束多目標(biāo)優(yōu)化問題的雙種群差分進(jìn)化算法［J］.計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2008，31（2）:229-235. MENG Hongyun，ZHANG Xiaohua，and LIU Sanyang.A differential evolution based on double population for constrained multi-ob jective optim ization prob lem s［J］. Chinese Journal ofComputers，2008，31（2）:229-235.

［6］WOLDESENBET Y G，YEN G G，and TESSEMA B G. Constraint handling in multi-ob jective evolutionary optim ization［J］.IEEE Transactions on Evo lutionary Computation，2009，13（3）:514-525.doi:10.1109/TEVC. 2008.2009032.

［7］張勇，鞏敦衛(wèi)，任永強(qiáng)，等.用于約束優(yōu)化的簡(jiǎn)潔多目標(biāo)微粒群優(yōu)化算法.電子學(xué)報(bào)，2011，39（6）:1437-1440.

ZHANG Yong，GONG Dunwei，REN Yongqiang，et al. Barebones mu lti-ob jective particle swarm optim izer for constrained optimization prob lem s［J］.Acta Electronica Sinica，2011，39（6）:1437-1440.

［8］LONG Q.A constraint handling technique for constrained multi-ob jective genetic algorithm［J］.Swarm and Evolutionary Computation，2014，15（4）:66-79.doi:10.1016/j. swevo.2013.12.002.

［9］GAO W F，YEN G G，and LIU S Y.A dual-population differential evolution w ith coevolution for constrained optim ization［J］.IEEE Transactions on Cybernetics，2015，45（5）:1094-1107.doi:10.1109/TCYB.2014.2345478.

［10］JAN M A and KHANUM R A.A study of two penalty-parameterless constraint handling techniques in theframework of MOEA/D［J］.Applied Soft Computing，2013，13（1）:128-148.doi:10.1016/j.asoc.2012.07.027.

［11］畢曉君，王玨，李博，等.基于動(dòng)態(tài)遷移的ε約束生物地理學(xué)優(yōu)化算法［J］.計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展，2014，3（3）:580-589.

BI Xiaojun，WANG Jue，LIBo，et al.Anεconstrained biogeography-based optim ization w ith dynam ic m igration［J］Journal ofComputer Research and Development，2014，3（3）: 580-589.

［12］鄒德旋，高立群，段納.用修正的差分進(jìn)化算法確定光電模型參數(shù)［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2014，36（10）:2521-2525.doi: 10.3724/SP.J.1146.2013.01858.

ZOU Dexuan，GAO Liqun，and DUAN Na.Determ ining the parametersof photovoltaicmodulesby amodified differential evolution algorithm［J］.Journal of Electron ics&Inform ation Technology，2014，36（10）:2521-2525.doi:10.3724/SP.J. 1146.2013.01858.

［13］TAN YY，JIAO YC，LI H，et al.Amodification to MOEA/D-DE for multi-ob jective optim ization problem s w ith com plicated Pareto sets［J］.Information Sciences，2012，213（23）:14-38.

［14］DEB Kand JAIN H.An evolutionary many-ob jective optim ization algorithm using reference-point-based nondom inated sorting approach，part I:solving problem s w ith box constraints［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2014，18（4）:577-601.doi:10.1109/TEVC. 2013.2281535.

［15］DEB K，PRATAP A，AGARW AL S，et al.A fast and elitist multi-ob jective genetic algorithm:NSGA-II［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6（2）: 182-197.

畢曉君：女，1964年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橹悄苄盘?hào)處理、數(shù)字圖像處理、人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)等.

張磊：男，1987年生，博士生，研究方向?yàn)橹悄苄盘?hào)處理、約束多目標(biāo)優(yōu)化.

Constrained Multi-objective Optim ization Algorithm with Adap tivee Truncation Strategy

BIXiaojun ZHANG Lei
（College of Information and Communications Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

To im prove distribution and convergence of the obtained solution set in constrained multi-ob jective op tim ization p rob lem s，this paper presents a constrained multi-ob jective op tim ization algorithm based on adaptive εtruncation strategy.Firstly，th rough the proposedεtruncation strategy，the Pareto optim al solutions and the in feasib le solutions with low constraint violation and good ob jective function values are retained to im prove diversity.Besides，both diversity and convergence are coordinated.Second ly，the exponential variation is added for further enhancing the local exploitation ability after mutation and crossover operation.Finally，the im proved crowding density estimation chooses a part of the Pareto optimal individuals and the near individuals to take part in the calcu lation，thus it not on ly assesses the distribution of the solution setmore accurately，bu t also reduces the com putational quantity.The com parative experim ent resu lts w ith another four excellent constrained multiob jective algorithm s on the standard constrained multi-ob jective op tim ization p rob lem s（CTP series）show that diversity and convergence of the proposed algorithm are imp roved，and it has certain advantages com pared with these algorithm s.

Constrained mu lti-ob jectiveoptim ization；Constraint hand ling technique；εtruncation；Distribution；Convergence

The National Natural Science Foundation of China（61175126）

TP18

A

1009-5896（2016）08-2047-07

10.11999/JEIT 151237

2015-11-05；改回日期：2016-03-17；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-05-05

張磊zl12306124@163.com

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61175126）