甘肅省永登縣第二中學(xué)　(730302)

張長(zhǎng)雁

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球面距離定義的合理性詮釋

甘肅省永登縣第二中學(xué)(730302)

張長(zhǎng)雁

我們知道，平面上兩點(diǎn)之間的距離是連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，其依據(jù)是公理：兩點(diǎn)之間線段最短.球面距離：在球面上,兩點(diǎn)(非大圓直徑端點(diǎn))之間的最短距離,就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度,我們把這段弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離.這樣定義球面距離的理論依據(jù)是什么？有什么合理性，與平面上兩點(diǎn)距離定義有何聯(lián)系?以下予以證明.

一、引理：當(dāng)，證明：不等式sinx

圖1

二、球面距離的證明過(guò)程：

不妨將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)解決，即將經(jīng)過(guò)球面上兩點(diǎn)A、B的大圓和任意一個(gè)小圓繞弦AB旋轉(zhuǎn)到一個(gè)平面內(nèi)，則只需證明弦AB所對(duì)的大圓的劣弧長(zhǎng)小于弦AB所對(duì)的小圓的劣弧長(zhǎng)，就可以說(shuō)明球面上兩點(diǎn)間距離定義的根據(jù).如圖1，令圓O上兩點(diǎn)A,B(非大圓直徑端點(diǎn))，且|AB|=2a>0，大圓半徑為R,∠AOB=2θ；令圓M為經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的任意一個(gè)小圓，半徑為r，∠AMB=2φ，則如圖只需證明小圓M中弦AB所對(duì)劣弧l0大于大圓O中弦AB所對(duì)的弧長(zhǎng)l.

圖2

綜上可知，經(jīng)過(guò)球面兩點(diǎn)的所有弧長(zhǎng)中，大圓在該兩點(diǎn)之間的劣弧長(zhǎng)是最短的，于是定義為兩點(diǎn)之間的球面距離.

三、球面距離定義的合理性

圖3

所以，當(dāng)過(guò)AB兩點(diǎn)的圓的半徑x越來(lái)越大時(shí)，即AB之間的圓弧長(zhǎng)越來(lái)越小，圓弧也越來(lái)越接近線段AB；當(dāng)x→+∞時(shí)，即極限狀態(tài)下，球面轉(zhuǎn)化為平面，圓弧轉(zhuǎn)化為線段AB,兩點(diǎn)的球面距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的平面距離.因此，球面距離的定義根源于兩點(diǎn)平面距離的定義，則球面距離定義具有合理性.

一點(diǎn)啟示：極限思想是高等數(shù)學(xué)中處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.比如導(dǎo)數(shù)概念中，函數(shù)在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)是割線AB的斜率在Δx→0的極限，即當(dāng)函數(shù)圖像上動(dòng)點(diǎn)B無(wú)限逼近定點(diǎn)A時(shí)，割線AB的斜率不斷進(jìn)行量的無(wú)窮積累與壓縮，從而達(dá)到了質(zhì)的極限狀態(tài)，不妨認(rèn)為是數(shù)學(xué)元素的形態(tài)發(fā)生了變化.再如；定積分定義推導(dǎo)中，當(dāng)無(wú)限分割時(shí)，所有小矩形的面積和的極限就是曲邊梯形的面積，即矩形和積累到無(wú)限時(shí)，其面積和狀態(tài)發(fā)生了改變.從上述對(duì)球面距離定義的說(shuō)明中，我們能體會(huì)到極限狀態(tài)下，數(shù)學(xué)元素形態(tài)的轉(zhuǎn)變.其實(shí)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)中“割圓術(shù)”早就孕育了“以直代曲”極限思想的萌芽，折射出古人智慧的光芒.因而，在我們解決和處理數(shù)學(xué)及其他學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題時(shí)，也不妨將問(wèn)題推廣到極限狀態(tài)下去嘗試，或許能夠得到嶄新的結(jié)論，或許也能達(dá)到柳暗花明的境地.

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[2]蔣世信.關(guān)于兩點(diǎn)間球面距離的合理性[J].《教學(xué)與研究》，1984,(6).

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[5]欒世斌.關(guān)于兩點(diǎn)球面距離定義依據(jù)的證明及其地理應(yīng)用[J].《科學(xué)文匯》，2007,(05s).

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