江西省臨川一中　(344100)

陸繼承

?

坐標(biāo)變換，一招制勝

江西省臨川一中(344100)

陸繼承

圓錐曲線作為高考必考內(nèi)容之一，內(nèi)容的重要性自然不用多說，其主要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，坐標(biāo)變換及方程思想等.許多圓錐曲線問題，直接處理起來(lái)過程繁瑣，讓許多學(xué)生，甚至老師望而卻步.本文筆者將通過坐標(biāo)變換的方式，將一類橢圓問題與圓建立聯(lián)系，讓橢圓問題變得“簡(jiǎn)單”，達(dá)到一招制勝的效果.

先介紹一下平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，在人民教育出版社2015年出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-4》中對(duì)伸縮變換有如下定義：

其應(yīng)用在三角函數(shù)中較多，本文筆者將其在橢圓中的應(yīng)用作如下闡述.

例1證明：橢圓如下性質(zhì)：若點(diǎn)M,N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在并記為kPM,kPN時(shí)，則kPM·kPN是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值.

上述過程直接證明，這里筆者想從坐標(biāo)變換的角度再做分析：

相比之下，坐標(biāo)變換法證明過程簡(jiǎn)潔而清楚.又如：

圖1

(1)求a,b的值；(2)求證：直線MN的斜率為定值.

通過坐標(biāo)變換后，復(fù)雜的橢圓問題變成了一個(gè)簡(jiǎn)單的圓的問題，處理起來(lái)容易多了，可見一招制勝的效果，再如：

(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

①求S1關(guān)于k的表達(dá)式；

綜上，在平時(shí)的教學(xué)中，特別在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，把“坐標(biāo)變換”引進(jìn)圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容中，將極大地提高學(xué)生解答這類問題的效率.