浙江省嘉興市第一中學(xué)　(314500)

吳旻玲　沈新權(quán)

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平面截圓錐(圓柱)的截口曲線
——對(duì)2015年浙江高考數(shù)學(xué)文科第7題的探究

浙江省嘉興市第一中學(xué)(314500)

吳旻玲沈新權(quán)

一、試題呈現(xiàn)

圖1

如圖1，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是( ).

A．直線B．拋物線

C．橢圓D．雙曲線的一支

二、試題解析

此題是2015年浙江省高考數(shù)學(xué)文科的第7題，主要考查圓錐曲線的定義，考查學(xué)生的空間想象能力．第一眼看到此題，感覺似曾相識(shí)，因?yàn)轭愃频膯栴}曾在2008年浙江省高考數(shù)學(xué)理科試卷中出現(xiàn)過(見文后的試題鏈接)，但仔細(xì)思考以后我們就發(fā)現(xiàn)它們又是有差別的，2008年的試題考查的是用一個(gè)與圓柱的軸不垂直的平面去截圓柱所得的截口曲線的軌跡，而這個(gè)問題中的AP是以AB為軸的圓錐的母線，且母線與圓錐的軸的夾角為30°，要求的則是用一個(gè)平面α(直線AB與平面α所成的角為60°)去截此圓錐所得的截口曲線的軌跡．命題看似俗套卻又不乏新穎，而且試題的命題背景源于教材．人教A版選修2-1第二章《圓錐曲線》的章頭引言里有這樣一句話：“用一個(gè)不垂直于圓錐的軸和平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線．”因此，此題的答案可能是橢圓，也可能是雙曲線、拋物線，對(duì)大多數(shù)考生來(lái)講，它是一道“熟悉的陌生題”，是一道既能夠考查學(xué)生用幾何知識(shí)求點(diǎn)的軌跡的能力的試題，也能夠考查學(xué)生用代數(shù)(向量)方法來(lái)求解點(diǎn)的軌跡的能力的試題，因此，作為高考試題來(lái)講，它是一道不可多得的好題目，但對(duì)不少考生來(lái)說(shuō)，它則是一道具有一定挑戰(zhàn)性的題目．

三、試題解法

方法一：由于試題是選擇題，而且答案唯一，所以我們可以用排除法來(lái)找到答案．

圖2

如圖2，若記點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影為M，則∠MAB=30°，所以點(diǎn)M在所求軌跡上，延長(zhǎng)MB至N，使AB=BN，則∠NAB=30°，因此點(diǎn)N在所求軌跡上，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P將從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，且必為封閉圖形．因此，排除選項(xiàng)A、B、D，答案為C．

圖3

方法二：易知，點(diǎn)P在以AB為軸的圓錐上，該圓錐的母線與軸成30°．因?yàn)辄c(diǎn)P在平面α內(nèi)，因此P的軌跡是平面α截該圓錐所得截口曲線．因?yàn)槠矫姒僚c軸成60°，根據(jù)直觀的感覺，我們知道這個(gè)曲線是橢圓(如圖3)，原因是什么呢?下面我們先用坐標(biāo)法來(lái)證明截口曲線為橢圓．

圖4

四、試題推廣

1.問題提出

若把試題中的斜線段AB與平面α所成的角以及圓錐的母線與軸所成的角一般化，那么結(jié)果又會(huì)怎么樣？即若設(shè)斜線段AB與平面α所成的角為θ(0°≤θ≤90°)，∠PAB=φ(0°<φ<90°)，則點(diǎn)P的軌跡是什么？

2.坐標(biāo)法求解

分析：(1)若線段AB與平面α垂直(θ=90°)，也即用一個(gè)與底面平行的平面去截一個(gè)圓錐，顯然，所得截口曲線為圓．

3.一般結(jié)論

我們把平面截圓錐問題先降維到二維空間，可得到直線截三角形(如圖5)的一般結(jié)論：

圖5

結(jié)論1在平面中，AD是等腰ΔABC底邊上的高，∠BAD=θ，直線l與AD的夾角為φ，則(1)θ>φ時(shí)，直線l與AB(或AB延長(zhǎng)線)、AC均相交；(2)θ=φ時(shí)，直線l與AB不相交；(3)θ<φ時(shí)，直線l與BA的延長(zhǎng)線、AC均相交．

類似地，若將等腰三角形拓廣為圓錐、直線拓廣為平面，那么在三維空間中，結(jié)合前面的分析，可得到：

圖6

結(jié)論2在空間中，直線l與l′相交于O點(diǎn)，其夾角為φ，直線l′圍繞直線l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)、l′為母線的圓錐面，平面α(不過圓錐的頂點(diǎn))與軸l所成角記為θ(0°≤θ≤90°)，則(1)若θ=90°，平面α與圓錐的交線為圓；(2)若θ<90°，①θ>φ時(shí)，交線為橢圓；②θ=φ時(shí)，交線為拋物線；③θ<φ時(shí)，交線為雙曲線．如圖6所示．

4.幾何證明

對(duì)于結(jié)論2，上文已用坐標(biāo)法給出了證明，下面我們將從幾何定義出發(fā)來(lái)證明．

我們把兩個(gè)球嵌入圓錐的內(nèi)部，分別位于平面α的上、下方，并且與平面α及圓錐都相切(這兩個(gè)球也稱為Dandelin雙球)．這里僅證明橢圓和雙曲線的情況．

圖7

當(dāng)θ>φ時(shí)，設(shè)兩個(gè)球與平面α的切點(diǎn)分別為F1,F2，與圓錐相切于圓S1,S2．在截口的曲線上任取一點(diǎn)P，連接PF1、PF2，如圖7所示．過點(diǎn)P作母線分別交圓S1,S2于點(diǎn)Q1,Q2，于是PF1,PQ1是從P出發(fā)的兩條切線，因此PF1=PQ1，同理，PF2=PQ2．所以，PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2(定值)．因此，截口的曲線是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓．

圖8

當(dāng)θ<φ時(shí)，平面α與圓錐的上下兩個(gè)部分都相交，如圖8所示．此時(shí)，在圓錐上下部分切入Dandelin球，則|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=Q1Q2(定值)．因此，截口的曲線是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線．

5.焦點(diǎn)-準(zhǔn)線的定義證明

比利時(shí)數(shù)學(xué)家G.F.Dandelin還用這個(gè)模型證明了圓錐曲線幾何定義與焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義的等價(jià)性，下面我們介紹焦點(diǎn)-準(zhǔn)線的定義證明．

圖9

圖10

若取曲線上任意一點(diǎn)P，則∠APB=θ，∠Q1PB=φ，因此∠APB=∠Q1PB，所以PA=PQ1，又PQ1=PF，所以PA=PF．即點(diǎn)P到直線m的

距離PA與它到點(diǎn)F的距離相等，因此點(diǎn)P的軌跡是一條拋物線．

圖11

五、試題鏈接

(2008年浙江高考卷理科第10題)如圖11，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得ΔABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是().

A．圓B．橢圓

C．一條直線D．兩條平行線

圖12

分析：若ΔABP的面積為定值，由于線段AB的長(zhǎng)度固定，因此點(diǎn)P到直線AB的距離為定值，即點(diǎn)P在以AB為軸的一個(gè)圓柱面上．所以，本題的本質(zhì)在于討論用一個(gè)平面截圓柱面，截口是什么曲線．我們知道，拿一個(gè)平面去截圓柱，若平面與圓柱的軸垂直，則截口曲線為圓；若平面與軸平行，截口曲線為矩形；若平面與軸既不平行也不垂直，則截口曲線為橢圓．因此答案為B．

下面，我們也用前文提到的雙球模型來(lái)證明截口為橢圓的情況．

設(shè)平面α是與圓柱的軸既不平行也不垂直的一個(gè)平面，它與圓柱側(cè)面相交．在圓柱中放入兩個(gè)小球，使它們分別與圓柱側(cè)面、底面和平面α都相切，如圖12所示．記上下兩個(gè)小球與平面α的切點(diǎn)分別為F1、F2，與圓柱面的交線分別為圓S1、S2．在截口曲線上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作與軸平行的直線分別與圓S1、S2交于點(diǎn)Q1、Q2．則有PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2(定值)，因此點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓．

[1]金衛(wèi)國(guó)．”切香腸”與”Dandelin雙球”[J] ．高中數(shù)學(xué)教與學(xué)．2011(5).

[2]周之夫．圓錐截線特征的新證[J] ．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)．1998(1).

[3]項(xiàng)武義．圓錐截線的故事[J] ．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊．2004(4).

[4]陳麗萍．平面截圓柱生成截口曲線為橢圓的相關(guān)問題[J] ．課程教育研究．2015(3).