安徽省碭山中學　(235300)

胡云浩

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對一道自主招生試題的探究

安徽省碭山中學(235300)

胡云浩

一、試題呈現(xiàn)

(2015年中國科學技術(shù)大學自主招生試題)

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最大值；

(Ⅱ)設(shè)02e.

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值及函數(shù)兩零點的和與極值點之間的大小關(guān)系等知識，題干簡約，但內(nèi)涵豐富、內(nèi)蘊厚重，試題難度較大，很好地考查了學生分析問題、解決問題的能力.本文試圖揭示此類問題的背景，探尋解題思路，明晰解題方法，優(yōu)化解題過程，提高解題效率.

二、背景揭示

圖1

三、思路探尋

圖2

以上思路可概括為：已知函數(shù)f(x)是關(guān)于直線x=a的“類對稱”函數(shù)，若f(x1)=f(x2)，要比較x1+x2與2a的大小關(guān)系，只要比較x1與2a-x2的大小即可.∵ f(x1)=f(x2),x1≠x2,a是函數(shù)f(x)的唯一極值點，∴x1,x2必在直線x=a的兩側(cè)，即x1與2a-x2必在f(x)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，∴只要比較f(x1)與f(2a-x2)的大小即可，又f(x1)=f(x2)，故只需比較f(x2)與f(2a-x2)的大小即可.此思路簡潔、自然，易于操作，具有程序化.

四、牛刀小試

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)證明：當f(x1)=f(x2)(x1≠x2) 時，x1+x2<0.

解析：(Ⅰ)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

(Ⅱ)不妨設(shè)x1<0

∴當x>0時,F′(x)<0，∴F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，∴F(x)

例2(2011年遼寧理科第21題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明f′(x0)<0.

例3(2015年安徽省江南十校聯(lián)考第20題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a為常數(shù)).

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與x軸平行，求a的值；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個不同零點m,n，證明m·n>e2.

解析：(Ⅰ)略；