李國強，楊濤春，陸　勇，陳素文

(1. 同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室, 上?！?00092; 2. 同濟大學 土木工程學院, 上海　200092; 3. 濟南大學 土木建筑學院, 山東 濟南　250022; 4.愛丁堡大學 工程學院, 英國 愛丁堡　EH9 3JL)

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爆炸下鋼柱破壞時間及殘余承載力對鋼框架連續(xù)倒塌的影響*1

李國強1,2，楊濤春2,3?，陸勇4，陳素文1,2

(1. 同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室, 上海200092; 2. 同濟大學 土木工程學院, 上海200092; 3. 濟南大學 土木建筑學院, 山東 濟南250022; 4.愛丁堡大學 工程學院, 英國 愛丁堡EH9 3JL)

建立鋼框架連續(xù)倒塌單自由度(SDOF)分析模型，研究鋼柱破壞時間及其殘余承載力對鋼框架連續(xù)倒塌的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)鋼柱破壞時間越長、殘余承載力越大，結構位移響應越小.以SDOF模型響應的理論解為基礎，得出在鋼框架倒塌計算中是否考慮鋼柱破壞時間的界限標準：當鋼柱破壞時間與連續(xù)倒塌的SDOF模型周期比τ<0.2時，可忽略破壞時間的影響；當τ>3.0時，可采用靜力方法計算結構響應；當0.2<τ<3.0時，需考慮破壞時間對結構連續(xù)倒塌的影響.通過對鋼柱等效SDOF模型的理論分析，當其抗力模型分別為理想彈塑性和剛塑性條件時，求得柱子破壞時間的近似計算方法，并以爆炸作用后柱子變形為初始狀態(tài)，結合數(shù)值方法給出鋼柱殘余承載力計算過程.通過對鋼柱的破壞時間和殘余承載力對結構倒塌影響的算例分析，表明鋼柱的破壞時間(越長)和殘余承載力(越大)對結構抗倒塌起有利作用，在結構抗倒塌計算時不可忽略.

鋼框架; 連續(xù)倒塌; 破壞時間; 殘余承載力; 單自由度模型

在爆炸作用下，構件破壞雖然持續(xù)時間很短，但并非均可簡化為瞬間發(fā)生，同時，破壞構件或具有一定殘余承載力.事實上破壞時間及殘余承載力的存在將直接影響個別構件破壞后整體結構的響應形式.由于拆除構件法假定構件在瞬間被移除[1-3]，忽略了破壞時間和殘余承載力的影響，從而影響到構件破壞后整體結構響應計算結果的準確度[4-5].為提高評估鋼柱損傷后鋼框架抗連續(xù)性倒塌能力的準確性和可靠性，需要考慮鋼柱破壞時間和殘余承載力的影響.

鋼柱的破壞時間是爆炸作用后柱軸力快速下降的反應時間，它主要影響結構的動力效應，破壞時間越短動力效應將越大.柱殘余承載力指柱受爆炸破壞后殘余的軸向承載力，在爆炸作用后，有關柱子殘余承載力的研究相對較少，僅國外對混凝土柱有少量研究.Wu[6-7]，Bao[8]等對爆炸作用后混凝土柱的殘余承載力進行了數(shù)值研究，并試驗驗證了結果的合理性，同時，通過參數(shù)化分析擬合出了RC柱的殘余承載力計算公式.

通過建立框架結構連續(xù)倒塌的單自由度分析模型，研究柱子破壞時間和殘余承載力對結構連續(xù)倒塌的影響，給出是否考慮破壞時間的界限標準；通過對鋼柱的等效單自由度模型的理論分析， 根據(jù)其抗力模型分別為理想彈塑性和剛塑性條件，給出柱子破壞時間近似計算方法，并以爆炸作用后柱子變形為初始狀態(tài)，給出鋼柱殘余承載力計算方法.

1　鋼框架連續(xù)倒塌單自由度分析模型

1.1模型的建立

為簡化研究鋼框架結構的連續(xù)倒塌特征和計算評估過程，同時說明拆除構件法在連續(xù)倒塌評估中的不足，可將鋼框架結構的抗連續(xù)倒塌分析等效為單自由度模型，如圖1所示，N為柱子移除前的軸力.柱子破壞時軸力N將衰減，其衰減模型主要有3種，如圖2中(a)～(c)所示，在模型a中，采用拆除構件法將外力N瞬間移除；在模型b中，考慮爆炸作用下柱子的破壞過程，假定外力N在時間t0內線性遞減至0；而在模型c中，同時考慮了柱子的破壞時間t0和殘余承載力N′.

圖1　結構等效單自由度模型Fig.1　Equivalent single degree of freedom model

圖2　軸力N的衰減模型Fig.2　Degradation model of axial force N

1.2模型的理論解

在模型a中，可通過能量平衡較簡單的求得質量塊最大響應表達式，但對于模型b和c而言，則其解析表達式則相對復雜.

模型a中質量塊的最大位移為：

(1)

式中：xs為柱軸力N0為靜力作用時對應的靜位移.由式(1)可知，當突然去柱后，相當于突加荷載的SDOF結構，最大響應為其靜位移的2倍.

圖2(c)所示的柱子破壞模型，因同時考慮了柱子破壞時間和殘余承載力的影響，為最符合實際情況的鋼柱破壞模型.當鋼柱以此模型破壞時，圖1所示的SDOF體系位移響應為：

u=

(2)

式中:ω為模型的圓頻率；定義R為體系的動力放大系數(shù)，則位移響應式(2)變?yōu)椋?/p>

(3)

因此，體系的位移響應為靜位移與動力放大系數(shù)的乘積，其中，動力放大系數(shù)R與體系的頻率及荷載的持時有關，而靜位移為：

(4)

根據(jù)式(4)可知，殘余承載力N′直接影響體系的靜位移，殘余承載力N′越小，則體系的位移響應越大，與拆除構件法相比，殘余承載力的存在使體系位移減小了(N′/k)R，因此，柱子殘余承載力對結構抵抗連續(xù)倒塌起著有利作用，殘余承載力越大，結構抵抗倒塌的能力越強.

1.3模型的數(shù)值計算結果

在圖1單自由度模型中，取質量塊m為20 kg，重力加速度為10 m/s2，彈簧的線剛度為104N/m，當軸力N在圖2的衰減模型a～c條件下，質量塊的最大位移響應對比結果如表1所示.

分析表1數(shù)據(jù)可知，瞬間移除柱子(模型a)質量塊的動力效應最大，其位移xmax最大；柱軸力N的破壞過程對位移xmax的影響與其衰減時間有關，當衰減時間較短如10 ms時(體系周期約280 ms)，柱子破壞過程影響很小，可忽略不計；當柱子破壞過程較長時，其影響效果非常明顯，如模型b中當軸力N衰減時間從10 ms增至200 ms的過程中位移xmax從40 mm減小至26 mm；在模型c中，其軸力N衰減時間與模型b相同，但柱子留有一定的殘余承載力N′，大小為75 N，模型c中數(shù)據(jù)均小于模型b中的對應值，因此柱子殘余承載力的存在大大減小了結構的最大位移.

表1　不同軸力N衰減模型下的質量塊最大位移響應對比結果表Tab.1　Comparison of maximum displacement of the mass under different failure modes

1.4模型在抗連續(xù)倒塌中的應用

根據(jù)式(2)中SDOF的響應規(guī)律[9]，可求得柱子破壞時間和SDOF周期對動力放大系數(shù)的影響規(guī)律，圖3給出了動力放大系數(shù)隨時間比t/t0的變化關系，圖4給出動力放大系數(shù)最大值隨破壞時間與SDOF周期比τ(τ=t0/T)的關系.

由圖3知，當t0T(如t0=1.5T)時，體系位移響應將會出現(xiàn)小的突峰，且體系以偽靜力撓度曲線為中心軸振動.由圖4可以看出，體系的最大動力系數(shù)為2，且隨著破壞時間與SDOF模型的周期比τ的增加呈遞減趁勢.當時間比分別為0.1,0.2和0.3時，相應的最大動力放大系數(shù)分別為1.98，1.94和1.86，因此，為簡化計算，當放大系數(shù)變化范圍在5%以內時，即當τ<0.2時，可忽略柱子破壞時間的影響.而當τ>3或τ接近整數(shù)時，認為荷載為慢速加載，完全忽略動力效應的影響，可采用靜力方法計算.由圖5可以看出，體系最大響應發(fā)生時間t隨著破壞時間t0的增長而增大，由鋼柱破壞時間和體系周期共同決定.因此，根據(jù)時間比t0/T的不同，結構倒塌的計算方法按圖6原則選擇.

t/t0圖3　 動力放大系數(shù)與時間比t/t0的關系曲線Fig.3　The dynamic amplification factor versus the ratio t/t0

t0/T圖4　動力放大系數(shù)最大值隨破壞時間 與周期比t0/T的關系變化曲線Fig.4　The dynamic amplification factor versus the ratio t0/T

t0/T圖5　最大響應發(fā)生時間隨破壞時間 與周期比t0/T的關系曲線Fig.5　Occurrence time of maximum displacement versus the ratio t0/T

t0/T圖6　框架連續(xù)倒塌的求解方法的選擇標準Fig.6　Acceptance of methods for progressive collapse analysis of structures

2　鋼框架柱破壞時間t0的確定

2．1分析模型

在爆炸作用階段，定義柱中橫向位移達到最大值的時間為鋼柱的破壞時間.在爆炸作用下，當將鋼框架中的受爆柱簡化為兩端固支時，鋼柱破壞時間與鋼框架柱的破壞時間幾乎相等[10]，即柱端約束對柱中橫向位移的影響很小，可忽略不計，如圖7所示[10].因此，為得到鋼框架柱的破壞時間t0，可直接求解兩端固支柱的破壞時間，從而簡化計算過程.

圖7　柱中橫向位移最大值發(fā)生時間對比Fig.7　Comparison of occurrence of the maximum lateral displacement

在爆炸作用下，影響柱子破壞時間的因素有：荷載的超壓峰值和持時大小(影響柱子響應模態(tài))、鋼柱截面極限塑性彎矩、鋼柱的周期等，且在爆炸作用下鋼柱通常具有較大的塑性變形，因此，很難給出柱子破壞時間的簡單解析結果.因此，可將兩端固支柱簡化為單自由度模型，如圖8所示，并根據(jù)SDOF模型的特性簡化求解柱子的破壞時間.

圖8　兩端固支柱的單自由度模型Fig.8　The SDOF system of the clamped-clamped column under explosion

對于圖8所示的單自由度模型，當爆炸荷載和其本身的抗力模型如圖9所示時，可根據(jù)單自由度理論求得體系達到最大位移的時間，在彈性階段和塑性階段，SDOF模型的運動方程分別如下：

mü+ku=p(t),

(5)

mü+R=p(t).

(6)

因此，計算理想彈塑性單自由度彈簧體系就是求解式(5)和式(6)的過程.

圖9　單自由度模型的相關參數(shù)Fig.9　The parameters for the SDOF model

對于圖8所示的單自由度模型，在彈性階段，當t

(7)

式中:ωn為SDOF模型的等效圓頻率.

當td>t時，體系的位移響應式為：

cosωnt(wntd-sinωntd)]．

(8)

對于圖8所示的單自由度模型，在塑性階段，體系位移響應為：

(9)

式中：t′為塑性階段開始時刻.由此看來，對于理想彈塑性的單自由度抗力模型來說，由于要處理彈塑性階段的轉換過程，其動力響應求解過程仍非常復雜，需通過數(shù)值計算求解.

2.2模型參數(shù)

若知道兩端固支柱的等效單自由度彈簧各參數(shù)值，利用現(xiàn)有的單自由度計算程序可快速計算單自由度體系達到最大值的響應時間，即柱子的破壞時間.固支柱的等效單自由度等效參數(shù)已有直接可用的研究成果，如表2所示.

表2　兩端固支柱的等效單自由度模型參數(shù)[11]Tab.2　The parameters for the SDOF model of the clamped-clamped column

2．3算例

以圖10的框架柱為例，根據(jù)文獻[10]，可求得鋼柱在框架中和等效單自由度模型下的柱中橫向位移對比結果，如圖11所示：其中，K=2.31×106kN/m，M=202 kg，P=28.8×106kN，R=7.82×106kN.由圖11知，利用等效單自由度模型可簡化求解柱中橫向位移和柱子破壞時間，且計算結果與實際框架中的柱子計算結果一致.

當柱子的材料和尺寸確定后，便可求得其等效SDOF模型，根據(jù)爆炸荷載的峰值和持時大小，就能確定柱子的破壞時間，以圖10的框架柱為例，柱等效SDOF周期T=2.0 ms，通過調整爆炸荷載的大小，求得在不同超壓峰值和持時條件下柱子的破壞時間曲線如圖12，圖13所示．由圖可知，柱子的破壞時間隨荷載持時與SDOF模型周期td/T的增大而增長，兩者總體上近似呈線性關系；相同的單自由度模型條件下，由于其抗力模型具有彈性和塑性特性，因此，柱子破壞時間還與荷載的峰值有關，峰值越大，結構的塑性變形增加，柱子破壞時間增長.

圖10　整體框架模型示意圖Fig.10　A steel frame subjected to explosion on a ground floor column

t/ms圖11　SDOF和實際框架中的柱中位移對比曲線Fig.11　Comparison of the lateral displacement of the column between whole steel frame model and simplified SDOF system

td/T圖12　最大響應發(fā)生時間隨td/T的變化關系 (P=28.8×106kN)Fig.12　Occurrence time of the maximum displacement versus td/T for P=28.8×106kN

td/T圖13　最大響應發(fā)生時間隨td/T的變化關系 (P=18.0×106kN)Fig.13　Occurrence time of the maximum displacement versus td/T for P=18.0×106kN

2．4簡化計算

雖然可通過理想彈塑性抗力模型的單自由度體系來計算柱子的最大響應時間，但其求解過程仍需要數(shù)值計算，為進一步簡化計算，可將單自由度彈簧抗力模型簡化為剛塑性模型[12]，這樣，SDOF模型的動力方程為：

mü=p(t)-R.

(10)

代入p(t)并積分得到式(11)：

(11)

(12)

根據(jù)式(12)可快速簡單地計算出柱子的破壞時間；以圖10對應的框架柱尺寸為例，由剛塑性抗力模型和理想彈塑性抗力模型求得的柱子破壞時間對比結果如圖12，圖13所示．由圖可知，為快速簡化的估算出柱子的破壞時間，可通過剛塑性模型近似求解柱子的破壞時間.

3　鋼柱殘余承載力的計算

在豎向荷載和爆炸荷載共同作用后，若鋼柱進入塑性,則會保留一定的殘余變形，由于此變形一般較大，鋼柱殘余承載力均小于其極限(穩(wěn)定)承載力，因此，殘余承載力值將處在柱子軸力變形曲線的下降段上，需通過有限元法或數(shù)值方法進行求解.

有限元程序如LS-DYNA可較為方便地求解鋼柱承受豎向靜載、爆炸荷載和殘余承載力的計算全過程，其思想簡單，但建模復雜，耗時較長，有限元法計算的過程如圖14所示，共包括3個階段.在第一階段，施加豎向荷載F可得到柱子的靜平衡狀態(tài)；在第二階段，以第一階段應力狀態(tài)為初始條件并繼續(xù)施加爆炸荷載，求得爆炸作用下的柱子變形；在第三階段，對爆炸作用后的變形柱施加豎向位移，得到柱子的殘余承載力N′；鋼柱的殘余承載力主要與其初始靜載、爆炸荷載和約束條件有關.

4　影響分析

鋼框架模型(圖10)跨度為4.5 m，層高3 m，梁柱截面均為工字形鋼，梁截面尺寸為I400 mm×200 mm×8 mm×10 mm，柱截面尺寸為I500 mm×500 mm×12 mm×15 mm，梁上豎向均布線荷載取75 kN/m.

為考察柱子破壞時間t0和殘余承載力N′對結構連續(xù)倒塌的影響，在爆炸作用下，柱子軸力快速從N0降至N′，其破壞時間為t0；柱子軸力衰減模型與圖2(c)相同.為便于對比分析破壞時間t0對結果的影響，假定殘余承載力等于N′并恒定不變；柱子破壞時間的荷載工況取值如表3所示，鋼框架結構在豎向荷載作用下，其豎向位移響應的對比結果如圖15所示.

圖14　LS-DYNA求解鋼柱殘余承載力過程Fig.14　The solution process of the residual bearing capacity of columns using LS-DYNA表3　柱子破壞時間的工況表Tab.3　Different failure time of the column ms

根據(jù)2.3節(jié)，此框架連續(xù)倒塌的單自由度模型周期T=125 ms，結合圖6可知，當柱子破壞時間t0<25 ms時，可直接不考慮破壞時間的影響，取t0=0進行簡化倒塌分析；當t0>375 ms時，可忽略動力效應影響，按靜力方法求解；當25 ms

t/ms圖15　不同破壞時間下結構豎向位移對比結果Fig.15　Vertical displacement of the column versus time for different failure times

為考察殘余承載力對框架連續(xù)倒塌的影響，柱子破壞時間均取t0=60 ms；柱子殘余承載力的取值如表4所示，在豎向荷載為75 kN/m的條件下，結構豎向位移響應的對比結果如圖16所示.

表4　柱子殘余承載力N′的工況表 Fig.4　Different residual bearing capacity of the column

由圖16可知，在相同破壞時間條件下，柱子的殘余承載力越大，結構位移響應值越小，當柱子的殘余承載力為0時(如拆除構件法)，結構的位移響應值最大.因此，柱子殘余承載力的存在對結構抗倒塌起著有利作用，在評估結構連續(xù)倒塌時需考慮殘余承載力的影響.

t/ms圖16　不同殘余承載力下結構豎向位移對比結果Fig.16　Vertical displacement of the column versus time for different residual bearing capacity

5　結　論

1)通過鋼框架連續(xù)倒塌的SDOF分析模型，簡明扼要的了解了柱子破壞時間和殘余承載力對框架連續(xù)倒塌的影響規(guī)律：柱子破壞時間越長，殘余承載力越大，對鋼框架抗連續(xù)倒塌越有利.

2)當柱破壞時間與連續(xù)倒塌模型的周期比τ<0.2時，可忽略柱子破壞時間對鋼框架連續(xù)倒塌的影響；當τ>3時，可忽略動力效應對鋼框架連續(xù)倒塌的影響；當0.2<τ<3時，需考慮柱破壞時間對鋼框架連續(xù)倒塌的有利影響.

3)可將受爆鋼框架柱等效為SDOF模型，并采用剛塑性假定，簡便求得柱子的破壞時間.可以爆炸作用后柱子變形為初始狀態(tài)，通過彈塑性數(shù)值分析求得鋼柱殘余承載力.

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Effects of Steel Column’s Failure Time and Residual Bearing Capacity on Progressive Collapse of Steel Frames Subjected to Blast

LI Guo-qiang1,2, YANG Tao-chun2,3?, LU Yong4, CHEN Su-wen1,2

(1. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji Univ,Shanghai200092, China; 2. School of Civil Engineering, Tongji Univ, Shanghai200092, China; 3. School of Civil Engineering and Architecture, Univ of Jinan, Jinan,Shandong250022, China; 4. School of Engineering, The Univ of Edinburgh, EdinburghEH9 3JL, UK)

The influence law of failure time and residual bearing capacity of the steel columns on progressive collapse of steel frames was studied by using a single degree of freedom (SDOF) model. The displacement of the steel frames decreases as the failure time and residual bearing capacity of the steel columns increase. On the basis of the theoretical solution of the SDOF model, boundary condition of the model was determined to consider the failure time effect.τwas defined as the ratio of the failure time to natural period of the SDOF model. Forτ<0.2, the failure time can be ignored. Forτ>3.0, a static method can be used to estimate the structure behavior. However, for 0.2<τ<3.0, the failure time should be considered in the progressive collapse analysis. When the resistance model is ideal elastic-plastic and rigid-plastic, the equivalent SDOF model of the steel columns can be theoretically analyzed to determine the calculation method of the failure time. Considering the deformation of the steel columns after explosion as the initial state, the calculation process for the residual bearing capacity of the steel columns is gained by combining with numerical calculations. The results show that the failure time and residual bearing capacity significantly influence on the progressive collapse of the steel frames, and those effects should be considered in the progressive collapse analysis.

steel frame; progressive collapse; failure time; residual bearing capabicity; single degree of freedom model

2015-03-10

國家自然科學基金國際合作與交流項目 (51120185001)，Projects of International Cooperation and Exchanges NSFC(51120185001)

李國強(1963-)，男，湖南株洲人，同濟大學教授，博士?通訊聯(lián)系人，E-mail:yangtaochun@126.com

1674-2974(2016)05-0001-08

TU312.3

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