陳新一

(西北民族大學(xué) 中國民族信息技術(shù)研究院,甘肅 蘭州 730030)

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一類具有時滯和避難所的捕食系統(tǒng)的動力學(xué)行為

陳新一

(西北民族大學(xué) 中國民族信息技術(shù)研究院,甘肅 蘭州 730030)

文章研究了一類具有時滯和避難所的捕食者—被捕食模型的一致持久性和全局穩(wěn)定性. 利用比較原理得到了保證此系統(tǒng)持久性的充分條件,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)的方法,得到了保證此系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件, 所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[1,2]的主要結(jié)果.

時滯; 一致持久性; 全局漸近穩(wěn)定性; 捕食系統(tǒng)

0　引言

捕食系統(tǒng)中的種群在某時刻的密度會受到之前一段時間種群間的種群密度及同種群密度的影響，同時被捕食種群總是盡力尋找庇護(hù)所來躲避捕食種群. 我們考慮如下具有時滯和避難所的捕食系統(tǒng).

其中xi(t)(i=1,2,3)表示t時刻的種群密度;τ1,τ2為非負(fù)常數(shù);p≥0,q≥0是整數(shù);系數(shù)ai(t),bi(t),ci(t),di(t),ei(t),gi(t),Di(t)(i=1,2),f(t),a3(t),t∈[0,+∞]都是連續(xù)有界嚴(yán)格正的函數(shù);hi(t)(i=1,2)是非負(fù)的有界連續(xù)函數(shù).假定系統(tǒng)(1)滿足如下初始條件:

xi(s)=φi(s),φi(s)∈C[-τ,0]≥0,φi(0)>0,(i=1,2);x3(0)>0.

(2)

這里τ=max{τ1,τ2}.

1　正解的存在性與一致持久性

利用文獻(xiàn)(1)相應(yīng)定理的類似證明即可獲得證明.同樣利用文獻(xiàn)(1)的類似方法,我們還可得到如下兩個定理.

定理2設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是系統(tǒng)(1)的滿足初始條件(2)的任意正解,若系統(tǒng)(1)滿足如下條件(H1)：

則存在正常數(shù)T*(>τi)，使得t>T*時，有xi(t)≤Mi(i=1,2,3),其中

定理3設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是系統(tǒng)(1)的滿足初始條件(2)的任意正解,若系統(tǒng)(1)滿足條件(H0)和如下條件(H2)：

則存在正常數(shù)T＇(>τi),使得當(dāng)t>T＇時有xi(t)≥mi(i=1,2,3),其中

取m=min{m1,m2,m3},M=max{M1,M2,M3},則可知緊區(qū)域Γ={(x1(t)x2(t),x3(t))|m≤xi(t)≤M(i=1,2,3)}是系統(tǒng)(1)滿足條件(2)的解的最終有界區(qū)域,從而直接可以得到下面的定理.

定理4若系統(tǒng)(1)滿足條件(H0),(H1)和(H2),則系統(tǒng)(1)是一致持久的.

2　全局漸近穩(wěn)定性

定理5若系統(tǒng)(1)滿足條件(H0),(H1)和(H2)和如下條件(H3)：

則系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的任意正解是全局漸近穩(wěn)定的.

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

由定理的條件可知，存在一個正常數(shù)η>0，使得

兩端從τ+T到t積分得

(3)

因此有

由此得

故系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的任意正解是全局漸近穩(wěn)定的.定理證畢.

系統(tǒng)(1)中p=q時,系統(tǒng)(1)即為文獻(xiàn)[1]的系統(tǒng)(1),由此可得文獻(xiàn)[1]的主要結(jié)果.p=q=0時即可得文獻(xiàn)[2]的結(jié)果.

[1] 陳新一.一類具有時滯和避難所的捕食者—兩共存食餌模型[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2015,30(3):436-442.

[2] 宋愛麗,阿吉木·優(yōu)力達(dá)西.具有時滯和避難所的捕食者—兩共存食餌模型[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,27(2):290-296.

[3] 陳蘭蓀,陳健. 非線性生物動力系統(tǒng)[M]. 北京: 科學(xué)出版社,1993.54-90.

[4] 徐瑞,陳蘭蓀.具有時滯和基于比率的三種群捕食系統(tǒng)的持久性與全局漸近穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2001,21(2):204-212.

[5] 王靜,王克.非自治一捕食者—兩互惠食餌模型的動力學(xué)行為[J].東北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2005,37(1): 1-6.

2015-12-10

陳新一(1957—)，男，江蘇武進(jìn)人，教授，主要從事微分方程方面的研究.

O175.1

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1009-2102(2016)01-0001-03