黃留波

（廣西水利電力勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，南寧 530023）

不同畸變模型在航攝相機(jī)校準(zhǔn)中的適用性研究

黃留波

（廣西水利電力勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，南寧 530023）

分析了航攝相機(jī)光學(xué)畸變?cè)砑爸饕`差源，分別利用10參數(shù)模型、一般多項(xiàng)式模型和有限元模型在航攝相機(jī)校準(zhǔn)中的適用性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)比較，結(jié)果表明10參數(shù)模型和多項(xiàng)式模型校準(zhǔn)精度優(yōu)于1 μm，優(yōu)于有限元模型。

10參數(shù)模型；多項(xiàng)式模型；有限元模型；光學(xué)畸變

0 引言

航攝相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)在設(shè)計(jì)、制作和裝配過程中，存在像差、角放大率的變化、有效光闌位置的變化、光瞳中心與主點(diǎn)不重合以及各透鏡的偏心等問題，破壞了系統(tǒng)的消畸變性和對(duì)稱性，形成了攝影物鏡的畸變。相機(jī)畸變導(dǎo)致物點(diǎn)、鏡頭中心以及像點(diǎn)不再滿足共線條件，測(cè)量必然出現(xiàn)誤差[1]。為了更好地進(jìn)行攝影測(cè)量型相機(jī)校準(zhǔn)，目前針對(duì)相機(jī)畸變模型[2]的研究越來(lái)越多。馮其強(qiáng)等人[3]針對(duì)數(shù)字工業(yè)測(cè)量相機(jī)檢校問題，提出在10參數(shù)相機(jī)畸變模型基礎(chǔ)上加入有限元模型二次檢校，通過對(duì)INCA3測(cè)量相機(jī)和Cannon EOS 5D Mark 2非測(cè)量型相機(jī)比較試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)測(cè)量型相機(jī)精度改善很大，非測(cè)量型相機(jī)效果不明顯；丁昊等人[4]提出了一種無(wú)需控制場(chǎng)，僅采用影像線特征進(jìn)行非量測(cè)相機(jī)畸變測(cè)定方法，并進(jìn)行了可行性分析論證；程效軍等人[5]通過分析數(shù)字相機(jī)的結(jié)構(gòu)和誤差來(lái)源，提出一種針對(duì)數(shù)字相機(jī)畸變差檢測(cè)的嚴(yán)密數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用序貫方法解算該模型；馮文灝等人[6]提出并論證了基于二維直線線性變換的畸變校正方法，發(fā)現(xiàn)該方法特別適用于各類固態(tài)相機(jī)（CCD，CID，PSD）的畸變模型建立。本文對(duì)目前主要的3種畸變模型即10參數(shù)模型、多項(xiàng)式模型和有限元模型進(jìn)行了系統(tǒng)研究和實(shí)驗(yàn)比較，并對(duì)航攝相機(jī)進(jìn)行了實(shí)際檢校測(cè)試，為航攝相機(jī)畸變數(shù)學(xué)模型的選擇提供了理論支持。

1 基本原理

1.1 光學(xué)畸變?cè)?/p>

畸變差根據(jù)產(chǎn)生的原因可以分為兩種：對(duì)稱畸變和非對(duì)稱畸變。其中對(duì)稱畸變由于物鏡殘余像差引起，并使得像點(diǎn)徑向產(chǎn)生偏差，主要分為枕形畸變和桶形畸變[6]，其中枕形畸變相對(duì)主點(diǎn)向外產(chǎn)生偏移，桶形向內(nèi)（如圖1所示）。

圖1 兩種徑向畸變示意圖

徑向畸變：

將其分解到像平面坐標(biāo)系的x軸和y軸上，則有：

偏心畸變：

分解到像平面坐標(biāo)系的x軸和y軸上，則有：

其中：p1,p2為偏心畸變系數(shù)，偏心畸變?cè)跀?shù)量上比徑向畸變小的多。

像平面內(nèi)的平面畸變和像平面不平引起的畸變都包含了透鏡誤差，其表達(dá)式為：

式（5）中b1，b2為像平面內(nèi)畸變系數(shù)。假設(shè)設(shè)傳感器焦距變化量為Δf，傳感器鏡頭主點(diǎn)坐標(biāo)偏移量為Δxp,Δyp表示，該變化量在像點(diǎn)上的影響為：

1.2 相機(jī)畸變模型

1.2.1 10參數(shù)模型

10參數(shù)模型涵蓋了目前已知的幾乎所有物理影響因素。該模型真實(shí)反映了在成像過程中所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，而且在算法上更加容易實(shí)現(xiàn)，精度更高，是相機(jī)畸變校正最為成熟的模型。10參數(shù)模型的每一個(gè)畸變參數(shù)都有明確物理含義，如鏡頭器件光學(xué)中心不共線引起的偏心畸變等。攝影物鏡的畸變差包括對(duì)稱徑向畸變、偏心畸變和像平面畸變。10參數(shù)數(shù)學(xué)模型公式表達(dá)如下[8]：

徑向畸變系數(shù)：k1，k2，k3；

偏心畸變系數(shù)：p1，p2；

像平面畸變系數(shù)：b1，b2。

根據(jù)附加參數(shù)光束法平差得到的系統(tǒng)畸變系數(shù)，通過間接糾正來(lái)逐個(gè)點(diǎn)去校正系統(tǒng)畸變差。

1.2.2 多項(xiàng)式模型

一般多項(xiàng)式模型采用關(guān)于像點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的二元n次多項(xiàng)式。一般多項(xiàng)式模型如下式所示[8]：

像點(diǎn)坐標(biāo)畸變：（Δx,Δy）；

像點(diǎn)坐標(biāo)：（x，y）；

像點(diǎn)畸變系數(shù)：a0，a1，b0，b1等。

一般多項(xiàng)式模型是整體模型，其中的參數(shù)并沒有明確的物理意義，而是將像點(diǎn)畸變看作整體去校正，該模型由于物理意義不明顯，因此較多的研究只涉及理論，現(xiàn)實(shí)畸變校正應(yīng)用較少[7]。

1.2.3 有限元模型

有限元方法目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用在數(shù)字地面模型、相機(jī)檢校等領(lǐng)域，該模型可以擬合一般情況下很難利用參數(shù)模型擬合的焦平面產(chǎn)生的系統(tǒng)差[9]，該模型主要分為補(bǔ)償主距變化和直接補(bǔ)償像點(diǎn)畸變兩類。其中，補(bǔ)償主距變化是把光學(xué)畸變看作各個(gè)像點(diǎn)主距值變化，從而進(jìn)行補(bǔ)償，主要針對(duì)徑向和像平面不平引起的畸變。第二類是直接補(bǔ)償各像點(diǎn)畸變，即將像平面等分為若干單元，像平面內(nèi)任意一點(diǎn)畸變都能利用該單元4個(gè)節(jié)點(diǎn)雙線性內(nèi)插，同時(shí)需要加入一些連續(xù)性約束條件保證畸變連續(xù)性。

2 畸變校正實(shí)驗(yàn)

航攝相機(jī)畸變校正的基本要求是建立的數(shù)學(xué)模型盡量逼近實(shí)際測(cè)量結(jié)果，逼近的程度可用一種偏差的平方和表示。假定通過相機(jī)校準(zhǔn)測(cè)量得到的畸變?yōu)棣?xi和Δ'yi，通過畸變模型擬合公式得到的畸變?yōu)棣i和 Δyi，令，則畸變校正精度為。數(shù)字航攝相機(jī)的畸變校正過程中，求取各畸變模型公式的參數(shù)，就是一個(gè)優(yōu)化計(jì)算的過程，優(yōu)化的目標(biāo)就是使σ最小，也就是要求數(shù)學(xué)模型與實(shí)際測(cè)量結(jié)果最接近。在數(shù)字航攝圖像的后處理時(shí)，用這些幾何標(biāo)定得到的參數(shù)，重新計(jì)算和修正每個(gè)像素的坐標(biāo)，以便獲得地面圖像的高精度幾何位置數(shù)據(jù)。

為對(duì)各模型的校正精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，利用航攝相機(jī)畸變測(cè)量?jī)x標(biāo)準(zhǔn)裝置，對(duì)標(biāo)稱焦距為88mm、152mm、300mm的航攝相機(jī)進(jìn)行分別校準(zhǔn)，解算其內(nèi)方位元素和畸變系數(shù)，利用10參數(shù)模型、多項(xiàng)式模型和有限元模型進(jìn)行畸變校正，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下。

2.1 10參數(shù)模型畸變校正實(shí)驗(yàn)

10參數(shù)模型畸變校正精度結(jié)果見表1。

實(shí)驗(yàn)表明：含k1、k2和含k1、k2、k3的10參數(shù)模型的校正精度相差較大，因此，在利用10參數(shù)模型進(jìn)行航攝相機(jī)畸變校正時(shí)，徑向畸變系數(shù)取k1、k2、k3。

2.2 多項(xiàng)式模型畸變校正實(shí)驗(yàn)

表1 10參數(shù)模型校正精度 μm

利用多項(xiàng)式模型畸變校正精度結(jié)果如表2所示：

表2 多項(xiàng)式模型畸變校正精度 μm

2.3 有限元模型畸變校正實(shí)驗(yàn)

采用補(bǔ)償主距變化的有限元方法進(jìn)行相機(jī)畸變校正，即將畸變視為由各采樣點(diǎn)處的主距值變化引起，那么 Di=Δftanαi，αi為第i個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中心的角度，Di為第i個(gè)采樣點(diǎn)的徑向畸變差。利用有限元模型進(jìn)行畸變校正，結(jié)果如表3所示：

表3 有限元模型畸變校正精度 μm

2.4 實(shí)驗(yàn)比較與分析

通過以上實(shí)驗(yàn)分析可以得出以下3個(gè)結(jié)論：

（1）10參數(shù)模型的糾正精度隨著主距的增大而提高，多項(xiàng)式模型的校正精度隨著主距的增大而降低，有限元模型的校正精度隨著主距的增大變化不明顯；

（2）對(duì)不同焦距的航攝相機(jī)，含k1、k2、k3的10參數(shù)模型的畸變校正精度均優(yōu)于含k1、k2的10參數(shù)模型，因此，在利用10參數(shù)進(jìn)行畸變校正時(shí)，徑向畸變系數(shù)應(yīng)取k1、k2、k3；

（3）對(duì)不同焦距的航攝相機(jī)，而多項(xiàng)式模型和10參數(shù)模型的畸變校正精度均優(yōu)于1μm，均優(yōu)于有限元模型。

3 結(jié)論

航攝相機(jī)畸變差校準(zhǔn)是一個(gè)十分重要且復(fù)雜的問題?；兡Ｐ透饔袃?yōu)勢(shì)，對(duì)于不同測(cè)量型或者非測(cè)量型相機(jī)都有不同的適用性[10]。10參數(shù)模型中各畸變參數(shù)具有明確的物理意義，因此對(duì)于可以預(yù)見的畸變差都可以很好的校正，在對(duì)3種主距的航攝相機(jī)校正中表現(xiàn)穩(wěn)定，精度較高，應(yīng)用也最為普遍。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，有限元模型校正精度穩(wěn)定在1μm，但比多項(xiàng)式模型和10參數(shù)模型要差一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此通過實(shí)驗(yàn)比較，建議航攝相機(jī)畸變模型采用10參數(shù)模型或多項(xiàng)式模型，校正精度更高。

[1] 黃 靜.照相物鏡徑向畸變模型的再商討[J].光學(xué)學(xué)報(bào)，2008（10）：1930-1933.

[2] 金仲華，崔紅霞.數(shù)字相機(jī)徑向畸變差檢測(cè)及改正[J].科技廣場(chǎng)，2008（10）：118-120.

[3] 馮其強(qiáng).數(shù)字工業(yè)攝影測(cè)量技術(shù)研究與實(shí)踐[D].鄭州：信息工程大學(xué)博士論文，2010.

[4] 丁 昊，謝文寒，張繼賢.無(wú)控制場(chǎng)的相機(jī)畸變差改正方法[J].測(cè)繪科學(xué)，2012，37（2）：33-35.

[5] 程效軍，胡敏捷.數(shù)字相機(jī)畸變差的檢測(cè)[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2002（S1）：113-117.

[6] 馮文灝，商浩亮，侯文廣.影像的數(shù)字畸變模型[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（信息科學(xué)版），2006，31（2）：99-103.

[7] 馮文灝.關(guān)于近景攝影機(jī)檢校的幾個(gè)問題[J].測(cè)繪通報(bào)，2000（10）：1-3.

[8] 黃 靜.大面陣數(shù)字航測(cè)相機(jī)的精密幾何標(biāo)定[J].光電工程，2006，133（2）：138-140.

[9] 李德仁，袁修孝.誤差處理與可靠性理論[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2002.

[10] 詹總謙，張祖勛，張劍清.基于LCD平面格網(wǎng)和有限元內(nèi)插模型的相機(jī)標(biāo)定[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（信息科學(xué)版）2007，32（5）：394-397.

（責(zé)任編輯：劉征湛）

Study of adaptability of different distortion model in aerial photographic camera calibration

HUANG Liu-bo
（Guangxi Water and Power Design Institute,Nanning 530023,China）

A brief analysis was made on the optical distortion Princciple and main error sources of aerial photographic camera.Tests were conducted to study the adaptability of 10-parameter model,polynomial model and finite element model in aerial photographic camera calibration.The results of test demonstrate that 10-parameter model and polynomial model are better than finite element model with calibration accuracy superior to 1μm.

10-parameter model;polynomial model;finite element model;optical distortion

P236

B

1003-1510（2016）04-0024-04

2016-04-12

黃留波（1986-）男（壯族），廣西馬山人，廣西水利電力勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院工程師，學(xué)士，主要從事水利水電工程測(cè)量工作。