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        以課本習(xí)題為背景的中考題

        2016-08-22 09:24:19劉頓
        初中生世界 2016年7期
        關(guān)鍵詞:仰角高樓鐵塔

        劉頓

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        思維訓(xùn)練營(yíng)/中考鏈接
        CHU ZHONG SHENG SHI JIE

        以課本習(xí)題為背景的中考題

        劉頓

        蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第121頁(yè)第14題:

        如圖1,平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距60 m,在建筑物的頂部測(cè)得鐵塔底部的俯角為30°,測(cè)得鐵塔頂部的仰角為45°,求鐵塔的高度.(精確到1 m)

        圖1

        【分析】若設(shè)過(guò)點(diǎn)A的水平線與CD交于點(diǎn)E,由建筑物AB與鐵塔CD相距60 m,鐵塔頂部的仰角為45°,可以構(gòu)造出等腰直角三角形,即塔比建筑物高60 m,從建筑物的頂部測(cè)得鐵塔底部的俯角為30°,從而利用正切求出建筑物的高度,進(jìn)而得到鐵塔高度.

        解:設(shè)過(guò)點(diǎn)A的水平線與CD交于點(diǎn)E,

        由題意,得∠AEC=∠AED=90°,

        ∠CAE=45°,∠DAE=30°,AE=BD=60(m),

        ∴CE=AE=60(m).

        在Rt△AED中,

        ∴AB=DE=AE·tan30°

        答:鐵塔CD的高度為95 m.

        【評(píng)析】這是一道典型的銳角三角函數(shù)應(yīng)用題,它的原題或模型出現(xiàn)在各個(gè)版本的教科書(shū)和資料中,不僅如此,它的原題或模型還頻頻出現(xiàn)在中考試卷中.為方便同學(xué)們的學(xué)習(xí),現(xiàn)歸納幾例,供參考.

        一、簡(jiǎn)單改變有關(guān)數(shù)據(jù)

        例1(2015·安徽)如圖2,平臺(tái)AB高為12米,在B處測(cè)得樓房CD的仰角為45°,底部點(diǎn)C的俯角為30°,求樓房CD的高度(.≈1.7)

        圖2

        【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,構(gòu)造直角三角形,先求CE,DE,再求CD及近似值.

        解:過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,

        在Rt△EBC中,

        在Rt△BDE中,

        答:樓房CD的高度約為32.4米.

        【點(diǎn)評(píng)】此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是:一是不能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題;二是特殊角三角函數(shù)值記憶錯(cuò)誤.如果能聯(lián)想到課本習(xí)題,我們將十分容易地找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn).

        二、求兩幢建筑物之間的距離

        例2(2015·昆明)如圖3,兩幢建筑物AB和CD,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=15 m,CD= 20 m,AB和CD之間有一景觀池,小南在A點(diǎn)測(cè)得池中噴泉處E點(diǎn)的俯角為42°,在C點(diǎn)測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45°(點(diǎn)B、E、D在同一直線上),求兩幢建筑物之間的距離BD.(結(jié)果精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cos42° ≈0.74,tan42°≈0.90)

        圖3

        【分析】分別在Rt△ABE和Rt△DEC中,利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的長(zhǎng),再相加即可.

        解:由題意,得∠AEB=42°,∠DEC=45°.

        ∵AB⊥BD,CD⊥BD,

        ∴在Rt△ABE中,∠ABE=90°.

        在Rt△DEC中,∠CDE=90°,

        ∠DEC=∠DCE=45°,CD=20,

        ∴ED=CD=20,

        答:兩幢建筑物之間的距離BD約為36.7m.

        【點(diǎn)評(píng)】由課本習(xí)題的求解策略,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問(wèn)題,理解仰角、俯角的定義,是解答此類題目的前提.另外,熟記特殊角的三角函數(shù)值,學(xué)會(huì)利用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式求解,是解答此類題目的必要條件.

        三、從其中的一幢建筑物中間觀測(cè)另一幢建筑物

        例3(2015·臨沂)小強(qiáng)從自己家的陽(yáng)臺(tái)上,看一棟樓頂?shù)难鼋菫?0°,看這棟樓底部的俯角為60°,小強(qiáng)家與這棟樓的水平距離為42 m,這棟樓有多高.

        圖4

        【分析】如圖4,在Rt△ABD和Rt△ACD中,AD、∠α和∠β已知,分別解直角三角形,求出BD、CD,它們的和就是樓高.

        解:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,

        ∴△ABD和△ACD都是直角三角形.

        在Rt△ABD中,

        ∵tanα=,∠α=30°,AD=42(m),

        在Rt△ACD中,

        即BC=BD+CD

        【點(diǎn)評(píng)】在直角三角形中,知道了一個(gè)銳角和至少一條邊,就可以利用銳角三角函數(shù)和勾股定理,將其余的角和邊求出來(lái),這就是解直角三角形的一般思路.

        四、一建筑物改換成懸在半空的氣球

        例4(2015·呼和浩特)如圖5,熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球A處看一棟高樓頂部B的仰角為30°,看這棟高樓底部C的俯角為65°,熱氣球與高樓的水平距離AD為120 m,求這棟高樓的高度.(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可)

        圖5

        【分析】根據(jù)題意,得AD⊥BC,分別在Rt△ABD、Rt△ACD中結(jié)合已知條件利用正切函數(shù)的定義求出BD、CD的長(zhǎng),然后相加即得這棟高樓的高度.

        解:依題意,在Rt△ABD中,

        在Rt△ACD中,

        ∴CD=120·tan65°.

        【點(diǎn)評(píng)】此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是在Rt△ABD、Rt△ACD中誤用正弦、余弦函數(shù)求BD、CD的長(zhǎng).

        五、兩建筑物之間加入第三種物體

        例5(2015·涼山)如圖6,在樓房AB和塔CD之間有一棵樹(shù)EF,從樓頂A處經(jīng)過(guò)樹(shù)頂E點(diǎn)恰好看到塔的底部D點(diǎn),且俯角α 為45°,從距離樓底B點(diǎn)1米的P點(diǎn)處經(jīng)過(guò)樹(shù)頂E點(diǎn)恰好看到塔頂部C點(diǎn),且仰角β為30°,已知樹(shù)高EF=6 m,求塔CD的高度.(結(jié)果保留根號(hào))

        圖6

        【分析】依題意可先在Rt△EPH中,求出PH,然后根據(jù)△EFD為等腰直角三角形求出FD,也就是HG的長(zhǎng),從而得到PG的長(zhǎng),再通過(guò)Rt△PCG,求出CG的長(zhǎng),進(jìn)而能得到DC的長(zhǎng).

        解:由題意,得∠ADB=∠α=45°,

        PB=HF=GD=1(m).

        ∵EF=6(m),∴EH=5(m).

        在Rt△EPH中,

        ∵∠β=30°,EH=5(m),

        在Rt△EFD中,∠EDF=45°,EF=6(m),

        ∴FD=FE=6(m),

        ∴HG=FD=6(m),

        【點(diǎn)評(píng)】解直角三角形問(wèn)題,有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來(lái),再根據(jù)以下方法和步驟解決:①根據(jù)題目中的已知條件,將實(shí)際問(wèn)題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題,畫(huà)出平面幾何圖形,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系;②若三角形是直角三角形,根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算,若三角形不是直角三角形,可通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)解決.

        六、將問(wèn)題變換成生活用品

        例6(2015·岳陽(yáng))如圖7是放在水平地面上的一把椅子的側(cè)面圖,椅子高為AC,椅面寬為BE,椅腳高為ED,且AC⊥BE,AC⊥CD,AC∥ED.從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)D、E的俯角分別為64°和53°.已知ED=35 cm,求椅子高AC約為多少?

        圖7

        【分析】利用已知條件判定四邊形BCDE是矩形,得BE=CD.分別在Rt△ABE和Rt△ACD中,利用正切表示出AB、BE以及AC、CD的關(guān)系,利用BE=CD建立關(guān)于AC的方程,即可求解.

        解:∵AC⊥BE,AC⊥CD,

        ∴∠ACD=∠ABE=90°.

        ∵AC∥DE,

        ∴∠CDE=180°-∠ACD=180°-90°=90°,

        ∴四邊形BCDE是矩形,

        ∴BC=DE=35(cm),BE=CD.

        在Rt△ABE中,∠AEB=53°,

        在Rt△ACD中,∠ADC=64°,

        答:椅背AC高約105 cm.

        【點(diǎn)評(píng)】利用解直角三角形來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是中考命題的熱點(diǎn)之一.解決這類問(wèn)題,關(guān)鍵是要將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素間的關(guān)系,即把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型(構(gòu)造直角三角形),然后根據(jù)直角三角形邊、角以及邊角關(guān)系求解.解題時(shí)應(yīng)注意弄清仰角、俯角、水平距離、坡度(坡比)、坡角等概念的意義,認(rèn)真分析題意,觀察圖形(或畫(huà)圖)找出要解的直角三角形,選擇合適的邊角關(guān)系式計(jì)算,并按照題中要求的精確度確定答案,注明單位.在一些問(wèn)題中,如斜三角形問(wèn)題,要根據(jù)需要添加輔助線,構(gòu)造出直角三角形,從而轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.解題時(shí)方法要靈活,選擇關(guān)系時(shí)盡量考慮用原始數(shù)據(jù),減小誤差.

        (作者單位:江蘇省射陽(yáng)縣阜余初級(jí)中學(xué))

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