張海林 蔡向陽 張卓偉（南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，江蘇南京 210031）

太陽影子定位

張海林 蔡向陽 張卓偉
（南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，江蘇南京 210031）

根據(jù)物體太陽影子的變化，可確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期。本文通過一些基本的地理公式和解析幾何的知識，利用窮舉法，最小二乘法思想建立了數(shù)學(xué)模型，將模型運(yùn)用于實(shí)際數(shù)據(jù)中得出拍攝地點(diǎn)及日期，附件1的拍攝位置為（109.5°E， 18.3°N），桿長約為2米；附件2的拍攝位置是（79.7° E， 39.5°N），日期是7月20日；拍攝地點(diǎn)的位置是（110.2°E， 29.3°N），日期是1月20日，并檢驗(yàn)結(jié)果，得出可靠性結(jié)論。

影子 窮舉 拍攝地點(diǎn) 拍攝日期

1 模型假設(shè)

（1）假設(shè)光線是完全的直線傳播，忽略大氣對陽光的折射。

（2）為了忽略坡度的影響，假設(shè)本題中的所有測量點(diǎn)都是在水平面上。

2 模型的分析、建立與求解

2.1 問題一模型的分析、建立與求解

問題一要求在綜合分析影子的形成原理和變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，利用解析幾何的知識，得出影長變化模型；并將公式應(yīng)用于實(shí)際，得出具體的影長變化曲線。

2.1.1 關(guān)于影長變化規(guī)律的分析與模型的建立

若地面水平，設(shè)太陽光線與地面的夾角 ∠ POP'為太陽高度角h，則可得影長與太陽高度角的關(guān)系：

時(shí)角公式：

太陽高度角公式：

太陽方位角公式：

赤緯角公式

將（3），（7）和（8）聯(lián)立得影長的計(jì)算模型：

2.1.2 模型的實(shí)際應(yīng)用

考慮到天安門位置與東經(jīng)120（即北京經(jīng)度）的時(shí)間差，利用時(shí)差公式：

可得天安門廣場的實(shí)際時(shí)間是8：45：30-14：45：30。以8：45：30為零點(diǎn)，每分鐘為一個(gè)計(jì)量單位在matlab中畫圖得到影長隨時(shí)間的變化圖如圖一所示。

2.2 問題二模型的分析、建立與求解

問題二可分為：（1）建立可確定直桿所處地點(diǎn)的模型；（2）模型的實(shí)際應(yīng)用。

2.2.1 建立可確定直桿所處地點(diǎn)的模型

影子的長度L為：

考慮物體位置與東經(jīng)120（即北京經(jīng)度）的時(shí)間差，重新定義了時(shí)差的計(jì)算公式：

T表示物體所處位置的地方時(shí)。

結(jié)合公式（14），（8），（12）；可得L的關(guān)系式： L = φ（H，φ，d，Lo） （15）

其中，Lo表示經(jīng)度（東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)），W表示緯度（北緯為正，南緯為負(fù)）。d表示日期（年，月，日），H表示桿的實(shí)長。

利用窮舉法，最小二乘法的思想，可得相應(yīng)的桿長和經(jīng)緯度。

窮舉的目標(biāo)函數(shù)是由公式（12）和公式（15）在同一時(shí)刻算出的影長偏差量絕對值的總和最?。簃in ∑ ΔL，約束條件：（1）Δ L是所給影長 L'和窮舉影長的差值；（2）L是關(guān)于固定直桿頂點(diǎn)在水平地面上影子坐標(biāo)的函數(shù)；（3）L'是窮舉法給出的桿長，緯度，經(jīng)度以及測量日期的函數(shù)。

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件可得數(shù)學(xué)模型：

2.2.2 模型的實(shí)際應(yīng)用

2.2.3 結(jié)果的檢驗(yàn)

將附件1中部分經(jīng)度、緯度、桿長和拍攝日期代入2.1.1中的公式（10）：可得此時(shí)刻段該地區(qū)的桿的影長軌跡圖和影長分布圖（模型計(jì)算曲線），與附件1中給出的影長的變化曲線進(jìn)行對比（已知數(shù)據(jù)曲線），對比圖如圖二所示。

由上圖可以看出兩條曲線基本重合，故可認(rèn)為我們所得出的結(jié)果較為準(zhǔn)確。

2.3 問題三的分析、模型的建立與求解

問題三要求在直桿頂點(diǎn)影子坐標(biāo)數(shù)據(jù)已知的情況下，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。并確定附件2和附件3的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期。

2.3.1 模型的建立

在本題中可以得出影長L，而經(jīng)度、緯度、日期和桿的實(shí)長都是未知量。因此，采用窮舉的方式，具體模型與2.2.1中的模型相似：

2.3.2 模型的實(shí)際應(yīng)用

（2）附件2模型結(jié)果的檢驗(yàn)。利用MATLAB，得到該時(shí)刻段該地區(qū)的桿的影長軌跡圖和影長分布圖（藍(lán)線模型計(jì)算曲線），與附件2中給出的影長的變化曲線進(jìn)行對比（已知數(shù)據(jù)曲線），對比圖如圖三所示。

由該驗(yàn)證圖，我們可以看出通過模型計(jì)算出數(shù)據(jù)的擬合曲線與已知數(shù)據(jù)的擬合曲線并沒有完全重合，但相差最大的地方僅有不到5cm，所以這樣的結(jié)果也是可以接受的。

附件3求解與附件2類似，這里不在贅述。

［1］吉林省建筑設(shè)計(jì)院.建筑日照設(shè)計(jì)［M］.北京:中國建筑工業(yè)出版社，1979.

［2］鄭鵬飛，林大鈞，劉小羊，吳志庭.基于影子軌跡線反求采光效果的技術(shù)研究［J］.華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010（03）:458-463.

［3］武琳.基于太陽陰影軌跡的經(jīng)緯度估計(jì)技術(shù)研究［D］.天津大學(xué)，2010.

［4］張宏藝，劉敬民.俯仰角大氣折射誤差修正方法［J］.光電技術(shù)應(yīng)用，2008（04）:25-27.