蔡金鳳

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中考題中的直角三角形

蔡金鳳

直角三角形是中考必考的重要內(nèi)容之一，在填空、選擇、解答題中都有可能出現(xiàn)，在解答題中它往往與三角函數(shù)、相似三角形等相結(jié)合.本文以直角三角形為載體，剖析中考中是如何在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)又考查分類討論思想的.

一、有關(guān)邊的分類

例1（2014·涼山）已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)______.

【分析】此題易受勾三股四弦五的影響，填一個(gè)答案5.其實(shí)應(yīng)看4充當(dāng)什么邊，因此要分：①4是斜邊，②4是直角邊，可根據(jù)勾股定理求出上述兩種情況下第三邊的長(zhǎng).

解：①當(dāng)4是斜邊時(shí)：

②當(dāng)4是直角邊時(shí)：

二、有關(guān)角的分類

例2（2015·江西）如圖1，AB=BC= 4，AO=BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)AP的長(zhǎng)為_(kāi)______.

【分析】分三種情況討論：1.以∠APB為直角有兩種情況，點(diǎn)P在線段CO上，或點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上；2.以∠ABP為直角.

解：①如圖2，∠APB=90°，

∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO=BO=2，∠AOC=60°，

∴△APO是等邊三角形，∴AP=2.

圖1

圖2

②如圖3，∠APB=90°，

∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO=BO=2，

又∠AOC=60°，∴∠BAP=30°，

圖3

圖4

③如圖4，∠ABP=90°，

∵BO=AO=2，∠BOP=∠AOC=60°，

例3（2015·聊城，有刪減）如圖5，在直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上，OA=4，AB=3.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1.25個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0＜x＜4）時(shí)，解答下列問(wèn)題：

圖5

（1）（2）略.

（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】在△OMN中，有一個(gè)角是確定的，就是∠MON，另外兩個(gè)角是變化的.∠ONM由鈍角逐漸變成銳角，它肯定在某一個(gè)時(shí)刻是90°，∠OMN由銳角逐漸變成鈍角，它也存在著某一個(gè)時(shí)刻是90°，因此此題存在著兩種情況：

①若∠OMN=90°，則MN∥AB，由平行線得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，則∠ONM=∠OAB，證出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可.

解：（1）（2）略.

（3）存在某一時(shí)刻，使△OMN是直角三角形，理由如下，分兩種情況：

①若∠OMN=90°，如圖6所示，則MN∥AB，此時(shí)OM=4-x，ON=1.25x，

∵M(jìn)N∥AB，∴△OMN∽△OAB，

圖6

圖7

②若∠ONM=90°，如圖7所示，

則∠ONM=∠OAB，此時(shí)OM=4-x，ON= 1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

同學(xué)們，解題有時(shí)之所以要分類討論，是由于某些元素的不確定性，或說(shuō)某些元素的多種可能性.例1中4可能是斜邊也可能是直角邊；例2中P點(diǎn)可能在OC上，也可能在OC延長(zhǎng)線上，從而導(dǎo)致直角也有兩種可能；例3中動(dòng)點(diǎn)M、N都有可能是直角頂點(diǎn).所以要想順利解題，首先要認(rèn)真審題，弄清圖形產(chǎn)生的過(guò)程，確定不確定元素有哪些可能性，在直角三角形這一塊，有關(guān)邊，要分清哪條是直角邊，哪條是斜邊，有關(guān)角要分清哪個(gè)角是直角.

圖8

小試身手

（1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）過(guò)線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3MP的長(zhǎng)度最大？最大值是多少？

【提示】（1）首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo).

（2）過(guò)點(diǎn)B作BG∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AG∥y軸，交點(diǎn)為G，然后分三種情況：

①若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2；

②若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2；

③若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2.

（3）略.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）.

A.2個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【提示】分∠PAB=90°，∠APB=90°，∠PBA=90°三種情況求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)：

①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，由反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征容易得到P點(diǎn)有1個(gè)；

③當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè).

（作者單位：江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué)）