王吉興（五邑大學 信息工程學院，廣東 江門 529020）

基于字典學習與圖拉普拉斯矩陣的圖像降噪

王吉興
（五邑大學 信息工程學院，廣東 江門 529020）

為了獲得更好的圖像降噪效果，本文為圖拉普拉斯矩陣引入正則化項，結合一般稀疏表示降噪模型，提出一種新的圖像降噪模型，模型包括數(shù)據(jù)保真項、圖拉普拉斯矩陣正則化項和稀疏約束項；同時提出選取歸一化的圖拉普拉斯矩陣的特征向量作為字典學習的首字典.仿真實驗表明：本模型有較好的降噪效果，處理圖像的峰值信噪比比雙邊濾波（BF）和非局部均值（NLM）高，且圖像呈現(xiàn)出更清晰的外觀和細節(jié).

圖像降噪；圖拉普拉斯矩陣；字典學習；稀疏表示

圖像降噪[1]是基本的圖像恢復問題，噪聲圖像的形成可以表示為：

式中， y ∈?n是觀測信號， x ∈?n是原始信號， n ∈ ?n是加性噪聲.目前，已有大量的圖像降噪算法，如雙邊濾波（Bilateral Filter，BF）[2]、非局部均值（Non-Local Means，NLM）[3]、稀疏表示等.

稀疏表示可以分為字典的生成和信號的稀疏分解.對于字典的生成，早期的學者提出了如小波字典[4]、曲波字典[5]、超完備DCT字典（Discrete Cosine Transform，DCT）等固定字典，雖然它們構造簡單易實現(xiàn)，但也存在信號表達形式單一且不具備自適應性的劣勢.為了提高字典的自適應能力，文獻[6]提出了適用于不同圖像數(shù)據(jù)的學習字典方法，文獻[7]提出將圖的拉普拉斯矩陣的特征向量作為稀疏表示的首字典，并在深度圖恢復上取得了不錯的效果.

圖像降噪是一個欠定問題，故定義合適的圖像先驗至關重要.圖的拉普拉斯矩陣先驗子引起了研究人員的廣泛關注，它假定給定的圖像塊在圖信號域是平滑的.于是，文獻[8]將圖拉普拉斯矩陣作為平滑算子，提出了圖正則化的稀疏編碼，并在圖像分類和聚類方面驗證了算法的有效性；文獻[9]用非局部自相似像素塊的梯度估計導出了基于圖濾波的邊緣權重，并定義了圖的拉普拉斯矩陣.本文為圖拉普拉斯矩陣引入正則化項，結合一般稀疏表示降噪模型，提出了一種新的圖像降噪模型；同時，為了提高字典的自適應能力，在字典學習時選取歸一化的圖的拉普拉斯矩陣的特征向量作為首字典，并用仿真實驗驗證模型的有效性.

1 稀疏表示和圖拉普拉斯矩陣

1.1 稀疏表示

信號的稀疏表示如下：

式中，觀測信號 Y =[y1, y2,…,ym]分解為字典 D = [d1, d2,…,dp]與稀疏系數(shù) U = [u1, u2,…,up]T的乘積（系數(shù)U每列的大部分元素為0）.

稀疏表示包括兩個迭代過程：稀疏編碼和字典學習.首先給定字典D，求解觀測信號Y在D上的稀疏表示系數(shù)U；然后固定稀疏系數(shù)U，更新字典D.稀疏編碼的目標是尋找到系數(shù)矩陣U，字典學習的任務是找到重構信號的字典.

一般稀疏表示降噪模型可以表示為：

式中，給定p個原子組成的字典 D ∈?n×p，信號 Y ∈?n×m可以表示成這些原子的線性組合；矩陣U∈?p× m是信號Y的稀疏系數(shù)矩陣，其中， u ∈?p是U的列向量；參數(shù)λ權衡數(shù)據(jù)保真項和稀疏約束項.

1.2 圖的拉普拉斯矩陣

給定n個頂點的圖，那么圖的拉普拉斯矩陣 L ∈?n×n定義為：

式中， P ∈?n×n和 A ∈?n×n分別是度矩陣和鄰接矩陣.

圖1 5個頂點的圖

圖1為含5個頂點的圖，其拉普拉斯矩陣的構造如下：

其中，度矩陣P反映與當前頂點連接的點的個數(shù)；鄰接矩陣A反映當前頂點與其余點的連接情況，若相連接則值為1，否則為0.

圖的拉普拉斯矩陣從二維空間描述了點與點之間的關系.文獻[9]用非局部自相似像素塊的梯度估計導出了基于圖濾波的邊緣權重，結合圖像像素點的二維坐標從三維空間重新定義了圖的拉普拉斯矩陣，下面是計算邊緣權重時選取的特征函數(shù)

式中，上標D表示離散；1 ≤ i ≤ M，M是圖像塊中的像素個數(shù)是像素的協(xié)方差，K是類中相似圖像塊的數(shù)目，是像素點i水平和垂直兩個方向上梯度方差的平均； σ 和gα是常數(shù)，分別取為 1 06和 1 0-12；(xi， yi)是像素點i的橫縱坐標；z是類的梯度和.

2 圖正則化的圖像降噪模型和算法

2.1 圖像降噪模型

圖像降噪時定義合適的圖像先驗至關重要，文獻[9]結合圖像像素點的二維坐標從三維空間重新定義圖的拉普拉斯矩陣L，其模型如下：

本文為圖拉普拉斯矩陣引入正則化項，結合一般稀疏表示降噪模型，提出一種新的圖像降噪模型：

式中， y ∈?n是觀測信號， x ∈?n是原始信號， u ∈?p是稀疏系數(shù)， D ∈?n×p是字典，L是歸一化的圖的拉普拉斯矩陣； λ1, λ2是權衡數(shù)據(jù)保真項、圖拉普拉斯矩陣正則化項和稀疏約束項的權重參數(shù).式（8）包括數(shù)據(jù)保真項、圖拉普拉斯矩陣正則化項、稀疏約束項.數(shù)據(jù)保真項衡量觀測信號與原始信號的相似程度，圖拉普拉斯矩陣正則化項正則化原始信號，稀疏約束項約束稀疏系數(shù)以確保系數(shù)的稀疏性.

本文中，假定相似梯度像素塊在一幅圖像中是重復的（與NLM中圖像自相似假設一樣），基于圖濾波的邊緣權重可以由K塊非局部相似像素塊的梯度估計導出，那么，圖拉普拉斯矩陣正則化取決于K個梯度估計.與BF相比，本文模型也是一個局部濾波器，但K個非局部相似塊導出了更加魯棒的權重.與NLM不同的是，本文單個像素的濾波可以局部地通過相鄰像素完成，并且局部亮度特性可以保留（假定一幅圖像局部像素塊中的像素有相似亮度特性）.

2.2 圖正則化的圖像降噪算法

式（8）為本文提出的圖像降噪模型，其求解算法如下：

1）輸入含噪的灰度圖像y

2）fori=1 to iter do

3）雙邊濾波

4）塊的聚類（使用block-matching）

5）計算圖的拉普拉斯矩陣L： L = P-1/2(P- A ) P-1/2；選取歸一化圖拉普拉斯矩陣的特征向量作為字典學習的首字典 ( D0)

8）圖像更新

9）end

10）輸出D,u

3 仿真實驗

為了驗證本文算法的有效性，從最常用的圖像處理國際標準測試圖像中取像素為512×512的圖像4幅（分別為Hill、Airplane、Fingerprint和Lena），并分別添加標準差(σ)10～30的加性白高斯噪聲.表1比較了BF、NLM和本文方法的圖像降噪效果.

式中， x*（i, j）,x（ i, j）分別是重建圖像和未加噪聲圖像； J , N是灰度圖像的尺寸；PSNR的單位是dB，圖像質(zhì)量的好壞由PSNR值反映，其值越大圖像質(zhì)量越好，反之則越差.

表1 三種算法對4幅圖像降噪的效果對比

由表1可見：1）同等條件下，本文算法可以取得最大的峰值信噪比，即本文算法降噪效果最好，BF降噪效果最差；2）加入噪聲標準差從10增加到30，3種方法處理4個圖像的降噪效果都變差了，其中BF的降噪效果隨加入噪聲的增大降低最多.

圖2給出了4幅圖像在噪聲標準差為30時的降噪效果.由圖2可以看出：本文提出的模型降噪效果最好，降噪后的圖像更清晰，其整體輪廓恢復得更加分明；NLM可以恢復出比較清晰的圖像，但邊緣不夠突出；BF不能完全去除噪聲，降噪后的圖像存在明顯的噪聲，如Hill的房子區(qū)域、Airplane的機體區(qū)域和Lena的臉部區(qū)域.

圖2 三種算法的圖像降噪效果圖

4 結論

本文為圖拉普拉斯矩陣引入正則化項，結合一般稀疏表示降噪模型，提出一種新的圖像降噪模型.仿真實驗表明：本模型有較好的降噪效果，處理圖像的峰值信噪比比BF和NLM高，且圖像呈現(xiàn)出更清晰的外觀和細節(jié).灰度圖像是本文研究的對象，而生活中普遍存在的是RGB圖像，故將模型應用于彩色圖像降噪具有很重要的現(xiàn)實意義.彩色圖像與灰度圖像最大的不同是有三個通道，所以處理彩色圖像最大的挑戰(zhàn)是對三通道的處理，在三通道內(nèi)直接處理，或是轉換到其他空間處理后再轉換回三通道，這些都是值得考慮的問題.

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[3]BUADES A,COLL B,MOREL J M.A non-local algorithm for image denoising[C]//2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition:Volume 2.[S.l.]:IEEE,2005:60-65.

[4]FREEMAN W T,ADELSON E H.The Design and use of steerable filters[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis&Machine Intelligence,1991,13(9):891-906.

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[責任編輯：熊玉濤]

Image Denoising Based on Dictionary Learning and the Graph Laplacian Matrix

WANG Ji-xing
(School of Information Engineering,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

In order to achieve better image denoising,a new model is proposed by introducing the graph Laplacian matrix into the regularization term and combining it with the general sparse representation denoising model.The modelconsists of the data fidelity term,the graph Laplacian matrix regularization termand the sparse constraint term.Also,this paper proposes choosing the eigenvectors of the normalized graph Laplacian matrix as the initial dictionary.The experimental results show that the proposed model achieves good denoising performance,it gains higher PSNR than BF and NLM,and exhibiting clearer appearance and details.

image denoising;the graph Laplacian matrix;dictionary learning;sparse representation

TN911

A

1006-7302（2016）03-0061-06

2016-03-09

王吉興（1990—），男，湖北武漢人，在讀碩士生，主要從事圖像降噪、圖像分類算法的研究.