◇ 湖北 吳 莎

高考數(shù)列求和中對錯(cuò)位相減法新的探索

◇ 湖北 吳 莎

數(shù)列是以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定義域的函數(shù),是一列有序的數(shù).數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng)),排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)……排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),通常用an表示.

數(shù)列求和是指對按照一定規(guī)律排列的數(shù)進(jìn)行求和,即求Sn.實(shí)質(zhì)上是求{Sn}的通項(xiàng)公式,應(yīng)注意對其含義的理解.常見的求和方法有公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、通項(xiàng)化歸、并項(xiàng)求和等.數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,除了等差和等比數(shù)列有求和公式外,大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要有一定的技巧.

錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和中的一種重要方法,主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列求和,是等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程的推廣.

下面我們從一個(gè)高考題出發(fā)得到我們的結(jié)論.

例1 (2012年天津卷)已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1＝b1＝2,a4＋b4＝27,S4－b4＝10.

(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式.

(2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn,其中n∈N?,證明:Tn＝an－1bn＋1＋8,n≥2.

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由a1＝b1＝2,得a4＝2＋3d,b4＝2q3,S4＝8＋6d.

(2)證明:由(1)得

由式①－②得

而當(dāng)n≥2時(shí),an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1,所以

通過上面的高考題發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的結(jié)論:錯(cuò)位相減法求和的結(jié)論可以寫成:Tn＝an－1bn＋1＋C(其中n∈N?,n≥2,C為常數(shù)),那么這個(gè)結(jié)論是不是真的成立呢?能否給出證明呢?

經(jīng)過反復(fù)的驗(yàn)證,我們發(fā)現(xiàn)上面的結(jié)論對于q＝2是成立的.

例2 (2012年江西卷)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝kcn－k(其中c、k為常數(shù))且a2＝4,a6＝8a3.

(1)求an;

(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.

(1)由Sn＝kcn－k得

由a2＝4,a6＝8a3,可得

所以a1＝S1＝2,an＝kcn－kcn－1＝2n(n≥2).

(2){an}為等比數(shù)列,q＝2滿足我們前面結(jié)論的條件,則有結(jié)論Tn＝an－1bn＋1＋C成立.T2＝1·a1＋2a2＝1·23＋C.所以1·2＋2·22＝1·23＋C得C＝2.所以Tn＝an－1bn＋1＋C＝(n－1)·2n＋1＋2,即有這樣的結(jié)論:{an}是首項(xiàng)為a1、公差為d的等差數(shù)列, {bn}是首項(xiàng)為b1、公比為q＝2的等比數(shù)列(其中a1、d、b1均為常數(shù)),則{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn,可以寫成Tn＝an－1bn＋1＋C(其中n∈N?,n≥2,C為常數(shù)).

上面證明了數(shù)列求和中與錯(cuò)位相減法有關(guān)的一個(gè)結(jié)論,應(yīng)用該結(jié)論解答高考題,可以迅速找到結(jié)果,大大簡化了計(jì)算量.其實(shí)我們在教學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn),數(shù)列錯(cuò)位相減求和法中存在更一般的結(jié)論:{an}是首項(xiàng)為a1、公差為d的等差數(shù)列,{bn}是首項(xiàng)為b1、公比為q的等比數(shù)列(其中a1、d、b1、q均為常數(shù))則{an· bn}的前n項(xiàng)和Tn可以寫成Tn＝(An＋B)·qn－B (其中n∈N?,A、B均為常數(shù)).這個(gè)結(jié)論我們通過大量題目的驗(yàn)證,目前來說都成立,也嘗試證明,但是難度較大,分享給讀者.如果能得到證明,那么以后數(shù)列錯(cuò)位相減法將可以用待定系數(shù)法來解決,只需要決定公式中的常數(shù)A、B即可,大大提高學(xué)生解答數(shù)列求和問題的速度和準(zhǔn)確率.

湖北省武漢市第十五中學(xué))