◇ 江蘇 顧天榮

曲線有共交點(diǎn)情境中定點(diǎn)問題的探究

◇ 江蘇 顧天榮

在圓錐曲線問題中常常設(shè)置這樣一類問題情境:直線與一種曲線有2個(gè)交點(diǎn),而這2個(gè)交點(diǎn)恰恰又在另一個(gè)動(dòng)曲線的軌跡上,問這個(gè)動(dòng)曲線是否過定點(diǎn).對(duì)于這類問題如何處理、有何策略,值得深思和探索.

1 興趣引起:一道質(zhì)量檢測(cè)引發(fā)的思考

一次質(zhì)量檢測(cè)過程中筆者發(fā)現(xiàn)在一種曲線共交點(diǎn)問題情境下定點(diǎn)問題解決的過程比較煩瑣,于是激發(fā)了筆者對(duì)這類問題求解規(guī)律的尋找.

例1 橢圓O的中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸,右頂點(diǎn)A(2,0)到右焦點(diǎn)的距離與它到左準(zhǔn)線的距離之比為不過點(diǎn)A的動(dòng)直線交橢圓O于P、Q2點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)證明P、Q2點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值;

(3)過點(diǎn)A、P、Q的動(dòng)圓C,已知?jiǎng)訄A過A、B2定點(diǎn),求點(diǎn)B坐標(biāo).

(1)橢圓方程為x2＋4y2＝4.

(2)略.

(3)解題關(guān)鍵在于能夠?qū)懗鰟?dòng)圓C的方程,在圓心和半徑不明確或不易用參數(shù)表示時(shí),常會(huì)選擇圓的一般方程,因此可設(shè)動(dòng)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,如何求解D、E、F是本題的難點(diǎn).經(jīng)過分析其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的突破口:橢圓和動(dòng)圓C同時(shí)過P、Q2點(diǎn),而P、Q在直線上,聯(lián)想到直線與曲線交點(diǎn)問題的求法(將直線與二次曲線聯(lián)立方程組,化為一元二次方程求解),因此,把橢圓和直線聯(lián)立、把動(dòng)圓和直線聯(lián)立化簡(jiǎn)后的一元二次方程對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例.

將橢圓與直線聯(lián)立得x2＋2mx＋2m2－2＝0.

將圓與直線聯(lián)立得

上述2方程同解,對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例,即

由式①得E＝3m－2D,又點(diǎn)A在圓上,所以F＝－2D－4,將此2式代入式②可得

2 追根溯源:尋找這類問題高考的原型

透過上述問題不難發(fā)現(xiàn)筆者選擇的方法關(guān)鍵在于利用了2曲線與同一條直線的共交點(diǎn),從而將交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與曲線聯(lián)立方程組同解的問題.筆者認(rèn)為這才是出題者的本來意圖.智慧是一代代傳承的,于是筆者試圖從模擬考卷和歷年的高考真題中搜尋這種問題的高考原型.筆者在2008年的江蘇高考卷中到了這樣一道真題:其參考答案的解決思路即為2曲線與同一直線共交點(diǎn)時(shí),直線與曲線聯(lián)立所得的2個(gè)方程組同解,則所得一元二次方程的對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與2個(gè)坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過這3個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.

(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

(2)求圓C的方程;

(3)圓C是否經(jīng)過定點(diǎn),請(qǐng)證明你的結(jié)論.

3 反思升華:剖析簡(jiǎn)化計(jì)算的關(guān)鍵玄機(jī)

回顧這2道問題,其基本思路與定點(diǎn)問題解決的策略是相同的,即通過對(duì)動(dòng)曲線方程特征的分析來確定定點(diǎn).與以往最大的不同在于確定動(dòng)曲線方程的方式,這恰恰是這類問題處理的最大特色和計(jì)算簡(jiǎn)化的關(guān)鍵玄機(jī).例2在確定動(dòng)圓方程中D、E、F時(shí),可將二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)以b來表示,再以點(diǎn)在圓上為橋梁建立3個(gè)方程組,求解D、E、F.當(dāng)我們實(shí)際操作后發(fā)現(xiàn),無論是計(jì)算層面還是思維層面都顯得無比復(fù)雜.首先,在計(jì)算層面,姑且不論三元方程組解題的計(jì)算量,就是帶參數(shù)的一元二次方程求解,也是相當(dāng)復(fù)雜,更不用說求解圓的方程;其次,在思維層面上,尋找3個(gè)等量關(guān)系來建立方程組,并不是每次均可用點(diǎn)在曲線上來處理,比如例1就需要3種不同的關(guān)系:點(diǎn)在圓上、圓心在PQ垂直平分線上、根與系數(shù)的關(guān)系,這樣的思維量對(duì)于處在考場(chǎng)中的學(xué)生而言實(shí)在太大.反觀利用曲線共交點(diǎn)—方程同解—對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例,我們處理的思維運(yùn)算只有一個(gè),即方程同解、對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例.若把前一種稱為復(fù)合思維,而這種方式僅僅是一種單向思維,思維運(yùn)算的程度被大大簡(jiǎn)化.

江蘇省興化市文正實(shí)驗(yàn)學(xué)校)