◇ 云南 王曉劍

把握遞推類型 速求通項(xiàng)公式

◇ 云南 王曉劍

求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式問題是數(shù)列學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn),此類問題類型多、解法靈活、技巧性強(qiáng),是考查學(xué)生邏輯推理與化歸轉(zhuǎn)化能力的良好載體,也是近年來高考?？嫉膬?nèi)容.下面介紹高中階段3種常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法,希望對讀者能有所啟發(fā)與幫助.

1 累加法

例1 已知數(shù)列{an}中,a1＝1,a2＝2,且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2,q≠0).(1)設(shè)bn＝an＋1－an(n∈N＋),證明{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(1)由已知條件an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2),得an＋1－an＝q(an－an－1),即

又b1＝a2－a1＝1,q≠0,所以{bn}是首項(xiàng)為1、公比為q的等比數(shù)列.

(2)由(1)得a2－a1＝1,a3－a2＝q,…,anan－1＝qn－2(n≥2).將以上各式相加,得

形如an＋1＝an＋f(n)型.我們也稱這種類型為等差數(shù)列推廣型.當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí),即為等差數(shù)列.當(dāng)f(n)隨n變化時(shí),則其通項(xiàng)公式采用疊加法(或累加法)求解.

2 累乘法

例2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知ban－2n＝(b－1)Sn.

(1)證明:當(dāng)b＝2時(shí),{an－n·2n－1}是等比數(shù)列;

(2)求{an}的通項(xiàng)公式.

由題意知,當(dāng)b＝2時(shí),a1＝2,又

式②－①得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1,即

1)當(dāng)b＝2時(shí),由式③知an＋1＝2an＋2n.于是

2)當(dāng)b＝2時(shí),由(1)知an－n·2n－1＝2n－1,即

當(dāng)b≠2時(shí),由式③得

綜上所述,當(dāng)b＝2時(shí),an＝(n＋1)2n－1;當(dāng)b≠2時(shí)

形如an＋1＝anf(n)型.我們也稱這種類型為等比數(shù)列推廣型.當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí),即為等比數(shù)列.當(dāng)f(n)隨n變化時(shí),則其通項(xiàng)公式采用疊乘法(或累乘法)求解.

3 待定系數(shù)法

例3 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1,an＋1＝3an＋1.求{an}的通項(xiàng)公式.

設(shè)an＋1＋x＝3(an＋x),由an＋1＝3an＋1,得x＝1/2,所以an＋1＋1/2＝3(an＋1/2).

令bn＝an＋1/2,則bn＋1＝an＋1＋1/2,故bn＋1＝3bn,所以數(shù)列{bn}是以b1＝a1＋1/2＝3/2為首項(xiàng)、以q＝3為公比的等比數(shù)列,所以bn＝b1qn－1＝所以所以

形如an＋1＝pan＋q(p、q為非零常數(shù)且p≠1.若p＝1,即為類等差數(shù)列)型,可采用待定系數(shù)法將其構(gòu)造為等差或等比數(shù)列求解.

由于遞推數(shù)列是一種比較復(fù)雜的特殊數(shù)列,求通項(xiàng)公式有時(shí)也是非常困難的問題,這有待于我們在平時(shí)的解題中不斷地探索和總結(jié),提高我們分析問題、解決問題的能力.

云南省紅河州瀘西縣瀘源普通高級中學(xué))