◇ 江蘇 毛 群

一類與奇、偶項(xiàng)討論相關(guān)的數(shù)列問題探討

◇ 江蘇 毛 群

數(shù)列作為一類特殊的函數(shù),與連續(xù)函數(shù)不同,因?yàn)槠潆x散性可能會(huì)出現(xiàn)跳變現(xiàn)象,即數(shù)列中元素的值隨著項(xiàng)數(shù)的變化忽正忽負(fù),進(jìn)而呈現(xiàn)出一種獨(dú)特的規(guī)律.有一類與數(shù)列奇、偶項(xiàng)有關(guān)的問題,特別受到各種調(diào)研考試命題人的青睞,被呈現(xiàn)在廣大學(xué)子的面前.因此有必要對這類問題進(jìn)行梳理,覓得其中的規(guī)律,以幫助學(xué)生理清這類問題的本質(zhì).

1 起源:一道練習(xí)題引發(fā)的興趣

能夠激發(fā)數(shù)學(xué)研究興趣的問題,并不一定是某次調(diào)研考試的壓軸大題,或許在不經(jīng)意間遇到的一道小題也能點(diǎn)燃我們思維的火花.本文的研究主題恰恰就是源自于一道不起眼的填空題.

例1 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2的值為________.

表面看本題的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是一個(gè)關(guān)于n的表達(dá)式,但問題是當(dāng)n取不同的值時(shí)最后一項(xiàng)呈現(xiàn)出的正、負(fù)不同.再仔細(xì)審題,可以發(fā)現(xiàn)表達(dá)式中各項(xiàng)實(shí)則為對應(yīng)自然數(shù)的平方,而其系數(shù)呈現(xiàn)出正、負(fù)交替的規(guī)律.結(jié)合這一特點(diǎn),從數(shù)列的視角本題可以看成某數(shù)列的前n項(xiàng)求和.不妨設(shè)數(shù)列為{an},則其通項(xiàng)為an＝(－1)n＋1n2,當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)an為正,當(dāng)n取偶數(shù)時(shí),an為負(fù).因此可以斷定本題應(yīng)對n的取值為奇或偶進(jìn)行討論,結(jié)論寫分段形式.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),原式為

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),則n－1為偶數(shù),原式為

反思:解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是學(xué)生在頭腦中應(yīng)當(dāng)清醒地認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)數(shù)列問題,應(yīng)當(dāng)以數(shù)列的視角來考慮它.

對于例1,其中有很多地方值得我們深思.首先,如何來捕捉題目中數(shù)列的影子;其次,如何來挖掘列數(shù)中隱藏的數(shù)字規(guī)律;最后,奇、偶討論時(shí),如何能夠簡化問題的運(yùn)算量.帶著這樣的問題,筆者研究了大量這種類型的問題,梳理了如下的理論分析.

2 發(fā)展:奇、偶項(xiàng)討論的分析

帶著上述3個(gè)問題,我們再次研究例1:1)問題情境并未明示這是一道數(shù)列題,但觀察可以發(fā)現(xiàn)這是一組極有規(guī)律的數(shù),與數(shù)列定義極為符合,因此考慮以數(shù)列手段處理;2)觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列呈現(xiàn)的規(guī)律是自然數(shù)的平方,并且正、負(fù)相間(與(－1)n有關(guān)),因此考慮分奇、偶討論;3)在奇、偶討論時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),則n－1必然為偶數(shù),因此可以先討論n為偶數(shù)的結(jié)論表達(dá)式Tn,在討論n為奇數(shù)時(shí),以Tn＝Tn－1＋an為橋梁,用n－1代替偶數(shù)項(xiàng)結(jié)論表達(dá)式中的n,可以簡化計(jì)算.

通過上述分析,可以歸納奇、偶討論類型問題的一般規(guī)律.首先,在一般情況下,問題情境通過“數(shù)列”的字眼明示.若問題情境未明示數(shù)列問題,可以通過數(shù)列的定義來判斷.數(shù)列的定義告訴我們,一列有序的數(shù)是數(shù)列,它是以正整數(shù)集為定義域的一類特殊的函數(shù)(離散型函數(shù)).當(dāng)題設(shè)中呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出以正整數(shù)n為變量的離散型函數(shù)時(shí),可以考慮以數(shù)列的方法來處理這類問題.其次,正如數(shù)列的定義所言:數(shù)列是一種特殊的函數(shù),其函數(shù)表達(dá)式(數(shù)列中被稱為通項(xiàng)公式)是表現(xiàn)整列數(shù)字規(guī)律的一個(gè)窗口,因此,確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是挖掘一列數(shù)內(nèi)在規(guī)律的重要手段.而需要進(jìn)行奇、偶討論的問題中數(shù)列的通項(xiàng)公式常常表現(xiàn)出與(－1)n相關(guān)的結(jié)構(gòu)特征.最后,在進(jìn)行奇、偶項(xiàng)討論時(shí),先以n為偶數(shù)求解結(jié)論表達(dá)式,在討論n為奇數(shù)時(shí),以n－1代替上述表達(dá)式中的n,再加上第n項(xiàng),可減少計(jì)算量.

3 后續(xù):理論指導(dǎo)下的問題解決

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)n－1anan＋1,若Tn≥tn2對任意n∈N?恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

綜上,對于與－1的n次冪有關(guān)的數(shù)列問題,求解的關(guān)鍵是分n為奇數(shù)或偶數(shù)進(jìn)行討論.

江蘇省江都中學(xué))