鄭近德,潘海洋,程軍圣

(1.安徽工業(yè)大學機械工程學院,安徽馬鞍山243032;2.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,湖南長沙410082)

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非平穩(wěn)信號分析的廣義解析模態(tài)分解方法

鄭近德1,潘海洋1,程軍圣2

(1.安徽工業(yè)大學機械工程學院,安徽馬鞍山243032;2.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,湖南長沙410082)

現有的非平穩(wěn)信號分析方法都有各自不同的缺陷,短時傅里葉變換的時頻分辨率受不確定性原理的限制,希爾伯特黃變換存在端點效應和模態(tài)混疊,易導致模糊的時頻分布;解析模態(tài)分解只適合分析頻率恒定的多分量信號;針對包含多個時變模態(tài)、特別是頻譜重疊的非平穩(wěn)信號,本文提出了一種新的信號分析方法——廣義解析模態(tài)分解(Generalized Analytical Mode Decomposition,GAMD).GAMD通過廣義傅里葉變換將時變頻率轉換為頻譜可分的,采用解析模態(tài)分解對其分解,再對得到的單分量信號進行逆廣義傅里葉變換即可得到原始信號的分量.因此,GAMD非常適合分析時變的非平穩(wěn)信號.通過仿真信號將GAMD與短時傅里葉變換和希爾伯特黃變換等方法進行了對比,結果表明GAMD方法的分解效果更精確,時頻分辨率更高.

時頻分析;廣義傅里葉變換;解析模態(tài)分解;經驗模態(tài)分解;非平穩(wěn)信號

1　引言

自然界中大部分信號是時變的、非線性(即由非線性系統(tǒng)產生)和非平穩(wěn)的,適合處理線性和平穩(wěn)信號的方法如傅里葉分析,不可避免地有一定的局限.時頻分析方法因其能夠同時提供信號時頻域局部信息而在非線性信號分析方面得到了廣泛的應用[1].常用的時頻分析方法,如短時傅里葉變換,Wigner-Ville分布,小波變換和希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform,HHT)等都有各自不同的局限,短時傅里葉變換是一種加窗口的傅里葉變換,時頻分辨率受窗口大小的影響和不確定原理的限制[2];Wigner-Ville分布存在交叉項的干擾[3];小波變換具有嚴格的數學基礎、分析精度高、具有高分辨率和多尺度分析的特征,已被相關學者應用到不同的領域[4,5],但是,小波分析需要事先確定小波基和分解層數,而且分解缺乏自適應性[6].希爾伯特-黃變換是美籍華人HUANG E院士等提出的一種自適應的非平穩(wěn)信號分析方法[7～9],包括經驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)和希爾伯特變換兩部分,EMD是一種基于數據本身、完全數據驅動的信號分解方法,不需要事先選擇基函數,能夠自適應地將一個復雜信號分解為若干個瞬時頻率具有物理意義的內稟模態(tài)函數(Intrinsic Mode Function,IMF)之和,再通過對每個IMF分量進行希爾伯特變換得到瞬時幅值和瞬時頻率,進而可得到原始信號完整的時頻分布.EMD方法自提出后在圖像處理,語音信號處理和機械故障診斷等多個領域都得到了廣泛應用[10～12].但是,EMD方法的可分辨的頻率范圍有限,特別是對于包含密集模態(tài)的多分量信號,EMD會出現模態(tài)混疊現象.

解析模態(tài)分解(Analytical Mode Decomposition,AMD)[13]是WANG和CHEN最新提出的一種時頻分析方法,能夠有效地分離頻率非常密集的非平穩(wěn)信號,并且成功識別自由振動下具有密集模態(tài)的三自由度系統(tǒng).但是,AMD只適合分析各模態(tài)頻率為常函數、且頻譜無重疊的多分量信號,而對于實際的非平穩(wěn)信號,通常包含多個模態(tài),它們的瞬時頻率是時變的,且在頻域內有交叉重疊,此時AMD無法分解出.

為了克服AMD的缺陷,本文提出一種適合分析包含時變模態(tài)的非平穩(wěn)信號的方法——廣義解析模態(tài)分解(Generalized Analytical Mode Decomposition,GAMD).GAMD首先通過廣義傅里葉變換將信號的時頻分布是傾斜、非線性或曲線的變換為線性或近似平行于時間軸,在頻譜無重疊可分的;其次,采用AMD對變換后的信號進行分解;再次,對得到的單分量信號進行逆廣義傅里葉變換得到原始信號的真實單分量信號;最后,采用希爾伯特變換計算每個單分量信號的瞬時頻率和瞬時幅值,進而得到原始信號完整的時頻分布.通過仿真信號分析,將GAMD方法與短時傅里葉變換,廣義解調和HHT等方法進行了對比,結果驗證了GAMD的有效性和優(yōu)越性.

2　解析模態(tài)分解

AMD的原理和計算方法簡述如下[13,14]:

0≤ω1(t)<ωb1(t)<ω2(t)<ωb2(t)<…<ωi(t)<ωbi(t)<ωi+1(t)<…<ωn-1(t)<ωbn-1(t)<ωn(t)

其中,ωbi(t)為邊界分割頻率.由此,原始信號x(t)的每一個單分量信號可以由式(1)～(4)解析的給出:

s1(t)=sin(ωb1t)H[x(t)cos(ωb1t)]

-cos(ωb1t)H[x(t)sin(ωb1t)]

(1)

r1(t)=x(t)-s1(t)

(2)

si(t)=sin(ωbit)H[ri-1(t)cos(ωbit)]

-cos(ωbit)H[ri-1(t)sin(ωbit)]

(3)

ri(t)=ri-1(t)-si(t),(i=2,3,…,n)

(4)

其中,H[·]表示希爾伯特變換.AMD方法實際上是一個自適應的低通濾波器,其本質是利用希爾伯特變換將某一具有特定頻率成分的信號解析的分解出.對于多個密集頻率信號疊加的復雜信號,AMD通過構造一對具有相同特定時變頻率的正交函數,并利用這對時變正交函數與原信號乘積的希爾伯特變換,把任意在頻率時間平面內低于正交函數時變頻率的信號解析的分解出來.另外,AMD方法即可以通過一次性選擇所有邊界截止頻率,從而一次性得到所有的單分量信號,也可以一次只分解出一個單分量信號,從而經過多次選擇二分類的邊界截止頻率,每次分解出相對低頻的單分量信號;由于大部分多分量信號的所包含的模態(tài)在頻譜并不是全部可分的,即有些相鄰的模態(tài)可能會出現交叉或或重疊,而導致AMD方法無法辨識和分解.基于此,本文所采用的AMD方法中,每次只分解出一個相對低頻的單分量信號和一個相對高頻的剩余信號.這里一個關鍵的問題是低頻和高頻的邊界截止頻率的選擇.文獻[13]中選擇分割頻率為頻譜中相鄰的兩個峰值的平均值.但這種方法只合適于所有模態(tài)都具有相同帶寬的信號,而對于大部分多分量信號,每個模態(tài)的帶寬未必相同,因此,僅僅依據峰值容易得到不合理的分解結果.論文對此進行了改進,提出了采用頻譜中瞬時幅值的極大值和極小值共同決定分割頻率的方法.具體步驟如下:(1)假設信號中無直流分量或趨勢項,否則,假設原始信號的頻譜在起始點即為極大值;(2)如果第一個峰值和第二個峰值之間只有一個極小值,則選此極小值為邊界截止頻率;如果第一個峰值之后無峰值,則選擇其后的極小值為邊界截止頻率;(3)如果第一個峰值和第二個峰值之間還包含有多個極大值和極小值,且極大值和極小值遠遠小于第一和第二個峰值,則令兩個峰值的平均值為邊界頻率.

3　廣義解析模態(tài)分解

解析模態(tài)分解(AMD)能夠分解頻率接近的多分量信號,但是,AMD假設各個模態(tài)的頻率是恒定的,即各個模態(tài)的頻率在頻譜無重疊.而對于包含時變線性或非線性頻率的多分量信號,所含模態(tài)的頻譜未必是可分的,此時AMD無法分解,EMD也會出現模態(tài)混疊,分解結果得到的分量失去了物理意義.為了解決上述問題,論文提出了廣義解析模態(tài)分解方法(GAMD).

3.1廣義傅里葉變換

一般地,多分量信號所包含的各個模態(tài)的瞬時頻率并非互相平行的直線或者曲線,各個模態(tài)的瞬時頻率未必有線性或非線性的關系,因此,無法只通過一次廣義解調就能將各個分量全部都變換成頻率恒定的信號.由于AMD方法的自適應低通濾波特性,每次可以只分離出低頻的單分量信號,因此,只要使得廣義傅里葉變換之后相鄰模態(tài)的頻率在頻域可分、無重疊即可[15,16].

對于信號x(t),其廣義傅里葉變換定義為[15,16]

(5)

式(5)中,s0(t)是時間t的實值函數,式(5)實際上是對x(t)e-j2πs0(t)做標準傅里葉變換,同樣可以對XG(f)進行逆傅里葉變換得到x(t),即

(6)

3.2廣義解析模態(tài)分解方法

一般地,對于任意一個多分量信號,它所包含的各個時變模態(tài)的時頻分布是未必是線性的或平行的非線性曲線,更大可能是沒有任何關系的.對于這種信號,只采用一次廣義傅里葉變換無法將所有模態(tài)都變換為線性的.因此,廣義解調時頻分析方法不能處理這類信號;由于其模態(tài)是時變的,解析模態(tài)分解方法也無法處理這類信號.針對兩種方法處理時變多分量信號的不足,本文提出了廣義解析模態(tài)分解方法(GAMD).

假設多分量信號x(t) (t∈[t0,T]),GAMD方法的具體步驟如下:

(1)令r0(t)=x(t),k=1;

(a)頻譜不可分,即:存在t1,t2∈[t0,T],s.t.fi(t1)>fi+1(t2);

(4)令k=k+1;重復步驟(3),直到k=n,得到所有的分量xk(t),k=1,2,…,n;

(5)對每一個單分量信號進行希爾伯特變換,計算各個單分量信號的瞬時幅值和瞬時頻率,得到每個分量的時頻分布,進而得到原始信號的完整時頻分布.

GAMD方法包含了三個步驟:(1)依據短時傅里葉變換估計模態(tài)個數和時變模態(tài)的相位函數;(2)對頻譜不可分的模態(tài)進行廣義傅里葉變換;(3)執(zhí)行AMD和逆廣義傅里葉變換.與短時里葉變換相比,GAMD方法明顯地提高了時頻分辨率;與原廣義解調時頻分析相比,GAMD通過迭代的方式每次只提取一個單分量信號,可以處理時頻譜可分的模態(tài)、而不僅僅是瞬時頻率是平行的直線或曲線的情況,因此,提高了廣義解調時頻分析的可分析信號的范圍;與AMD相比,由于AMD方法只能處理時頻譜可分且頻譜可分的多分量信號,而GAMD不僅能處理這些,而且還可以處理時頻譜可分但頻譜有重疊的情況,大大提高了AMD的信號分析范圍.因此,與現有方法相比,GAMD時頻分辨率更高,分解能力更強.

事實上,本文提供了一種新的時頻分析方法,即:首先,采用廣義解析模態(tài)分解方法對信號進行分解,得到若干個單分量信號;其次,采用希爾伯特變換對單分量信號進行解調,得到它們的瞬時幅值和瞬時頻率,進而得到原始信號的完整時頻分布.

4　仿真信號分析

為了說明GAMD方法的有效性,首先考慮式(7)所示的仿真信號z(t)

z(t)=z1(t)+z2(t)+z3(t),t∈[0,1].

(7)

其中,z1(t)=e-tcos(2π·30t),z2(t)=(2t+1)sin(2πt(40+20t)),z3(t)=cos(2πt(60+20t)).信號z(t)由調幅信號、調幅調頻信號和調頻信號組成,其頻譜如圖1(a)所示,由于z2(t)和z3(t)的帶寬較寬,而且二者的中心頻率非常接近,因此,二者的頻譜發(fā)生重疊,采用AMD方法無法對其進行分解.由于三者的瞬時頻率非常接近,EMD方法分解的效果也不理想.

信號z(t)理想的Hilbert譜如圖1(b)所示(為了便于對比,下文解調方法均為希爾伯特變換).在采用GAMD方法對其進行分析之前,先由短時傅里葉變換得到其時頻譜,如圖2(a)所示.由圖可以看出,短時傅里葉變換得到的時頻譜時頻分辨率較低,但從中可以看出,混合信號包含了三個單分量信號,因此,由短時傅里葉變換的時頻分布可以初步讀取如下信息:混合信號包含三個模態(tài);其中第一個低頻模態(tài)和高頻模態(tài)在頻譜是可分的,由此估計對應的相位函數,采用GAMD方法對其進行分解,得到的各個分量如圖3所示,圖中實線為GAMD分解結果,虛線為對應的理想結果.由圖中可以看出,除了Hilbert變換引起的輕微的端點效應外,GAMD方法得到的分量與對應的理想結果非常吻合,計算發(fā)現,它們與對應理想結果z1(t),z2(t)和z3(t)的相關系數分別為:0.992,0.998,0.996.GAMD分解分量的Hilbert譜如圖2(b)所示,對比圖2(b)和圖1(b)也可以看出,GAMD結果與理想結果非常接近.

為了對比,再采用原廣義解調時頻分析方法[15]和希爾伯特-黃變換兩種方法估計信號z(t)的Hilbert譜,結果分別如圖2(c)和圖2(d)所示.與理想結果相比,廣義解調時頻分析的Hilbert譜只有最高頻和最低頻的單分量信號的分解效果較好,而另一個單分量信號的估計結果與理想結果相比誤差較大.希爾伯特黃變換得到的Hilbert譜發(fā)生了嚴重的模態(tài)混疊,各個模態(tài)無法區(qū)分.綜上,此例初步表明了GAMD方法的有效性和優(yōu)越性.

上例中,仿真信號包含了頻率非常接近且為時變的單分量信號,GAMD能夠有效地將各個單分量信號分離,而且得到的時頻分布要比現有的短時傅里葉變換,廣義解調時頻分析和希爾伯特黃變換等方法得到的結果更精確.

不失一般性,再考慮式(8)所示的仿真信號y(t):

y(t)=y1(t)+y2(t)+y3(t)+y4(t)+y5(t)

(8)

其中,y1(t)=cos(2πt(30+20t+sin(2π·2t))),

y2(t)=cos(2πt(60+20t+30t2)),

y3(t)=cos(2πt(90+30t+30t2)),

y4(t)=cos(2πt(120+80t)),t∈[0,1].

10t1))),t1∈[0,0.4].

y(t)由四個調頻信號和一個高頻間歇調頻信號組成,其中,y1(t)是調頻部分有線性而和正弦,y2(t),y3(t)和y4(t)調頻的線性和多項式函數部分不互相平行,y5(t)是調頻部分為線性和正弦頻率的高頻間歇信號.y(t)的頻譜如圖4所示,由于各單分量成分的中心頻率非常接近,而且它們頻譜重疊,AMD和EMD方法都無法分解.

首先采用短時傅里葉變換得到其Hilbert譜,如圖5(a)所示.短時傅里葉變換得到的時頻譜時頻分辨率較低,但從中可以看出,混合信號包含了五個單分量信號,因此,由短時傅里葉變換的時頻分布得到每個單分量信號的近似瞬時頻率,進而估計對應的相位函數.再采用GAMD方法對其進行分解,分解結果如圖6所示,圖中實線為GAMD分解結果,虛線為對應的yi(t)(i=1,2,…,5).由圖5可以看出,除了分解得到的各個單分量信號Ci有輕微的端點效應,與yi(t)(i=1,2,…,5)吻合度較高,對應分量之間的相關系數分別為:0.999,0.999,1,1和0.996.由GAMD分解結果得到信號y(t)的Hilbert譜如圖5(b)所示,y(t)理想的Hilbert譜如圖5(c)所示,對比圖5(b)和圖5(c)可以看出,GAMD方法的結果與理想結果非常接近.同時,采用希爾伯特黃變換方法估計y(t)的Hilbert譜,結果如圖5(d)所示,由圖可以看出,由希爾伯特黃變換得到的Hilbert譜則發(fā)生了嚴重的模態(tài)混疊,各個模態(tài)無法區(qū)分.因此,上述兩個仿真信號的分析結果表明了GAMD方法的有效性和相較于現有方法的優(yōu)越性.

5　若干問題

5.1相位函數對分解結果的影響

相位函數的估計是廣義傅里葉變換的關鍵,解調后信號的頻譜可分與否則是解析模態(tài)分解的關鍵,因此,相位函數的估計是整個GAMD方法的關鍵.但是,相位函數的估計的精確性對分解結果影響不大,也就是說,GAMD并不需要十分精確地估計每一個模態(tài)的瞬時頻率的相位函數而使得每一個模態(tài)的瞬時頻率都變成恒定頻率,而只需要估計的相位函數使得相鄰的模態(tài)在頻譜可分即可,而不需要使得相鄰的兩個模態(tài)都變成恒定的頻率.廣義解調的初衷是估計每一個模態(tài)的瞬時頻率,進而估計對應的相位函數,使得解調后的模態(tài)是恒定的頻率,如果混合信號包含k個時變的模態(tài),則需要估計k個相位函數,使得每一次迭代中的模態(tài)都是恒定頻率的.事實上,我們不需要這么做,我們的目的是通過廣義解調變換,使得變換后的信號的模態(tài)在頻譜是可分的,也就是說,如果混合信號包含k個時變的模態(tài),那么我們只需要估計至多估計k-1個相位函數,而使得每一次迭代的低頻模態(tài)與高頻模態(tài)在頻譜是可分的即可.

以式(8)所示的仿真信號y(t)來說明.為了分解模態(tài)y1(t)和y2(t),我們可以依據短時傅里葉變換預估計的時頻分布中分別估計二者的近似瞬時頻率,進而估計對應的相位函數,從而使得變換后二者的瞬時頻率恒定,在頻譜有明顯的譜線,實現AMD分解.由短時傅里葉變換得到的時頻譜預估計第一個模態(tài)的瞬時頻率f1(t)=30+40t+2πcos(2π·2t),以及預估計的三個分割第一個和第二個模態(tài)的邊界頻率:f2(t)=45+60t,f3(t)=45+50t和f3(t)=50+36t,如圖7(a)所示.由此四種瞬時頻率分別估計四個不同的相位函數,再由此得到第一個模態(tài)的瞬時頻率,如圖7(b)所示,由圖可以看出,四種不同的瞬時頻率估計的相位函數所得到的第一個模態(tài)的瞬時頻率非常接近,與真實值相差較小,這說明相位函數的估計精度對GAMD分解結果影響較小.

5.2噪聲和采樣頻率對分解結果的影響

為了研究噪聲和采樣頻率對GAMD方法分解結果的影響,仍以式(8)所示的混合信號y(t)為例,向y(t)中分別加入SNR為10dB和20dB的噪聲,采樣頻率fs分別為2000Hz和8000Hz,分別采用GAMD方法對四種情況下的加噪信號進行分解,得到第一個模態(tài)的瞬時頻率如圖8所示.從中可以看出,噪聲對GAMD方法的分解結果有一定的影響,噪聲越大,對分解結果的影響也越大.但是,提高采樣頻率可以有效的提高GAMD的分解效果.

6　結論

提出了一種新的非平穩(wěn)信號處理的時頻分析方法:廣義解析模態(tài)分解(GAMD).主要得到如下結論:

(1)GAMD方法通過廣義傅里葉變換將時變的、頻譜不可分的模態(tài)變換為頻譜可分,采用AMD分解后再通過逆廣義傅里葉變換即可得到原始信號的模態(tài),因此,GAMD本質上是一種時變的解析模態(tài)分解方法.

(2)GAMD方法能夠分解包含頻率比較密集的信號,而且能夠分解高頻間歇信號,而不會引起模態(tài)混疊,通過將其與短時傅里葉變換、廣義解調時頻分析和希爾伯特黃變換方法進行對比,結果表明了GAMD的優(yōu)越之處.

(3)研究了相位函數估計、噪聲和采樣頻率等對GAMD分解結果的影響,結果表明,GAMD對相位函數的估計精度并不敏感;當混合信號中包含噪聲時,通過提高采樣頻率可以有效的提高GAMD的分解效果.

盡管如此,廣義解析模態(tài)分解也有不足,如自適應性不如EMD,依賴短時傅里葉變換等時頻分析方法對信號模態(tài)的預估計等,這些問題筆者正在進一步研究中.

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鄭近德(通信作者)男,1986年生于安徽阜陽,博士,現為安徽工業(yè)大學機械工程學院講師.研究方向為動態(tài)信號處理,時頻分析及機械設備故障診斷,已發(fā)表學術論文30余篇.

E-mail:lqdlzheng@126.com;jdzheng@ahut.edu.cn

潘海洋男,1989年生于安徽宿州,碩士,現為安徽工業(yè)大學機械工程學院助教.研究方向為模式識別與機械設備故障診斷.

E-mail:pansea@sina.cn

程軍圣男,1968年生于湖南永州,博士,現為湖南大學教授,博士生導師.主要從事機械故障診斷、動態(tài)信號分析與處理等方面的研究.

E-mail:signalp@tom.com;chengjunsheng@hnu.edu.cn

Generalized Analytical Mode Decomposition for Non-Stationary Signal Analysis

ZHENG Jin-de1,PAN Hai-yang1,CHENG Jun-sheng2

(1.SchoolofMechanicalEngineering,AnhuiUniversityofTechnology,Maanshan,Anhui243032,China;2.StateKeyLaboratoryofAdvancedDesignandManufacturingforVehicleBody,HunanUniversity,Changsha,Hunan410082,China)

The existing methods for analyzing non-stationary signal all have different defects.The time-frequency resolution of short-time Fourier transform is limited by the uncertainty principle.The boundary effect and mode mixing of Hilbert-Huang transform often result in an unclear time-frequency distribution.Analytical mode decomposition is only suitable for analyzing multi-component signal with constant frequencies.For the multi-component signal with time-varying frequencies,especially when the spectrum overlaps,a method termed generalized analytical mode decomposition (GAMD) is proposed for analyzing these signals.In GAMD,generalized Fourier transform is used to convert the time-varying frequencies to constant ones without overlapping in spectrum and then the analytical mode decomposition is adopted to handle the transformed signal.Lastly,the inverse generalized Fourier transform is used to demodulate the obtained mono-components.Hence,GAMD is very suitable for analyzing time-varying non-stationary signals.The proposed GAMD method is compared with short-time Fourier transform and Hilbert-Huang transform through analyzing simulation signals and the results indicate that GAMD possesses more accurate decomposing results and higher time-frequency resolution.

time-frequency analysis;generalized Fourier transform;analytical mode decomposition;empirical mode decomposition;non-stationary signal

2015-04-14;修回日期:2015-06-20;責任編輯:覃懷銀

國家自然科學基金(No.51375152，No.51505002)；安徽省高校自然科學基金項目(No.KJ2015A080)

TN911.7

A

0372-2112 (2016)06-1458-07