張燕　趙培標(biāo)

摘要建立了閾值分紅策略下具有流動(dòng)儲(chǔ)備金、投資利率和貸款利率的復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型. 利用全概率公式和泰勒展式， 推導(dǎo)出了該模型的GerberShiu函數(shù)和絕對(duì)破產(chǎn)時(shí)刻的累積分紅現(xiàn)值期望滿足的積分微分方程及邊界條件， 借助Volterra方程， 給出了GerberShiu函數(shù)的解析表達(dá)式.

關(guān)鍵詞保險(xiǎn)數(shù)學(xué)； GerberShiu函數(shù)； 積分—微分方程； 分紅； 流動(dòng)儲(chǔ)備金

中圖分類(lèi)號(hào)O211.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

AbstractThis paper studied the compound Poisson risk model with liquid reserves， credit interest and debit interest in the presence of a threshold dividend strategy. By the total law of probability and Taylor's expansion， we first obtained the integrodifferential equations with boundary conditions satisfying the GerberShiu function and presented the closed form expressions for the GerberShiu function. Secondly， we derived the integrodifferential equations with boundary conditions satisfying the expected discounted present value of all dividends until absolute ruin by employing Volterra equations.

Key wordsinsurance mathematics； Gerber-Shiu function； integro-differential equation； dividend； liquid reserves

1 引言

近年來(lái)， 常利率風(fēng)險(xiǎn)模型引起眾多學(xué)者的關(guān)注， 也得到了很多有意義的成果，例如Kalashnikov & Konstantinides（2000）[1]， Cai & Dcikson（2002）[2]， Gao & Liu（2010）[3]和Li & Lu（2013） [4].具有常利率的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中， 保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余U（t）滿足

dU（t）=cdt+rU（t）dt-dS（t），t≥0， （1.1）

其中c是保費(fèi)率， r是投資利率， {N（t），t≥0}是索賠計(jì)數(shù)過(guò)程， {Xi，i=1，2，…}是索賠額， 且

St=∑Nti=1Xi.

在模型（1.1）中， 當(dāng)盈余大于0時(shí)， 保險(xiǎn)公司將這些盈余全部投資到金融市場(chǎng)且能夠獲得投資利潤(rùn)， 當(dāng)盈余小于0時(shí)， 我們稱之破產(chǎn). 事實(shí)上， 即使保險(xiǎn)公司將其所有正的盈余全部進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資（或存入銀行）， 在一些銀行儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)中， 必須存入的資金超過(guò)一定的量才能獲得利息， 不一定如式（1.1）描述的只要盈余大于0就存在投資利潤(rùn). 另一方面， 保險(xiǎn)公司不一定將所有大于0的盈余進(jìn)行投資， 其可能保留一部分大于0的盈余作為流動(dòng)儲(chǔ)備金.Embrechts&Schmidli;（1994）[5]提出了一種具有流動(dòng)儲(chǔ)備金的風(fēng)險(xiǎn)模型， 假設(shè)當(dāng)保險(xiǎn)公司的盈余達(dá)到一定的水平Δ>0時(shí)， 才可以進(jìn)行投資且超過(guò)這個(gè)值Δ的盈余部分才能獲得投資利率r. 當(dāng)盈余小于Δ時(shí)，此時(shí)的盈余作為流動(dòng)儲(chǔ)備金， 且不獲得投資利率. Cai et al （2009） [6]在模型（1.1）的基礎(chǔ)上增加了閾值分紅策略和流動(dòng)儲(chǔ)備金， 進(jìn)一步假設(shè)如果盈余夠大超過(guò)一個(gè)值b（≥Δ），那么超出b的那部分盈余將作為紅利以一個(gè)常值紅利率α（0≤α≤c+r（b-Δ））分給持保者， 且超出b的那部分盈余不會(huì)賺得投資利率， 研究了GerberShiu函數(shù)和破產(chǎn)時(shí)刻的累積分紅折現(xiàn)期望等量. 其它閾值分紅策略的研究可參見(jiàn)Lin&Pavlova;（2006）[7]， Zhang et al（2010） [8]和溫玉珍&尹傳存[9].

然而， 現(xiàn)實(shí)中， 當(dāng)保險(xiǎn)公司盈余小于0或出現(xiàn)財(cái)政赤字時(shí)， 保險(xiǎn)公司可以以一定的貸款利率貸款以繼續(xù)維持其經(jīng)營(yíng)， 同時(shí)保險(xiǎn)公司需要從保費(fèi)中支取一部分資金償還貸款. 因此只要貸款利率合理， 負(fù)的盈余可能轉(zhuǎn)為正的盈余， 但是， 當(dāng)負(fù)的盈余小于一定的值時(shí)， 就不可能再轉(zhuǎn)為正的盈余， 此刻絕對(duì)破產(chǎn)發(fā)生. 絕對(duì)破產(chǎn)概率是一個(gè)重要的風(fēng)險(xiǎn)尺度， 已引起眾多學(xué)者的關(guān)注， 例如Cai（2007） [10] ， Cai et al （2009） [11] 和Yu[12] .受此啟發(fā)， 在Cai et al （2009） [6]的基礎(chǔ)上增加投資利率， 建立存在門(mén)限分紅策略時(shí)具有流動(dòng)儲(chǔ)備金、投資利率和貸款利率的復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型， 研究其Gerber—Shiu函數(shù)和到絕對(duì)破產(chǎn)時(shí)刻為止的累積分紅現(xiàn)值期望. 記D（t）為[0， t]內(nèi)的所有累積分紅， 分紅后t時(shí)刻的盈余為Ub（t）=U（t）-D（t）且 Ub（0）=u. 于是， 盈余過(guò)程Ub（t）具有如下的形式

dUb（t）=c1dt+r（b-Δ）dt-dS（t），Ub（t）≥b，c2dt+r（Ub（t）-Δ）dt-dS（t），Δ≤Ub（t）

（1.2）

其中c2>0為保費(fèi)率， Δ（≥0）是流動(dòng)儲(chǔ)備金水平， b為分紅水平， 投資利率為r. 當(dāng)盈余Ub（t）小于Δ時(shí)， 資產(chǎn)將被作為流動(dòng)儲(chǔ)備金， 且不獲得投資利潤(rùn). 當(dāng)盈余Ub（t）大于Δ時(shí)， 超過(guò)Δ的資產(chǎn)獲得投資利潤(rùn). 如果當(dāng)盈余Ub（t）達(dá)到一個(gè)更高水平b（≥Δ）時(shí)， 超過(guò)水平b的那部分盈余則作為紅利以常數(shù)率α（0≤α≤c2+r（b-Δ））連續(xù)分紅給保單持有者， 且其不再獲得投資利潤(rùn)， 此時(shí)的保費(fèi)率可以看作為c1=c2-α>0. 如果盈余Ub（t）介于Δ與b之間， 此時(shí)沒(méi)有分紅， 但超過(guò)Δ的那部分盈余獲得投資利潤(rùn).然而， 當(dāng)盈余Ub（t）小于0時(shí)， 允許保險(xiǎn)公司以貸款利率δ（δ≥r>0）向銀行貸款以維持經(jīng)營(yíng)， 同時(shí)保險(xiǎn)公司需要從保費(fèi)中支取一部分資金償還貸款， 當(dāng)盈余達(dá)到或低于-c2/δ時(shí)， 保險(xiǎn)公司的盈余不可能由負(fù)轉(zhuǎn)正，此時(shí)其已無(wú)能力償還貸款， 絕對(duì)破產(chǎn)發(fā)生.

假設(shè)N（t），t≥0為服從參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程， Xi，i=1，2，…是獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列， 分布函數(shù)為P（x），密度函數(shù)為p（x），且N（t），t≥0和Xi，i=1，2，…相互獨(dú)立.為保證保險(xiǎn)公司運(yùn)行上的安全， 假定安全負(fù)載條件為c2>λEXi且c2-α+r（b-Δ）>λEXi.

4結(jié)論

在閾值分紅策略下研究了具有流動(dòng)儲(chǔ)備金、投資利率和貸款利率的復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的GerberShiu函數(shù)和分紅問(wèn)題. 利用全概率公式和泰勒展式， 得到了GerberShiu函數(shù)和絕對(duì)破產(chǎn)時(shí)刻的累積分紅現(xiàn)值期望滿足的積分—微分方程及邊界條件， 并借助Volterra方程， 給出了GerberShiu函數(shù)的解析表達(dá)式. 進(jìn)一步，當(dāng)索賠額變量服從確定確定分布時(shí)，例如指數(shù)分布， 可以推導(dǎo)出絕對(duì)破產(chǎn)時(shí)刻的累積分紅現(xiàn)值期的精確表達(dá)式. 考慮到市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)和一些不確定因素的影響，可以研究帶擾動(dòng)項(xiàng)的風(fēng)險(xiǎn)模型的相關(guān)問(wèn)題，將紅利策略推廣為線性紅利策略，使得模型更貼近實(shí)際運(yùn)作，研究GerberShiu函數(shù)和分紅問(wèn)題，這對(duì)于決策者進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的穩(wěn)定性分析提供了重要的理論依據(jù).

參考文獻(xiàn)

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