黃玉蘭

（湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理教研室）

淺談數(shù)列的極限

黃玉蘭

（湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理教研室）

結(jié)合古代的極限思想，介紹了數(shù)列極限的概念和求數(shù)列極限的基本方法——觀察法，通過(guò)舉例并總結(jié)了常見(jiàn)數(shù)列的極限。

概念；極限思想；觀察法

極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，而作為極限中最基礎(chǔ)的內(nèi)容——數(shù)列的極限，是學(xué)習(xí)極限的入門(mén)知識(shí)。接下來(lái)介紹極限的概念以及求數(shù)列極限的基本方法——觀察法。

一、古代的極限思想

極限思想在我國(guó)已有很深的淵源，早在公元263年，劉徽（注解了《九章算術(shù)》）就提出了“割圓術(shù)”，大概思路如下圖所示：

在面積為S的圓內(nèi)作內(nèi)接三角形，三角形的面積記為S1，再作內(nèi)接正六邊形，面積記為S2，再作內(nèi)接正十二邊形，面積記為S3，如此下去，得到一個(gè)數(shù)列，從幾何直觀上不難看出，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，Sn無(wú)限地接近圓的面積S。

《莊子·天下篇》中提到：一尺之槌，日取其半，萬(wàn)世不竭。第一天取，第二天取，第三天取1，如此下去，這是一個(gè)公比為的等比數(shù)列。隨著n的逐漸增大，所取的長(zhǎng)度越小，越來(lái)越趨近于0。

由以上兩個(gè)例子我們可以看到，當(dāng)n越大，數(shù)列的項(xiàng)越來(lái)越向一個(gè)確定的常數(shù)靠近，這個(gè)常數(shù)就是我們數(shù)學(xué)上講的數(shù)列的極限。

二、數(shù)列極限的概念

根據(jù)定義注意以下三點(diǎn)：

（1）若極限存在，極限必唯一。

（2）xn→A表示xn趨近于A，并不一定能取到A。

（3）常數(shù)列的極限為該常數(shù)本身。

根據(jù)極限的定義可知，求數(shù)列的極限主要看當(dāng)n增大時(shí)，數(shù)列項(xiàng)的趨勢(shì)。

三、用觀察法求數(shù)列極限

觀察法：通過(guò)觀察數(shù)列項(xiàng)的趨勢(shì)，以此來(lái)判斷數(shù)列是否存在極限以及極限是多少。下面通過(guò)舉例來(lái)介紹這個(gè)方法結(jié)算方式：

例3.判斷數(shù)列an=（-1）n的極限是否存在？

解：列出前面幾項(xiàng)為：-1，1，-1…，-1與1交替出現(xiàn)，沒(méi)有趨近某個(gè)確定的常數(shù)，所以極限不存在。

例4.判斷數(shù)列an=（-2）n的極限是否存在？

解：列出前面幾項(xiàng)為：-2，4，-8…，正負(fù)值交替出現(xiàn)，值越來(lái)越趨近無(wú)窮大，不趨近某個(gè)確定的常數(shù)，所以極限不存在。

以上均為等比數(shù)列求極限情況，下面可以對(duì)等比數(shù)列的極限情況總結(jié)一下：

下面來(lái)看幾個(gè)冪數(shù)列的極限情況：

例5.判斷數(shù)列an=n3的極限是否存在？

解：列出前面幾項(xiàng)為：1，-8，27，…，正負(fù)值交替出現(xiàn)，值越來(lái)越趨近無(wú)窮大，不趨近某個(gè)確定的常數(shù)，所以極限不存在。

對(duì)于冪數(shù)列的極限情況可總結(jié)如下：

最后我們來(lái)看一個(gè)比較特殊的數(shù)列：

四、小結(jié)

數(shù)列極限是極限知識(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，以上對(duì)等比數(shù)列、冪數(shù)列極限公式的總結(jié)也可以推廣到求函數(shù)的極限。觀察法是求數(shù)列極限最直觀的方法，當(dāng)然任何方法都不是萬(wàn)能的，在計(jì)算中要學(xué)會(huì)方法與方法的結(jié)合。

周志燕，程黃金.高等數(shù)學(xué)［M］.東北大學(xué)出版社，2014：11-15.

·編輯溫雪蓮

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黃玉蘭，出生于1983年，湖南婁底人，碩士研究生，講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)規(guī)劃及其物流中的應(yīng)用。