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        淺談數(shù)列的極限

        2016-08-10 10:35:47黃玉蘭
        新課程(下) 2016年4期
        關(guān)鍵詞:觀察法玉蘭常數(shù)

        黃玉蘭

        (湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理教研室)

        淺談數(shù)列的極限

        黃玉蘭

        (湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理教研室)

        結(jié)合古代的極限思想,介紹了數(shù)列極限的概念和求數(shù)列極限的基本方法——觀察法,通過(guò)舉例并總結(jié)了常見(jiàn)數(shù)列的極限。

        概念;極限思想;觀察法

        極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn),而作為極限中最基礎(chǔ)的內(nèi)容——數(shù)列的極限,是學(xué)習(xí)極限的入門(mén)知識(shí)。接下來(lái)介紹極限的概念以及求數(shù)列極限的基本方法——觀察法。

        一、古代的極限思想

        極限思想在我國(guó)已有很深的淵源,早在公元263年,劉徽(注解了《九章算術(shù)》)就提出了“割圓術(shù)”,大概思路如下圖所示:

        在面積為S的圓內(nèi)作內(nèi)接三角形,三角形的面積記為S1,再作內(nèi)接正六邊形,面積記為S2,再作內(nèi)接正十二邊形,面積記為S3,如此下去,得到一個(gè)數(shù)列,從幾何直觀上不難看出,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),Sn無(wú)限地接近圓的面積S。

        《莊子·天下篇》中提到:一尺之槌,日取其半,萬(wàn)世不竭。第一天取,第二天取,第三天取1,如此下去,這是一個(gè)公比為的等比數(shù)列。隨著n的逐漸增大,所取的長(zhǎng)度越小,越來(lái)越趨近于0。

        由以上兩個(gè)例子我們可以看到,當(dāng)n越大,數(shù)列的項(xiàng)越來(lái)越向一個(gè)確定的常數(shù)靠近,這個(gè)常數(shù)就是我們數(shù)學(xué)上講的數(shù)列的極限。

        二、數(shù)列極限的概念

        根據(jù)定義注意以下三點(diǎn):

        (1)若極限存在,極限必唯一。

        (2)xn→A表示xn趨近于A,并不一定能取到A。

        (3)常數(shù)列的極限為該常數(shù)本身。

        根據(jù)極限的定義可知,求數(shù)列的極限主要看當(dāng)n增大時(shí),數(shù)列項(xiàng)的趨勢(shì)。

        三、用觀察法求數(shù)列極限

        觀察法:通過(guò)觀察數(shù)列項(xiàng)的趨勢(shì),以此來(lái)判斷數(shù)列是否存在極限以及極限是多少。下面通過(guò)舉例來(lái)介紹這個(gè)方法結(jié)算方式:

        例3.判斷數(shù)列an=(-1)n的極限是否存在?

        解:列出前面幾項(xiàng)為:-1,1,-1…,-1與1交替出現(xiàn),沒(méi)有趨近某個(gè)確定的常數(shù),所以極限不存在。

        例4.判斷數(shù)列an=(-2)n的極限是否存在?

        解:列出前面幾項(xiàng)為:-2,4,-8…,正負(fù)值交替出現(xiàn),值越來(lái)越趨近無(wú)窮大,不趨近某個(gè)確定的常數(shù),所以極限不存在。

        以上均為等比數(shù)列求極限情況,下面可以對(duì)等比數(shù)列的極限情況總結(jié)一下:

        下面來(lái)看幾個(gè)冪數(shù)列的極限情況:

        例5.判斷數(shù)列an=n3的極限是否存在?

        解:列出前面幾項(xiàng)為:1,-8,27,…,正負(fù)值交替出現(xiàn),值越來(lái)越趨近無(wú)窮大,不趨近某個(gè)確定的常數(shù),所以極限不存在。

        對(duì)于冪數(shù)列的極限情況可總結(jié)如下:

        最后我們來(lái)看一個(gè)比較特殊的數(shù)列:

        四、小結(jié)

        數(shù)列極限是極限知識(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),以上對(duì)等比數(shù)列、冪數(shù)列極限公式的總結(jié)也可以推廣到求函數(shù)的極限。觀察法是求數(shù)列極限最直觀的方法,當(dāng)然任何方法都不是萬(wàn)能的,在計(jì)算中要學(xué)會(huì)方法與方法的結(jié)合。

        周志燕,程黃金.高等數(shù)學(xué)[M].東北大學(xué)出版社,2014:11-15.

        ·編輯溫雪蓮

        0171

        A

        黃玉蘭,出生于1983年,湖南婁底人,碩士研究生,講師,研究方向:數(shù)學(xué)教育,數(shù)學(xué)規(guī)劃及其物流中的應(yīng)用。

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