劉云平　陳　城　張永宏　李先影　梅　平

1.南京信息工程大學(xué),南京,210044　　2.北京航空航天大學(xué)，北京,100191

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涵道式無人飛行器的動(dòng)力學(xué)建模與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

劉云平1,2陳城1張永宏1李先影1梅平1

1.南京信息工程大學(xué),南京,2100442.北京航空航天大學(xué)，北京,100191

摘要：涵道式無人飛行器在起飛/著陸過程中，由于近地空間復(fù)雜氣流等擾動(dòng)的作用，極易產(chǎn)生鐘擺振動(dòng)、精度降低、失控墜落等運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象。針對(duì)求解動(dòng)力學(xué)方程或Lyapunov直接法分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性存在著方程難以求解及Lyapunov函數(shù)難以構(gòu)建等問題，通過Lyapunov指數(shù)方法建立了飛行器結(jié)構(gòu)參數(shù)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性之間的量化關(guān)系，為指導(dǎo)系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及控制系統(tǒng)優(yōu)化，提高其系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性提供參考。該方法與Lyapunov直接法相比，具有可構(gòu)建性、計(jì)算過程簡(jiǎn)單等特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：涵道式無人飛行器；起飛與著陸；Lyapunov指數(shù)；動(dòng)力學(xué)模型

0引言

涵道式無人機(jī)自產(chǎn)生到現(xiàn)在，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、能耗等問題一直困擾其發(fā)展[1]。由于其活動(dòng)區(qū)域主要位于地形復(fù)雜、氣流頻繁的近地空間，故極易產(chǎn)生鐘擺振蕩、精度惡化、失控墜落等運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)問題[2-3]。而無人飛行器及攜帶設(shè)備的高成本及事故時(shí)對(duì)地面的危險(xiǎn)性，要求它整個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有較高的魯棒穩(wěn)定性和可靠性[4-5]。

運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論主要是研究系統(tǒng)在受到干擾后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與原預(yù)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間發(fā)散或收斂的運(yùn)動(dòng)特性，Lyapunov直接法分析運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵是構(gòu)建Lyapunov函數(shù)，但是Lyapunov函數(shù)沒有一般的構(gòu)造方法，而且也不唯一，這大大限制了該方法的廣泛應(yīng)用。對(duì)于含噪聲干擾涵道式無人機(jī)等，其Lyapunov函數(shù)甚至無法得到[6]。復(fù)雜非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性是多自由度、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程非常復(fù)雜，無法準(zhǔn)確給出，因此成為當(dāng)前熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

Lyapunov指數(shù)可以定量地描述系統(tǒng)受到擾動(dòng)后的初值與原初值兩條軌道隨時(shí)間推移按指數(shù)方式發(fā)散或收斂的程度。與Lyapunov直接法相比，通過Lyapunov指數(shù)方法分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性[7-8]，不僅具有可構(gòu)建性[9-10]，而且能夠量化分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，因而適合涵道式無人飛行器等含噪聲干擾的復(fù)雜非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析[11]。文獻(xiàn)[12]將Lyapunov指數(shù)很好地應(yīng)用在生物力學(xué)領(lǐng)域，文獻(xiàn)[13]通過Lyapunov指數(shù)方法研究了被動(dòng)步行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中的穩(wěn)定性。

運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的提高主要是指通過改變飛行器的結(jié)構(gòu)參數(shù)或輸入控制力矩來影響其動(dòng)力學(xué)特性，而輸入力矩的大小與其動(dòng)力學(xué)參數(shù)又是密切相關(guān)的。因此，本文通過Lyapunov指數(shù)方法建立動(dòng)力學(xué)參數(shù)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性之間的量化關(guān)系。

1動(dòng)力學(xué)建模

本文以圖1所示拓?fù)錁?gòu)型的單涵道式無人飛行器為對(duì)象，以歐拉-龐卡萊方程建立整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，選取廣義坐標(biāo)Θ=[φθψxyz]，φ、θ、ψ為3-2-1歐拉角，作為三個(gè)方向上的姿態(tài)角，x、y、z為線位移。定義偽速度Ω=[pqruvw]，p、q、r是角速度，u、v、w是線速度。

圖1　單涵道式無人飛行器

首先建立飛行器的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(1)

歐拉-龐卡萊形式的動(dòng)力學(xué)方程的關(guān)鍵是建立系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)，即

式中，M(Θ)為慣性矩陣。

考慮第k個(gè)剛體連桿，設(shè)Icm(k)表示其關(guān)于質(zhì)心在坐標(biāo)系F(k)下的慣量張量，a(k)表示從質(zhì)心到任意點(diǎn)O的位置矢量關(guān)于質(zhì)心的空間慣量,Mcm表示質(zhì)心關(guān)于空間的慣性，MO表示質(zhì)心關(guān)于任意點(diǎn)O的空間慣性，則有

歐拉-龐卡萊方程可化簡(jiǎn)為如下形式：

(2)

QΩ=(V(Θ))TQ

式中，C(Θ，Ω)為哥氏力；F(Θ)為黏性摩擦力及重力；QΩ為外力；μ(Θ)為勢(shì)能函數(shù)；Xj為歐幾里德形位矩陣。

注意QΩ為Ω坐標(biāo)系下的廣義力，為螺旋槳推力、機(jī)身受到的空氣阻力及涵道升力之和。

螺旋槳升力及力矩分別為

式中，P、CT、ρ∞、A、ωe、R分別為發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率、螺旋槳的升力系數(shù)、遠(yuǎn)端空氣密度、旋翼圓盤的面積(A=πR2)、螺旋漿的旋轉(zhuǎn)角速度、螺旋槳的槳葉長(zhǎng)度。

機(jī)身受到的空氣阻力及力矩分別為

Taero=FaeroZaero

式中，CD為飛行器上的氣動(dòng)阻力系數(shù)；Zaero為飛行器的幾何中心到飛行器的質(zhì)心距離；S為飛行器的特征面積；vi為飛行器的誘導(dǎo)速度。

涵道升力及力矩分別為

Fvane=

式中，Sr為控制舵面特征面積；Clr為控制舵面的量綱一升力系數(shù),與舵面的偏轉(zhuǎn)角有關(guān)(Clr=Cr/δ)；Cr為升力系數(shù)；δ為舵偏角；下標(biāo)1、2、3分別表示舵片1、舵片2、舵片3；lx、ly、lz分別為舵的氣動(dòng)中心距飛行器質(zhì)心的距離在x、y、z軸方向的投影；nvane為控制的舵片數(shù)。

將式(1)和式(2)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式為

(3)

其中，X=[Θ Ω]=[φθψxyzpqruvw]

式中，Ix、Iy、Iz分別為繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fx、Fy、Fz分別為在x、y、z軸上的總的力之和；L、M、N分別為在x、y、z軸上的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。

2Lyapunov指數(shù)計(jì)算

Lyapunov指數(shù)的具體分析方法如下：在Lyapunov指數(shù)小于0的方向上，相體積收縮，無人機(jī)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定且系統(tǒng)對(duì)初始條件不敏感，反之不穩(wěn)定。Lyapunov指數(shù)計(jì)算公式為

(4)

Lyapunov指數(shù)的大小由函數(shù)f(X)在Xi處的雅可比矩陣|df(X)/dX|Xi決定，將式(3)代入式(4)中就可以通過Lyapunov指數(shù)建立飛行器動(dòng)力學(xué)參數(shù)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性之間的量化關(guān)系。

由式(3)可得系統(tǒng)軌跡切向量W的演化滿足變分方程：

(5)

式中，X(t)為式(4)的解；J(X)為方程的雅可比矩陣。

圖2　Lyapunov指數(shù)計(jì)算流程

3實(shí)例分析

以涵道式無人飛行器為對(duì)象，通過Lyapunov指數(shù)分析其起飛/著陸過程的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。飛行器的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1，我們可以通過Lyapunov指數(shù)建立飛行器和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的量化關(guān)系。

表1　結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值

仿真結(jié)果如圖3～圖10所示。將圖3、圖4與圖7、圖8進(jìn)行對(duì)比可知：當(dāng)涵道螺旋槳的轉(zhuǎn)速慢慢增大，作用在豎直方向上的合力大于其重力時(shí)，飛行器進(jìn)入起飛階段，如圖3、圖4所示；當(dāng)慢慢減小螺旋槳的轉(zhuǎn)速，重力大于豎直方向上的合力時(shí)呈現(xiàn)下降著陸趨勢(shì)，如圖7、圖8所示。

將圖5、圖6與圖9、圖10進(jìn)行對(duì)比可以得出：無人機(jī)起飛階段，系統(tǒng)姿態(tài)Lyapunov指數(shù)譜收斂于0的速度比系統(tǒng)著陸階段快，涵道無人機(jī)在起飛階段的穩(wěn)定性比系統(tǒng)在著陸階段的穩(wěn)定性好。實(shí)際現(xiàn)象就是：無人機(jī)可以穩(wěn)定起飛，但著陸時(shí)很難平穩(wěn)著陸，這一現(xiàn)象恰好闡釋了許多民用飛機(jī)在降落時(shí)更容易失事的原因。我們通過Lyapunov指數(shù)建立動(dòng)力學(xué)參數(shù)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性之間的量化關(guān)系，從而為下一步通過改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)來提高無人機(jī)在著陸方面的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性提供參考。

圖3　起飛階段姿態(tài)曲線的角位移

圖4　起飛階段姿態(tài)曲線的線位移

圖5　起飛階段的角位移Lyapunov指數(shù)

4結(jié)語(yǔ)

針對(duì)涵道式無人機(jī)等含噪聲干擾、多自由度、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，本文給出了通過Lyapunov指數(shù)方法分析飛行器運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的方法。首先通過歐拉-龐卡萊方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，然后建立飛行器的運(yùn)動(dòng)參數(shù)與Lyapunov指數(shù)之間的計(jì)算關(guān)系，從而建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性之間的量化關(guān)系。最后，通過實(shí)例仿真分析了飛行器在起飛和著陸階段過程的動(dòng)力學(xué)特性，為下一步的系統(tǒng)的控制系統(tǒng)優(yōu)化提供有益的參考。

圖6　起飛階段的線位移Lyapunov指數(shù)

圖7　著陸階段姿態(tài)曲線的角位移

圖8　著陸階段姿態(tài)曲線的線位移

圖9　著陸階段的角位移Lyapunov指數(shù)

圖10　著陸階段的線位移Lyapnov指數(shù)

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(編輯袁興玲)

收稿日期：2015-08-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405243, 51575283)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20130999)

中圖分類號(hào)：TV2018

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.002

作者簡(jiǎn)介：劉云平，男，1979年生。南京信息工程大學(xué)江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心副教授、博士，北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所博士后研究人員。主要研究方向是機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。發(fā)表論文10余篇。陳城，男，1991年生。南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院碩士研究生。張永宏，男，1975年生。南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院教授、博士。李先影，女，1989年生。南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院碩士研究生。梅平，女，1981年生。南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院講師。

Dynamics Modeling and Stability Analysis of a Ducted Fan Unmanned Aerial Vehicle

Liu Yunping1,2Chen Cheng1Zhang Yonghong1Li Xianying1Mei Ping1

1.Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing,210044 2.Beihang University,Beijing,100191

Abstract:The problems of dynamic stability of the ducted fan unmanned aerial vehicles, such as cornering, shake, loss of accuracy of command tracking and loss of control, were very easy to arise during take-off and landing due to the disturbances from the complex airflow. Analyzing the dynamic stability of this system based on solving the dynamics equation or the direct method of Lyapunov was very difficult due to being difficult to solve the equations and to derivate Lyapunov function and so on. Hence, a Lyapunov exponent approach was used to establish the quantitative relationship among the structural parameters of a unmanned aerial vehicle and its dynamic stability for guiding the design of the vehicle's mechanical structure and the optimization of its stability control by using the relationship, which provided important basis for promoting the dynamic stability and reliability of this system. Compared with the direct method of Lyapunov for analyzing of the stability, the method of Lyapunov exponents is easier to build and the calculation process is simpler.

Key words:ducted fan unmanned aerial vehicle; take-off and landing; Lyapunov exponents; dynamics model