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        全變分高階模型的快速去噪算法

        2016-08-08 07:54:45山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院
        電子世界 2016年13期
        關(guān)鍵詞:圖像去噪

        山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 張 倩

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        全變分高階模型的快速去噪算法

        山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 張 倩

        【摘要】全變分模型的圖像去噪,雖然能保持圖像邊緣,但導(dǎo)致階梯效應(yīng)。為了去除階梯效應(yīng),提出了全變分的高階模型。本文將采用交替方向乘子法(ADMM),對(duì)該高階模型進(jìn)行求解,并對(duì)ADMM算法進(jìn)行改造,在具體數(shù)值求解的過程中使用快速傅里葉變換法,通過仿真實(shí)驗(yàn)證明該模型的有效性和優(yōu)越性。

        【關(guān)鍵詞】圖像去噪;全變分模型;高階模型;ADMM;快速傅里葉變換

        0 引言

        在科學(xué)研究、軍事技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、氣象及天文學(xué)等領(lǐng)域,圖像去噪技術(shù)都得到廣泛地關(guān)注,圖像去噪可以幫助人們更加準(zhǔn)確地獲得我們所需要的圖像特征,使其應(yīng)用到各個(gè)研究領(lǐng)域,幫助解決醫(yī)學(xué)、物理、航天、文學(xué)等具體問題。

        本文關(guān)注的是基于全變分高階模型的圖像去噪研究。1992年Rudin等人提出了圖像去噪的全變分(Total Variation,TV)模型[1],該模型在去除圖像中原有噪聲的同時(shí),能有效地保留圖像的邊緣信息,但它有一個(gè)顯著的缺點(diǎn)就是容易產(chǎn)生階梯效應(yīng),也就是圖像的平坦區(qū)域產(chǎn)生了虛假邊界。后來Lysaker、Lundervold和Tai(LLT)提出了高階全變分模型[2],去除了階梯效應(yīng),保持了圖像平坦區(qū)域的光滑度。最近幾年,為解決圖像去噪模型中,存在的一些非光滑不可微問題,提出了大量快速高效地?cái)?shù)值算法:原始對(duì)偶混合梯度法(PDHG)[3],增廣拉格朗日方法(Augmented Lagrandian Method,ALM)[4],交替極小化算法[5]等等。本文在研究全變分高階模型去噪問題,采用了交替方向乘子法,以及快速傅里葉變換的優(yōu)化方法求解模型,來提高圖像去噪質(zhì)量和效率。

        1 全變分圖像去噪模型

        全變分(TV)模型表示為求以下泛函的極小值:

        高階導(dǎo)數(shù)全變分模型(HOTV):

        2 本文算法與收斂性分析

        最早是在文獻(xiàn)[5]提出經(jīng)典的ADMM算法,在圖像處理等領(lǐng)域,這一算法得到了廣泛的應(yīng)用,其求解問題的基本思想是,引入幾個(gè)輔助變量替換原問題中較難處理的部分,本文結(jié)合ADMM算法,在對(duì)能量泛函求解時(shí)加入快速傅里葉變換,給出一個(gè)快速數(shù)值求解方法:首先引入兩個(gè)輔助變量(m,n)。

        把上述問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題,其增廣拉格朗日函數(shù)為:

        (4)

        根據(jù)交替迭代的思想,通過固定其他的變量,對(duì)某一個(gè)變量求最小,下面給出對(duì)每一個(gè)子問題的具體求解方法:

        由收縮公式,式(5)等價(jià)于:

        由文獻(xiàn)[6]中求解收縮閾算子方法,可得式(6)的解為:

        下面關(guān)于n進(jìn)行求導(dǎo),由于在導(dǎo)數(shù)為零處取得極小值。

        (3)求解的子問題

        (11)

        等價(jià)于:

        由Euler-Lagrange方程可得:

        下面求得u,應(yīng)用快速傅里葉變換及其性質(zhì)。

        由式(7),(10),(14)得本文算法步驟為:

        結(jié)合經(jīng)典的ADMM算法的收斂性分析[7],由于本文算法添加兩個(gè)變量,是ADMM算法在圖像去噪的一個(gè)應(yīng)用,下面給出文中ADMM算法的收斂性。

        3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

        為檢驗(yàn)本文ADMM算法在圖像去噪的有效性,本節(jié)對(duì)多幅圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。下面的圖均在Matlab R2013a的環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。本文選用常用的“Lena”圖像,實(shí)驗(yàn)參數(shù)選取。算法迭代終止條件為:是用來控制迭代終止的量,本文取

        實(shí)驗(yàn)對(duì)加入噪聲的Lena灰度圖像進(jìn)行去噪,分別給出在迭代30次和60次的計(jì)算結(jié)果。如圖1和圖2所示。

        圖1 

        圖1給出了Lena灰度圖像的原圖,含噪聲圖像,以及迭代20次的Chambolle算法和本文算法的去噪圖像。

        圖2 

        圖2給出了進(jìn)行數(shù)值求解迭代60次時(shí)采用Chambolle算法和本文算法的計(jì)算結(jié)果圖像。

        通過對(duì)比以及視覺觀察上面給出的去噪后的圖像,可以看出本文算法在進(jìn)行圖像去噪時(shí)效果更好,圖像更清晰更自然。

        由Matlab2013a進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),當(dāng)算法終止迭代時(shí),文獻(xiàn)[8]的算法在迭代30次和60次的時(shí)候,運(yùn)行時(shí)間都要比本文算法多20-30s,所以本文算法與文獻(xiàn)[8]算法相比,運(yùn)行時(shí)間大大縮短,從而提高了圖像去噪的效率。

        4 結(jié)束語

        本文給出了圖像去噪高階模型,并在求解過程中加入快速傅里葉變換,該算法不僅能夠有效地去除噪聲,也加快了運(yùn)算,大大提高了運(yùn)算時(shí)間。通過Lena灰度圖進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:對(duì)高階TV模型,加入快速傅里葉變換,進(jìn)行算法求解是可行的,而且該方法不僅能有效地去除圖像中的噪聲,還能縮短運(yùn)行時(shí)間。

        參考文獻(xiàn)

        [1]Rudin L I,Osher S,F(xiàn)atemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J].Physics D: Nonlinear Phenomena,1992,60(1/4):259-268.

        [2]Lysaker M,Lundervold A,Tai Xuecheng.Noise removal using fourth-order partial differential equation with applications to medical magnetic resonance images in space and time[J].IEEE Transactions on Image Processing,2003, 12(12):1579-1590.

        [3]M.Zhu and T.Chan,An Efficient Primal-Dual Hybrid Gradient Algorithm for Total Variation Image Restoration[R].Ucla Cam report, 2008.

        [4]Wu Chunlin,Zhang Juyong,Tai Xuecheng.Augmented Lagrangian method for total variation restoration with non-quadratic fidelity [J].Inverse Problems and Imaging, 2011, 5(1):237-261.

        [5]R Glowinski and A Marrocco.Sur l'approximation parelements nisd'ordreun, etlan resolution par penalisation-dualite, d'une classe de problemes de Dirichlet non lineaires[M]. Journal of Equine Veterinary Science, 1975, 31(s 5-6):41-76.

        [6]Yang J,Yin W,Zhang Y,et al.A fast algorithm foredge-preserving variational multichannel image restoration [J].SIAM Journal on Imaging Sciences,2009,2(2): 569-592.

        [7]J.Eckstein and D.Bertsekas,On the Douglas-Rachford splitting method and the proximal point algorithm for maximal monotone operators[M].Mathematical Programming,1992,55:293-318.

        [8]宋錦萍,鄭昌燕.高階模型的快速圖像修補(bǔ)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2015, 51(11):154-157.

        [9]胡學(xué)剛,張龍濤,蔣偉.基于偏微分方程的變分去噪模型[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2012, 32(7): 1879-1881. 1901.

        作者簡介:

        張倩(1991-),女,山東膠南人,山東科技大學(xué)碩士研究生。

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