摘要：稀疏性是信號表示非零系數(shù)個數(shù)的度量，一個信號越稀疏，它的非零系數(shù)個數(shù)越多。稀疏表示一種信號的基礎研究，它在人臉識別、圖像復原、圖像去噪等領域有著極為重要的意義。文章基于信號的稀疏特性在人臉識別、圖像去噪等方面的應用，對信號在過完備字典下的表示進行了研究。

關鍵詞：稀疏表示；人臉識別方法；圖像復原；圖像去噪；字典優(yōu)化 文獻標識碼：A

中圖分類號：TP393 文章編號：1009-2374（2015）36-0001-03 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.36.001

稀疏性是指信號進行某種變換后，用來表示該信號的非零系數(shù)遠小于信號本身的長度。這種特性使得與信號相關的信息提取變得快速有效，減少信號在處理過程中所需要的成本。稀疏表示使得圖像的能量只集中于部分少量的原子，這些非零系數(shù)對應的原子揭示了圖像主要的特征及內在的結構。近百年來，信號處理經(jīng)歷了小波變換、正交基變換、多尺度變換，直到20世紀末則使用過完備字典的稀疏表示，過完備字典的表示是指構成字典的基原子的個數(shù)遠大于基元素的維數(shù)，這樣便構成了一個扁矩陣，進而將問題轉換成為求解欠定方程的問題。

1 基于稀疏表示的人臉識別

人臉識別（Face Recognition，F(xiàn)R）技術是基于人臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術，因為人臉的唯一性和不容易復制性，為人物的身份進行正確的判定提供了重要線索，人臉識別技術也已成為模式識別、計算機視覺、圖像處理等領域的研究熱點。2009年，J.Wright等人在前人的人臉識別算法基礎上，提出了基于稀疏表示的穩(wěn)健人臉識別方法（Sparse Representation-based Classification，SRC），與其他的算法相比，即使在圖片具有高污染或陰影的情況下，仍然可以保持較高的識別率。

人臉識別問題也就是監(jiān)督學習分類問題，即已知一些數(shù)據(jù)的正確結果，然后對未知的數(shù)據(jù)做出預測。在已有監(jiān)督學習分類識別中，它的基本問題描述如下：給定個不同種類的人臉數(shù)據(jù)，共個樣本集，假設給定的第類樣本中有個樣本人臉圖片，且滿足：

利用這些已知類別的個訓練樣本集，來判斷新的測試樣本屬于哪一類別。在人臉識別中，一張像素為的黑白人臉圖片，就是一個的矩陣圖片信息，矩陣的每一個元素就對應人臉圖片的一個灰度值。通過把這張人臉圖片構成的矩陣堆積成一個維度為的列向量，在第類中，把這個樣本人臉圖片合并成一個維的矩陣，其中作為矩陣的列向量，即，則就表示第個人的人臉訓練集。

在實際的人臉識別問題中，通常一張普通的人臉圖片的分辨率為像素，則一張圖片的維度為個數(shù)量級，所以圖片維度大大超過訓練樣本的個數(shù)，即，這樣求解是一個過定方程，得到的解是一個唯一的解，作為之后的分類判別效果很不好，并且圖片的維數(shù)過高，但計算量太大，超出普通計算機可以承受的范圍，所以需要對進行降維處理。

如圖2所示，由于噪聲的存在，導致求得的系數(shù)在不相關的類別上，并不是嚴格的零。如何針對求得的系數(shù)進行正確的分類是算法的核心問題。

基于全局的稀疏表示，可以設計出多種不同的分類器，SRC算法采用了使用系數(shù)向量與所有樣本直接的相關程度來分類的方式，即用余差法的方式，具體過程如下：

對于每一個類別，讓作為第個類別的對應系數(shù)的特征函數(shù)，對于，是一個新的系數(shù)向量，它當中的元素除了與它對應的第類的系數(shù)，其他元素都為零，即。使用這個只與第類對應的系數(shù)相關的向量，可以把測試樣本重新表示為。接下來，將通過最小化和的范數(shù)來對進行分類：

（6）

在計算過程中，如果第類恢復得到誤差最小，那么就判斷測試樣本屬于第類。至此，可以總結得出SRC算法的基本過程：（1）輸入：類訓練樣本的共張圖片，構造出訓練樣本矩陣以及一個測試樣本；（2）將樣本矩陣的列向量歸一化。identity（y）=argminiri（y）；（3）求解最小化范數(shù)問題，得到稀疏系數(shù)： subject to ；（4）計算出測試樣本對應的每一類的余差值： ；（5）輸出：判斷圖片的類別：。

2 字典優(yōu)化

為了應對現(xiàn)實模型分析，產(chǎn)生了基于學習的冗余字典。在基于稀疏表示的人臉識別建模中，就是使用基于訓練樣本學習的方法來構造過完備冗余字典。特征空間的提取對于稀疏表示模型的一個好處是：減少數(shù)據(jù)的維數(shù)，降低計算的成本。在SRC算法中，訓練樣本矩陣被替代為，d

，基本模型由前式（1）至式（5）可得。

為驗證不同降維方法對SRC算法性能的影響，選取了兩種降維方式：一是傳統(tǒng)的通過主元分析（PCA）得到的特征臉Eigenfaces；二是一種隨機臉（Randomfaces）的降維方法。

由參考文獻[2]和參考文獻[3]可得，通過PCA降維的主要思想是：尋找一個維子空間來表示數(shù)據(jù)，并盡量保持原始數(shù)據(jù)的方差不變。在運行PCA算法之前，首先需要對訓練樣本進行預處理，以保證不同刻量單位的數(shù)據(jù)具有零均值和單位的方差，下面是PCA算法通常的預處理步驟：（1）計算樣本均值：；（2）替換每一個為；（3）計算所有類的第個數(shù)據(jù)的方差：；（4）替換每一個為。

由于圖片灰度值都是0到255統(tǒng)一的刻度標準，所以步驟3、4在算法中可以省略。假設一個單位向量和一個空間的數(shù)據(jù)點，那么點到向量的投影的長度可以表示為，那么如果是數(shù)據(jù)集中的一個點，那么它到向量的投影就是到原點的距離。因此，為了最大化投影的方差，可以選擇一個單位長度的向量進行最大化：

（7）

其中是數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，在的條件下，由拉格朗日乘子可得，最大化，需要是數(shù)據(jù)的主元特征向量。當投影到一維子空間的時候，需要選擇是的主元特征向量。更一般地，如果我們想把數(shù)據(jù)投影到一個維子空間（），需要選擇是的前個特征值對應的特征向量，所有的都是正交的。因此，要表示投影后的數(shù)據(jù)，只需要計算對應的向量：

（8）

因為，因此向量就給出了低維空間的表示。向量叫做數(shù)據(jù)的前個主元成分。在稀疏表示人臉識別中，可以根據(jù)具體情況選擇最合適的維投影空間，再由以上介紹的PCA過程計算出訓練樣本數(shù)據(jù)的前個特征向量作為投影矩陣來對數(shù)據(jù)進行降維。

通過隨機臉降維的主要思想是：使用隨機采樣法，用一個高斯隨機矩陣作為投影矩陣對人臉數(shù)據(jù)進行線性地投影。研究表明，在范數(shù)的求解過程中，如果系數(shù)解是足夠的稀疏，有個非零元素，且t

（9）

那么隨機線性測量對于范數(shù)優(yōu)化問題求解已經(jīng)足夠了，由此可以得出隨機臉的定義：考慮一個投影矩陣，它的元素是零均值的正態(tài)分布且線性獨立（高斯隨機陣即可滿足），那么歸一化它的行向量后，這個矩陣的行向量就可以看作是維空間的隨機臉。

3 實驗結果及分析

在本文的人臉識別仿真中，使用了兩種常用的人臉數(shù)據(jù)庫，下面首先對這兩個常用的人臉數(shù)據(jù)庫進行介紹，分別是Yale Database人臉數(shù)據(jù)庫和AR Database人臉數(shù)據(jù)庫。

Yale Database：由耶魯大學計算視覺和控制中心產(chǎn)生，一共有15位志愿者的165張圖片，每人11張，包括表情、光照、姿態(tài)的變化，如圖3所示是其中第一個志愿者的部分人臉圖片。

AR Database：由100個人組成，其中50個男性，50個女性，每人26張圖片，分兩次拍攝完成，每次每人拍攝13張，如圖4所示。其中14張圖片只有光照和表情的變化，另外12張圖片是戴著圍巾或墨鏡，是有遮擋的情況，比較符合現(xiàn)實中實際的人臉圖片。

下面給出基于以上介紹的SRC稀疏人臉識別算法的Matlab仿真實驗結果。這個實驗是基于AR人臉數(shù)據(jù)庫進行的仿真，選用100個人臉中每人7張圖片共700張圖片作為訓練樣本構造冗余字典。如圖5所示，由于噪聲的存在，求解得到的稀疏系數(shù)在其他人臉空間并不是嚴格的零，但系數(shù)分布仍然十分稀疏，較大的幅值主要集中于測試樣本所屬的人臉空間。從圖中較大的系數(shù)可以看到，最大幅值所對應x的位置是8，由于每個人是7張訓練圖片，第8張圖片恰好對應第二個人的訓練圖片的第一張。雖然算法并不是直接使用最大幅值來作為分類標準，是使用余差值的方法，但仍然可以由圖中系數(shù)分布情況得到與算法一致的分類效果。

在本實驗中，選取Yale Database人臉數(shù)據(jù)庫中每個人10張圖片作為訓練樣本集，剩余1張圖片作為測試樣本。在AR Database人臉數(shù)據(jù)庫中，選取僅有光照和表情變化的14張圖片進行實驗，其中7張作為訓練樣本集，7張作為測試樣本集。在選取過程中，以隨機選取為原則，隨機性地選擇圖片，保證了實驗結果不依賴于某些特別的圖片，從而保證實驗的準確性。在這兩個人臉庫中，使用以上介紹的PCA和Randomfaces兩種降維方法進行了正確識別率的測試，測試結果如下：

由圖6和圖7分析可得，無論使用哪種降維方法，算法的正確識別率都是隨著特征空間維度的增加而增大，并且SRC對于特征空間的選取方式并不敏感，即使是隨機臉，它的人臉識別率仍與Eigenface差不多，這與傳統(tǒng)的人臉識別方法有很大的不同，傳統(tǒng)的人臉識別分類依靠特征臉的選取，同一分類方法，使用不同的特征空間提取方法，分類效果差異很大，往往需要試驗得出哪種分類效果更好。

既然SRC算法對于特征空間的選取不敏感，那么在對數(shù)據(jù)進行降維時，可以選取隨機臉作為投影矩陣。隨機臉易于產(chǎn)生，且與訓練數(shù)據(jù)獨立，不受訓練數(shù)據(jù)集的影響，這些優(yōu)點大大降低了降維過程中計算的成本。

4 結語

本文是基于稀疏表示的人臉識別。通過信號的稀疏表示，在Extend Yale B Database和AR Database人臉數(shù)據(jù)庫仿真模擬下分析了SRC算法在不同的人臉特征空間的性能。

參考文獻

[1] J.Wright，Allen Y.Yang and A.Ganesh.Robust Face Recognition via Sparse Representation[J].IEEE Tans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，2009，31（2）.

[2] P.Belhumeur，J.Hespanda，and D.Kriegman.Eigenfaces versus Fisherfaces：Recognition Using Class Specific Linear Projection[J].IEEE Trans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，1997，19（7）.

[3] R.Basri and D.Jacobs.Lambertian Reflection and Linear Subspaces[J].IEEE Trans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，2003，25（3）.

[4] D.Donoho.High-Dimensional Data Analysis：The Curses and Blessings of Dimensionality[M].AMS Math Challenges Lecture，2000.

作者簡介：劉敏（1986-），女，四川瀘州人，西南科技大學信息工程學院碩士，研究方向：圖像處理。

（責任編輯：周 瓊）