張紅?！》毒昧?/p>

我在每次高三總復習之前都作一次問卷調(diào)查，其中有一項為：“你認為高中數(shù)學最難學的章節(jié)有那些？”答卷中70%左右的回答有“必修2第二章”。通過調(diào)查分析，原因不外乎有四條：一是本章概念多；二是圖形多；三是學生缺乏空間想象能力；四是平面幾何定勢思維給空間概念帶來認識上的障礙。確實，在這一章的教學中教師常常費盡口舌，而學生囫圇吞棗、似懂非懂。筆者常想，如果我們在教授這一章中能找到一個具體模型，在討論點、線、面之間的關(guān)系時，不管條件如何變化，都能幫助我們分析其位置關(guān)系，達到研究的目的，那么教與學都會感到非常輕松，這當然是一件非常有意義的研究活動。

有沒有這樣一個具體模型能幫助我們達到這個目的呢？正方體模型有此特征。因此筆者根據(jù)本章特點和學生的認知過程，在教授“立體幾何”概念時，總結(jié)了一種“正方體模型教學法”。

一、正方體模型的特點

正方體是立體幾何中最常見的幾何體，由它的特征不難發(fā)現(xiàn)它包含了“立體幾何”研究中的點、線、面元素，及直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，所以我在教學中講授有關(guān)概念時，都先借助正方體模型進行演示，使同學們先有一個直觀印象，然后再作深入的研究。

（一）正方體模型中的平面展示平面的性質(zhì)

正方體模型有6個直觀面和6個對角面，如圖一。平面的基本性質(zhì)中的三條公理、三條推論，都能很容易地從模型中演示和說明。例如平面AC和平面AB 1有一個公共點A，則平面AC和平面AB l有且只有過A點的一條直線AB，即公理2的內(nèi)容。也就是說平面性質(zhì)中元素及關(guān)系可由正方體模型引進。

（二）正方體模型中的線段反映兩條直線的位置關(guān)系

正方體模型中有l(wèi) 2條棱、1 2條面對角線、4條體對角線，這些線段共可組成378對反映直線平行、相交、異面三種關(guān)系，這些為我們學習兩直線的位置關(guān)系提供了具體而豐富的實例。例如我們在學習異面直線的定義、判定、公垂線、距離、所成的角時，這類問題學生往往很難一下搞清楚，如果我們借助正方體模型中的線段，如A B與B l C l加以說明，所有問題便一目了然了。

（三）正方體模型中的直線與平面的平行和垂直

正方體中任意兩條相對的棱都平行，則一條棱必平行于另一條棱所在平面；正方體中任意一條棱都垂直于不包含且和它相交的平面；直線與平面相交的關(guān)系在模型中也很直觀。如圖二，AAl∥BBl，則AAl //平面 BCl；AAl⊥AB，AAl⊥AD，則AAl⊥平面AC；AAl⊥平面AC，BBl⊥平面AC，則 AAl∥BBl 。又∠AlCA為AlC與平面AC所成的角；Al C，AAl，AC，B D構(gòu)成三垂線定理模型等等。凡直線與平面位置關(guān)系中所涉及的概念都能在正方體模型中找到直觀圖。

（四）正方體模型中的平面與平面

正方體相鄰兩個面都相交，不相鄰兩個平面都平行，例如AlBl，AlDl 平面Al Cl，且AlBl∥平面AC， Al Dl//平面AC，則平面AlCl∥平面AC，相鄰表面，對角面與表面，對角面之間都構(gòu)成二面角模型。例如：平面AC—BC—平面AlC構(gòu)成二面角模型，∠ABAl為二面角平面角；同樣兩平面垂直的判定與性質(zhì)也可用正方體模型直觀說明。因此平面和平面的位置關(guān)系也可由正方體模型中的面直觀看到。

二、正方體模型教學法的基本模式

正方體模型教學法的大框架是：分析概念的條件和結(jié)論——借助正方體模型線面關(guān)系——解答問題。對具體課堂教學來說又可分為下述幾個環(huán)節(jié)。

（一）直接反映概念的基本特征

正方體模型中的線面關(guān)系，可直接傳遞有關(guān)概念的內(nèi)容，并且它給學生的信息是直覺的、顯示結(jié)構(gòu)的、完整的，它能使學生正確地理解概念的內(nèi)涵，甚至單憑圖形的直觀現(xiàn)象，就能理解概念，無需語言文字描述，這是其他一些傳播媒介所不及的。例如異面直線的畫法和公垂線及兩異面直線的距離問題，對于初學者來說是很難搞清楚的，而我們借助正方體模型中的有關(guān)線段，例如AB與CDl，它們?yōu)楫惷嬷本€，BC為公垂線，|BC|即為異面直線的距離，AB與CDl位置關(guān)系能更好地反映異面直線的畫法，以及既不相交又不平行的特征。

（二）借助模型分析、判斷，變化圖型觀察方式

我們在分析立體幾何問題時，若沒有圖形，學生便感到困惑。自己作圖，空間圖形有時便變成了平面圖形，不具直觀性。在沒有圖形時我們?nèi)裟芙柚襟w模型分析、判斷，然后再推廣到一般情形，這樣就能幫助我們作好由“無形”到“有形”的過渡。具體來說就是：解決一個問題，先在正方體模型中找到具有題設(shè)條件的線和面，再仿照它畫成直觀圖，然后還可根據(jù)正方體特殊線面關(guān)系來分析一般屬性，達到解決問題的目的。例如在鞏固直線與平面平行的判定與性質(zhì)的概念時，有一道這樣的題目：一條直線與兩相交平面都平行，那么這條直線與兩平面的交線平行。若我們借助正方體模型中的AA1與平面BC1、平面CDl進行分析，再把它轉(zhuǎn)化為一般性質(zhì)的模型，這樣作出了圖形，證明也就容易多了。

當然若考慮任何問題都以同一形態(tài)出現(xiàn)，易使學生產(chǎn)生思維定勢。如我們多數(shù)學生不能靈活地在不常見位置上運用三垂線定理。所以我們運用“正方體模型教學法”，指導學生改變其觀察方式，這樣便更能拓廣其空間想象能力。例如在正方體模型中我們能發(fā)現(xiàn)4條體對角線與不相交的l 2條面對角線之間是同一種位置關(guān)系；正方體每個面都可看成三垂線定理中的射影面。

（三）正方體模型的化歸變換

正方體模型雖然能反映各種位置關(guān)系，但勢必都是特殊關(guān)系，有相當?shù)谋厝缓团既怀煞?，且有它的局限性。我們在教學中可依賴它、應(yīng)用它，但一定要過渡到變化它。這也正是這種教學法研究的一個主要目的。也就是說正方體模型要拓廣成為一般的空間圖形；非正方體模型可通過分割或鑲補的手段轉(zhuǎn)化為正立方體模型，用正方體的特點快速尋求正確的結(jié)果。例如在平行六面體中，過交于同一頂點的三條棱中點的平面截平行六面體，求截得的三棱錐體積是平行六面體的多少倍？通過觀察正方體是平行六面體的特殊情況，那么平行六面體的特征，在正方體中一定能實現(xiàn)，這個問題自然就把平行六面體特殊化為棱長為1的正方體，這樣過正方體的相鄰三條棱中點的平面截正方體，得一正三棱錐，又例如圖四1，過正方形ABCD的頂點D作PD⊥平面ABCD，設(shè)PD=AD=a，求面PAB與面PCD所成二面角大小。這個問題雖然從表面上看是四棱錐問題，但稍作分析，它便是正方體模型的一部分，將原四棱錐可以補成正方體如圖四2，則不難發(fā)現(xiàn)∠DPA為二面角的平面角，所以答案為 ，這樣化歸為正方體模型解題比常規(guī)方法要簡捷得多。

三、正方體模型教學法的特點

（一） 聯(lián)系實際，豐富感知，遵循從特殊到一般的規(guī)律

概念都是從個別特殊的結(jié)論歸納出來的，圖形亦是如此。立體幾何概念的內(nèi)涵若是能從典型的模型中找出反映其內(nèi)涵的線面關(guān)系，那么我們掌握它便能更直接、更具體，這樣通過實物與圖形、整體與局部對照，可使學生逐漸把反映概念的圖形立體化、形象化。例如學習三垂線定理，我們使用正方體模型中的三垂線來研究，這樣學生能更快地接受并掌握。正方體模型教學法正是由典型模型中的線面關(guān)系來反映概念的內(nèi)涵，使學生從具體模型上掌握概念，為進一步深刻認識打好基礎(chǔ)。

（二）訓練了學生識圖、作圖能力

正方體模型立體感強，反映的關(guān)系多，正方體模型教學法便是教會學生在作圖時利用正方體模型中面線襯托方式，或輔助位置關(guān)系，來掌握畫立體圖的原理、方法和技能，從而使畫出來的圖形立體化、直觀化。

（三）強化概念、定理的引入，突出第一感知的印象

學生在學習中，會遇到很多新問題、新矛盾，第一次觸及這些事物時的認識很易形成“先入為主”的思維定勢，這對形成正確的空間概念關(guān)系很大，并影響著后續(xù)內(nèi)容的學習。因此，在學習概念、定理時，抓好起點，建立有代表意義的模型，突出他們的本質(zhì)屬性，就能克服各種各樣的困惑，獲得更多、更新的認識。而正方體模型能反映各種線面關(guān)系，且圖形直觀、易畫。因此在講解概念的教學活動中，運用正方體模型教學法，用正方體模型中的線、面關(guān)系，進行深刻的剖析，獲得第一感知的印象，也就獲得了正確的認識。例如討論三個平面兩兩垂直，則三條交線兩兩垂直的問題，當然首先想到是用正方體模型進行分析。

（四）抓住實質(zhì)，由淺入深，突出概念內(nèi)涵，逐步完善空間概念

立體幾何中概念多，且逐漸深化，交錯出現(xiàn)，相輔相承，使學生感到難學。我們在講授概念時，只要學生初步理解，基本上能用，就算達到了開始的教學要求，應(yīng)該不奢求一次性講深講透、一步到位。在講授概念時，運用正方體模型教學法，從大家非常熟悉的正方體模型入手，這樣就會很快地使學生創(chuàng)造一個能理解、會作圖、易證明的思維環(huán)境來接受這些概念。在接受了這些基本概念的基礎(chǔ)上，再引申拓廣便不是難事了，空間概念便會逐步完善。

四、實施“正方體模型教學法”的幾點體會

（一）提高了學生們的學習興趣，加強了概念理解能力

未實施此教學法時學生感到立體幾何難學、不會學，實施此教學法后，學生感到空間概念并不難建立，多種位置關(guān)系也很容易搞清楚，掌握概念也無需死記硬背了。運用此教學法在講授概念時，學生能主動思考問題，從多角度解決問題。對于理解力較差的學生，由于教法改進，學有所得，增強了學幾何的信心，激發(fā)了他們的學習熱忱，對概念的理解掌握也較快了。這樣較好地克服了學習立體幾何的兩極分化，從而使學習立體幾何整體成績相應(yīng)提高了許多。

（二）提高了思維能力，增強了課堂效益

此教學法既培養(yǎng)了學生思維定勢的學習方法，也培養(yǎng)了學生從不同角度獨立思考、勤于探索的能力，培養(yǎng)了學生分析和解決問題的能力。我們借助的是立體概念較強的幾何體，能有效地防止平面幾何概念向立體幾何概念的負面遷移。同時，同學們能有效地快捷地掌握概念，為學習其他知識打下堅固的基礎(chǔ)，大大地提高了課堂效益。

（三）有待探討的一些問題

此教學法雖然取得了一定的成效，但在實驗過程中還有一些問題，如思維定勢帶來的負面影響、立體模型中線面關(guān)系都是特殊關(guān)系，帶有一定的偶然結(jié)果、局限性也很明顯等等。對這些問題的改進和解決有待進一步的研究探討。

（作者單位：湖南大學附屬中學）