文/汪國(guó)剛

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投影與視圖常見錯(cuò)誤分析

文/汪國(guó)剛

責(zé)任編輯：王二喜

投影與視圖是圖形變化中的新內(nèi)容，在中考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾以解答題的形式出現(xiàn).現(xiàn)以2015年中考題為例，把常見的錯(cuò)誤剖析如下，供你學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、平面展開圖與立體圖的互換

例1（2015年廣安卷）在市委、市政府的領(lǐng)導(dǎo)下，全市人民齊心協(xié)力，將廣安成功創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”，為此，小紅特制了一個(gè)正方體玩具，其展開圖如圖1所示，原正方體中與“文”字相對(duì)面上標(biāo)的字應(yīng)是（）.

A.全B.明C.城D.國(guó)

錯(cuò)解：A或B或D.

錯(cuò)因分析：沒有掌握立體圖形與展開圖的轉(zhuǎn)化關(guān)系.在展開圖中，相對(duì)面之間沒有公共點(diǎn)，有交點(diǎn)的兩個(gè)面一定相鄰.

正解：選C.

例2（2015年無(wú)錫卷）如圖2的正方體盒子的外表面上畫有3條粗黑線，將這個(gè)正方體盒子的表面展開（外表面朝上），展開圖可能是（）.

圖1

圖2

錯(cuò)解：A或B或C.

錯(cuò)因分析：從立體圖形可以知道，有黑線的面與無(wú)黑線的面是相對(duì)面，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤；將展開圖折疊，三條黑線段要構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，這樣可以排除B、C.

正解：利用排除法或動(dòng)手操作，即可得到正確答案.選D.

溫馨小提示：正方體的展開圖，從相對(duì)面沒有公共點(diǎn)入手，分析面與面之間的關(guān)系，或模擬圖形進(jìn)行操作，可以避免錯(cuò)誤，從而迅速解題.

二、確定幾何體三視圖時(shí)，觀察方向或理解題意出錯(cuò)

例3（2015年河南卷）如圖3所示的幾何體的俯視圖是（）.

圖3

錯(cuò)解：A或D.

錯(cuò)因分析：混淆視圖概念，聯(lián)想平面圖形出錯(cuò).

正解：從上往下觀察幾何體，得到的平面圖形為選項(xiàng)B.選B.

例4（2015年張家界卷）下列立體圖形中，它們各自的三視圖有兩個(gè)相同，而另一個(gè)不相同的是（）.

A.①②B.②③C.②④D.③④

錯(cuò)解：A或B或C.

錯(cuò)因分析：沒有認(rèn)真審題而出錯(cuò).

正解：選D.

溫馨小提示：要熟悉常見幾何體（如球、正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐等）的三視圖，了解它們的區(qū)別與聯(lián)系.

三、漏畫輪廓線，混淆虛線與實(shí)線的區(qū)別

例5（2015年貴陽(yáng)卷）如圖4，一個(gè)空心圓柱體，其左視圖正確的是（）.

錯(cuò)解：A或C或D.

錯(cuò)因分析：選A，忽略圓柱體空心部分用虛線表示；選C，看不到的輪廓線要用虛線表示；選D，觀察幾何體出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正解：畫視圖時(shí)，看得見的輪廓線畫成實(shí)線，看不見的畫成虛線,因?yàn)橹虚g有兩條看不見的線，所以有兩條虛線.選B.

圖4

溫馨小提示：在畫三視圖時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

四、由三視圖判斷幾何體

例6（2015年日照卷）小紅在觀察一些小立方塊搭成的幾何體時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的主視圖、俯視圖、左視圖均如圖5，則構(gòu)成幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)有（）.

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

錯(cuò)解：A或D.

錯(cuò)因分析：選A，認(rèn)為組合體的三視圖都一樣，就是三個(gè)小立方塊搭成；選D，誤認(rèn)為從三個(gè)不同方向觀察都一樣，于是小立方塊的個(gè)數(shù)有3×2＝6個(gè).

正解：解法一：從俯視圖發(fā)現(xiàn)有3個(gè)小立方塊，從左視圖發(fā)現(xiàn)第二層最多有1個(gè)小立方塊，則構(gòu)成該幾何體的小立方塊有4個(gè).選B.

解法二：如圖6，在俯視圖上標(biāo)記數(shù)字，主視圖有2列，每列正方形的個(gè)數(shù)分別為2和1，在俯視圖中，第1列兩個(gè)正方形都標(biāo)上2，第2列的正方形標(biāo)上1.左視圖有2列，每列正方形的個(gè)數(shù)分別為2和1，在俯視圖第一行的正方形上標(biāo)上2，第二行的正方形上標(biāo)上1.最后，按“就小不就大”取數(shù)，小立方塊的個(gè)數(shù)有2+1+1＝4（個(gè)）.選B.

例7（2015年懷化卷）如圖7，甲、乙、丙圖形都是由大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個(gè)數(shù).其中主視圖相同的是（）.

A．僅有甲和乙相同

B．僅有甲和丙相同

C．僅有乙和丙相同

D．甲、乙、丙都相同

錯(cuò)解：D.

錯(cuò)因分析：只看到俯視圖中小正方體的個(gè)數(shù)和相等，沒有考慮位置不同.

正解：甲的主視圖有2列，每列小正方形數(shù)分別是2、2；乙的主視圖有2列，每列小正方形數(shù)分別是2、1；丙的主視圖有2列，每列小正方形數(shù)分別是2、2.主視圖相同的是甲、丙.選B.

圖5

圖6

圖7

溫馨小提示：主視圖的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)為俯視圖該列小正方形的最大數(shù)；左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)為俯視圖相應(yīng)行正方形的最大數(shù).

五、利用三視圖進(jìn)行計(jì)算，忽略“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”致錯(cuò)

例8（2015年呼和浩特卷）圖8是某幾何體的三視圖，根據(jù)所標(biāo)的數(shù)據(jù)求得該幾何體的體積為（）.

A.236πB.136π

C.132πD.120π

錯(cuò)解：A或C或D.

錯(cuò)因分析：沒有理解幾何體的形狀和數(shù)據(jù)的對(duì)立關(guān)系，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.

正解：由三視圖可知，該幾何體由兩個(gè)圓柱體組成.

其體積為：π×22×2+π×42×8＝8π+128π＝136π.選B.

溫馨小提示：由三視圖還原幾何體時(shí)，要有想象力，根據(jù)三視圖計(jì)算幾何體的體積或表面積時(shí)，需要把主視圖、左視圖、俯視圖一同聯(lián)系起來(lái)確定幾何體形狀，明確數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而根據(jù)公式求體積或表面積.

圖8

六、混淆平行投影與中心投影性質(zhì)致錯(cuò)

例9在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，小明的影子比小強(qiáng)的影子長(zhǎng)，那么在同一路燈下（）.

A．小明的影子比小強(qiáng)的影子長(zhǎng)B．小明的影子比小強(qiáng)的影子短

C．小明的影子和小強(qiáng)的影子一樣長(zhǎng)D．無(wú)法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng)

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因分析：中心投影與平行投影不同，中心投影中物體的影長(zhǎng)與物體到光源的遠(yuǎn)近、高低有關(guān)，平行投影中物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比例關(guān)系.

正解：在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，小明的影子比小強(qiáng)的影子長(zhǎng)，則小明比小強(qiáng)高，但在同一路燈下，離路燈的遠(yuǎn)近不同，則影子長(zhǎng)短不同，故無(wú)法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng).選D.

溫馨小提示：在平行投影中，物與影對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的，因此物高與影長(zhǎng)成比例；在中心投影中，物與影對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交與一點(diǎn)，因此物體與光源的遠(yuǎn)近、高低不同，物體的影長(zhǎng)就不同.