文/劉　頓

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三角板構(gòu)造的數(shù)學(xué)題

文/劉頓

責(zé)任編輯：王二喜

在中考中，利用三角板中固有的元素設(shè)計(jì)考題，已成為熱點(diǎn)題型之一.解決此類問題要充分發(fā)揮特殊角30°、45°、60°、90°及等腰三角形和直角三角形的作用，利用圖形變換的特征求解.

一、設(shè)計(jì)方程組，求角度

例1（2015年廣元卷）一副三角板按如圖1方式擺放，且∠1比∠2大50°.若設(shè)∠1＝x°，∠2＝y(tǒng)°，則可得到的方程組為（）

解：根據(jù)∠1比∠2大50°，得方程x＝y(tǒng)+50；又根據(jù)平角和直角的定義，得方程x+y＝90.選D.

圖1

二、設(shè)計(jì)相似三角形，求面積比

例2（2015年自貢卷）一副三角板疊放在一起，如圖2，則△AOB與△DOC的面積之比為.

解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，

在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴DB＝2BC，

由勾股定理，得

又∵AB∥DC，∴△AOB∽△COD，

∴S︰S＝AB2︰DC2＝1︰3.

△AOB△COD

圖2

三、設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)問題，求面積

圖3

例3圖3是一副學(xué)生用的三角板，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°；在△A1B1C1中，∠C1＝90°，∠A1＝45°，∠B1＝45°，且A1B1＝CB.若將邊A1C1與邊CA重合，其中點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合.將三角板A1B1C1繞點(diǎn)C（A1）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過的角為α，旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點(diǎn)為M，設(shè)AC＝a.

（1）計(jì)算A1C1的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)α＝30°時(shí)，證明：B1C1∥AB；

解：（1）在Rt△ABC中，∵AC＝a，∠A＝60°，∴BC＝AC·tan60°＝.∴A1B1＝BC＝

在Rt△A1B1C1中，∠B1＝45°，∴A1C1＝A1B1·sin45°＝

圖4

（2）如圖4，當(dāng)α＝30°時(shí)，即∠ACC1＝30°，

∵∠A＝60°，∴∠AMC＝90°，即CC1⊥AB，

∵CC1⊥B1C1，∴B1C1∥AB.

（3）如圖5，當(dāng)α＝45°時(shí)，B1A1恰好與CB重合，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，則∠ACH＝30°，∠HCM＝15°，

圖5