周仁義, 錢建固, 黃茂松

(1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上?！?00092;2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上?！?00092)

不平順路面的車輛動(dòng)載誘發(fā)飽和地基的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)

周仁義1,2, 錢建固1,2, 黃茂松1,2

(1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海200092;2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092)

對由于不平順路面引起的車輛附加動(dòng)荷載在飽和多孔地基中的動(dòng)應(yīng)力開展了解析理論研究。通過承受移動(dòng)矩形垂直荷載的三維飽和多孔地基的基本解，采用矩陣遞推法得到多層飽和半空間解，數(shù)值積分得到數(shù)值結(jié)果。將該方法運(yùn)用于具有不平順路面的飽和多孔半空間的情況，得到了附加動(dòng)荷載在飽和多孔地基中所產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力。計(jì)算結(jié)果分析了分層地基半空間計(jì)算模型的優(yōu)點(diǎn)，還發(fā)現(xiàn)土體的軟硬程度對地基動(dòng)應(yīng)力極為重要。附加動(dòng)荷載的速度頻率同步效應(yīng)在地基中作用明顯，尤其對于所產(chǎn)生的剪應(yīng)力，在具有較硬較厚路面的情況下，附加動(dòng)荷載所產(chǎn)生的剪應(yīng)力的最大值已經(jīng)超過自重恒載所產(chǎn)生的剪應(yīng)力。不平順波長對動(dòng)應(yīng)力也有很大影響，尤其是短波不平順。在高速移動(dòng)的四輪車輛荷載的情況下，不平順的路面會(huì)造成地基的劇烈振動(dòng)，不平順波長越短(即路面越不平整)，振動(dòng)的越劇烈。

交通荷載；動(dòng)應(yīng)力； 飽和多孔地基；不平順路面

軟土地基上的交通線路投入使用后，長期往復(fù)車輛動(dòng)載將產(chǎn)生顯著的附加沉降，是線路運(yùn)營期間地基工后沉降的重要組成部分[1-2]。合理地開展車輛動(dòng)載下軟黏土地基長期變形及塑性安定性的評估，無論是著手室內(nèi)單元試驗(yàn)?zāi)M，或是基于本構(gòu)理論的數(shù)值分析，動(dòng)應(yīng)力的求解是分析問題的基礎(chǔ)。必須指出的是，移動(dòng)車輛作用于路面所誘發(fā)的動(dòng)應(yīng)力水平，除了移動(dòng)車輛的自重(恒載)外，由于路面的不平順性還存在一個(gè)呈波動(dòng)變化的附加車輛動(dòng)載。路面不平順性誘發(fā)的車輛附加動(dòng)載水平主要取決于車輛移動(dòng)速度及道路不平順程度兩個(gè)重要因素，多數(shù)情況下這一附加動(dòng)載幅值約為車輛自重恒載的0.3倍～0.4倍[3]。也一些研究表明，路面不平順誘發(fā)的動(dòng)載幅值甚至可達(dá)車輛自重的2倍水平?？梢?，無疑，道面的不平順性是誘發(fā)路基土的動(dòng)應(yīng)力不可忽略的重要因素之一。另一方面，道面以下的地基在現(xiàn)有的理論分析時(shí)往往被視作彈性或黏彈性單相介質(zhì)，然而，在地下水位較高的飽和地基中，尤其是飽和軟黏土地基其動(dòng)力響應(yīng)與彈性或黏彈性單相介質(zhì)有著顯著的差異，研究表明，采用多孔飽和土體模型能夠更有效地反映飽和軟黏土的動(dòng)力響應(yīng)特征。

研究交通荷載下飽和軟黏土地基的動(dòng)應(yīng)力，最有效的途徑是基于飽和多孔介質(zhì)的Biot動(dòng)力理論[4-5]。應(yīng)用Biot理論，很多學(xué)者對移動(dòng)的交通荷載做了很多的研究工作，取得了大量的成果[6-15]，但考慮路面不平整引起的附加動(dòng)荷載對飽和軟黏土地基動(dòng)應(yīng)力的影響的研究還很少。

關(guān)于道面不平順性所誘發(fā)的地基動(dòng)力響應(yīng)其首要問題便是如何考慮道面不平順?biāo)T發(fā)的附加動(dòng)載，分析的手段主要有理論解析、數(shù)值模擬及試驗(yàn)研究等。鐘陽等[16]把汽車簡化為兩個(gè)自由度體系，利用隨機(jī)振動(dòng)的方法分析了行駛車輛作用于路面的隨機(jī)動(dòng)壓力。孫璐等[17]在上述模型基礎(chǔ)上利用隨機(jī)過程理論分析了隨機(jī)動(dòng)荷載的統(tǒng)計(jì)特性，并對荷載實(shí)驗(yàn)提出了實(shí)驗(yàn)方法和分析手段。周華飛等[18]假設(shè)路面不平順為正弦函數(shù)，分析了車輛附加動(dòng)荷載隨路面不平整波長和行車速度變化的關(guān)系。Hardy[19]直接把路面不平順誘發(fā)的車輛附加動(dòng)荷載簡化為幅值為靜載一半的簡諧動(dòng)載，用以分析了柔性路面的動(dòng)力響應(yīng)。王晅等[20]利用有限元方法分別研究了不平順條件下公路路基的動(dòng)力響應(yīng)問題。姚海林等[21-22]利用四分之一車體模型推導(dǎo)得到了不平整路面的車輛附加動(dòng)荷載，以此為基礎(chǔ)建立了交通荷載作用模式，并分析了路面的位移響應(yīng)特征，還探討了車輛-不平整路面-路基結(jié)構(gòu)耦合作用的情況。蔡袁強(qiáng)[23]采用半解析法研究了列車荷載作用下列車-軌道-飽和地基系統(tǒng)的耦合振動(dòng)問題, 分析了輪軌動(dòng)力作用力和列車軸重作用下飽和地基的動(dòng)力響應(yīng)。馮青松等[24]將虛擬激勵(lì)法和車輛-有砟(無砟)軌道-路基-地基耦合系統(tǒng)垂向振動(dòng)解析模型有效結(jié)合起來，由軌道不平順功率譜直接得到準(zhǔn)確的列車隨機(jī)激振荷載功率譜，然后采用頻率采樣三角級數(shù)法反演出列車隨機(jī)激振荷載時(shí)程。需要指出的是，這些研究主要集中在對附加動(dòng)荷載的求解和路面的位移響應(yīng)方面，且而沒有給出附加動(dòng)載下道面不平順性所誘發(fā)的地基動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)，并且沒有考慮路基的分層性，采用分層地基來對移動(dòng)荷載的動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行的研究還很少。

目前交通荷載在不平順路面上引起的附加動(dòng)荷載在軟黏土地基中的動(dòng)應(yīng)力規(guī)律仍缺乏深入的認(rèn)識，這無疑是揭示交通動(dòng)載誘發(fā)軟黏土路基沉降機(jī)理的一個(gè)關(guān)鍵。為揭示附加動(dòng)荷載在軟黏土地基中的動(dòng)應(yīng)力，本文利用移動(dòng)荷載作用下三維飽和多孔半空間的動(dòng)應(yīng)力積分解，通過矩陣遞推法得到多層飽和多孔半空間的解析解，并且編程確定積分限以提高積分精度，進(jìn)而利用Fourier逆變換進(jìn)行了數(shù)值積分得到最后的地基動(dòng)應(yīng)力。將該方法對自重恒載和附加動(dòng)荷載所引起的動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行比較分析，分析了分層地基半空間模型計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，還發(fā)現(xiàn)土體的軟硬程度對動(dòng)應(yīng)力極為重要，附加動(dòng)荷載的速度頻率同步效應(yīng)很明顯，尤其對于所產(chǎn)生的剪應(yīng)力，在具有較硬較厚路面的情況下，附加動(dòng)荷載所產(chǎn)生的剪應(yīng)力的最大值已經(jīng)超過自重恒載所產(chǎn)生的剪應(yīng)力。短波不平順引起的動(dòng)應(yīng)力隨速度顯著增大，而中波不平順引起的動(dòng)應(yīng)力的速度效應(yīng)就不明顯。最后還分析了一個(gè)高速移動(dòng)的四輪車輛荷載的實(shí)例，并與一個(gè)集中荷載所產(chǎn)生的應(yīng)力進(jìn)行比較，揭示了采用四輪荷載分析動(dòng)應(yīng)力的優(yōu)點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)考慮路面的不平順后，應(yīng)力隨時(shí)間的曲線會(huì)劇烈波動(dòng)，即造成地基的劇烈振動(dòng)，不平順波長越小(即路面越不平整)，振動(dòng)得越劇烈。

1多層飽和多孔地基求解

根據(jù)Boit飽和土理論[4-5]多孔介質(zhì)有如下的本構(gòu)方程

σij=λeδij+2μεij-δijαpf

(1a)

pf=-αMe+Mθ

(1b)

式中σij為土體的應(yīng)力，εij是應(yīng)變分量；δij是Kronecker delta符號。e(e=ui,i)和θ(θ=-wi,i)分別為土骨架的體積應(yīng)變與流體的體積應(yīng)變；wi(wi=φ(Ui-ui))為流體的滲透位移(i,j=1, 2, 3)，ui為土體的平均位移，Ui為流體的平均位移，φ為孔隙介質(zhì)的孔隙率；pf為孔隙水壓力，α和M為與飽和孔隙介質(zhì)壓縮有關(guān)的Biot常數(shù)，一般0≤a≤1，0≤M≤∞；λ和μ為Lame常數(shù)。

飽和地基動(dòng)力問題的基本方程用位移可表示為：

(2a)

(2b)

使用多重傅里葉積分變換，將式(1)和式(2)由時(shí)域變?yōu)轭l域范圍內(nèi)，上標(biāo)“-”表示t→ω的傅里葉積分變換，上標(biāo) “～”表示x→ξx的傅里葉積分變換，上標(biāo)“^”表示y→ηy的傅里葉積分變換，再利用Helmhotlz矢量分解的方法進(jìn)行求解，頻域內(nèi)的土體位移和應(yīng)力有如下形式：

2iDe-γszγsξxμ+2eγtzEξxηyμ+2e-γtzFξxηyμ+

2iDe-γszγsηyμ+2eγtzGξxηyμ-2e-γtzHξxηyμ+

2iFγtηyμe-γtz+2iGγtξxμeγtz-2iHγtξxμe-γtz-αpf

Eieγtzηy-Fie-γtzηy+Gieγtzξx+Hie-γtzξx

Af，As可由下式確定

在地表處(z=0)，應(yīng)力分量σxz和σyz為零，垂直應(yīng)力分量σzz等于移動(dòng)荷載?，F(xiàn)實(shí)中輪胎與地面的接觸面近似于矩形，所以一個(gè)矩形荷載可作為輪胎荷載施加在多層地基上：

σzz(x,y,0)=-qeiω0t[H(x-ct+a)-

H(x-ct-a)]×[H(y+b)-H(y-b)]

(3a)

σxz(x,y,0)=0

(3b)

σyz(x,y,0)=0

(3c)

式中q是移動(dòng)垂直荷載壓強(qiáng)的幅值，ω0為荷載初始頻率，c為移動(dòng)荷載的速度，(2a)、(2b)為矩形分布荷載的長、寬尺寸；H(…)為Heaviside函數(shù)。

另外假設(shè)面層透水，表面孔壓為零

pf(x,y,0)=0

(3d)

對式(3)進(jìn)行傅里葉變換可得

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

在實(shí)際的工程中，地基由于不同土的特性往往是分層，所以采用矩陣遞推法進(jìn)行分層地基的計(jì)算，先得到表面(z0=0)的位移，再通過遞推可得到任意深度處的位移和應(yīng)力。

2數(shù)值積分方法及驗(yàn)證

利用傅里葉逆變換可以得到問題的時(shí)間-空間域內(nèi)的解，但是傅里葉逆變換的積分極其復(fù)雜，目前廣泛采用數(shù)值積分進(jìn)行求解。解為復(fù)數(shù)形式，取其實(shí)部，即為動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)。

車輛輪子作用于地基的問題可簡化為圖1所示的計(jì)算模型，采用前面所介紹的矩陣遞推法取兩層的情況進(jìn)行計(jì)算。如圖1，地基為兩層半空間，上層為路面，下層為無限半空間的土體。

圖1　計(jì)算模型Fig.1 Computational model

計(jì)算模型中，輪胎荷載簡化為矩形荷載，對于汽車、列車等移動(dòng)荷載，為了方便理論分析，根據(jù)現(xiàn)場監(jiān)測表明[25]和一些學(xué)者的研究[19]，移動(dòng)車輛產(chǎn)生的荷載可以分為車輛的自重恒載與道路不平順?biāo)鸬母郊觿?dòng)荷載兩部分，荷載可表示為

Q=Q1+Q2eiω0t=Q1+Q2ei(2πc/λt)t

(5)

式中Q1為車輛的自重恒載部分。Q2eiω0t為附加動(dòng)荷載部分，其呈現(xiàn)波動(dòng)變化。Q2為附加動(dòng)荷載的幅值，其由速度、路面狀況等多種因素綜合決定，一般取自重恒載Q1的0.3倍～0.4倍[3]，這里取0.3倍。

附加動(dòng)荷載的頻率ω0=2πc/λt，其中c為車輛的速度，λt為不平順波長，荷載參數(shù)見表1。

表1　荷載參數(shù)

為了驗(yàn)證文中計(jì)算模型的正確性，將路面和土層的參數(shù)都取文獻(xiàn)[10]中的參數(shù)計(jì)算，將其退化到均質(zhì)飽和多孔半空間的情況，荷載也取文獻(xiàn)[10]中的荷載參數(shù)計(jì)算，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果比較見圖2。由圖2可見，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了計(jì)算方法的正確性。

圖2　數(shù)值計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[10]對比Fig.2 Comparison between present work and reference[10]

3土體軟硬程度對動(dòng)應(yīng)力的影響

下面將分析下部土體軟硬程度對動(dòng)應(yīng)力的影響。參數(shù)見表2，λ和μ采用反映黏彈性飽和土體滯回阻尼的復(fù)Lame常數(shù)，滯回作用可用損失因子ζ表示，則λ和μ可表示為λ= (1+iζ)λ*與μ= (1+iζ)μ*，這里i表示虛部。

表2　地基物理力學(xué)參數(shù)

3.1自重恒載部分的速度效應(yīng)

這里計(jì)算了移動(dòng)自重恒載在不同硬度土層里的動(dòng)應(yīng)力，將其除以自重恒載靜止情況下的應(yīng)力，得到動(dòng)力放大系數(shù)φd，以此表征動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)的程度。圖3中，土體計(jì)算參數(shù)μ*=4.0×106N/m2,λ*=4.0×106N/m2，圖4中，計(jì)算參數(shù)μ*=1.0×107N/m2,λ*=1.0×107N/m2，圖5中，計(jì)算參數(shù)μ*=1.0×108N/m2,λ*=1.0×108N/m2，因?yàn)槭呛爿d，所以頻率ω0為零，其余參數(shù)與表1及表2一致。

從圖3(a)中可見，σz的動(dòng)力放大系數(shù)φd隨速度緩慢增大，超過40 m/s后，增速明顯變大，達(dá)到一個(gè)峰值，隨后隨速度增大急劇減小。深度越深的曲線，其峰值越大，說明土層越深，速度放大效應(yīng)越明顯。另外，不同峰值所對應(yīng)的移動(dòng)荷載速度不同，而采用均質(zhì)半空間地基模型計(jì)算，不同深度曲線會(huì)在速度接近瑞利波速時(shí)同時(shí)達(dá)到峰值，這正是分層半空間地基模型計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)。圖3(b)中τxz的動(dòng)力放大系數(shù)φd有類似的性質(zhì)，但同圖3(a)比較可見，剪應(yīng)力τxz的動(dòng)力放大系數(shù)φd的峰值比正應(yīng)力σz大的多，最大的峰值達(dá)到14倍左右，說明剪應(yīng)力的速度放大效應(yīng)更顯著。

從圖4(a)中可見，σz的動(dòng)力放大系數(shù)φd隨速度未見明顯增加，只有當(dāng)超過40 m/s后，增速隨速度有增加，但增幅很小。圖4(b)中τxz的動(dòng)力放大系數(shù)φd有類似的性質(zhì)。

圖5中，σz和τxz的動(dòng)力放大系數(shù)φd隨速度都沒有明顯變化。

從圖(3)～(5)中可以見，土層越軟，自重恒載在地基中的動(dòng)應(yīng)力的速度放大效應(yīng)越明顯；動(dòng)應(yīng)力在接近瑞利波速時(shí)會(huì)急劇增大，出現(xiàn)一個(gè)峰值；土層越深，速度放大效應(yīng)越明顯；剪應(yīng)力的速度放大效應(yīng)較正應(yīng)力更顯著；但土層越硬，速度遠(yuǎn)未達(dá)到瑞利波速時(shí)，速度的動(dòng)力放大效應(yīng)基本消失。

圖3 不同深度應(yīng)力動(dòng)力放大系數(shù)隨速度的變化(μ*=4.0×106N/m2,λ*=4.0×106N/m2)Fig.3Changeofdynamicstressamplificationcoefficientwithloadmovingspeedindepth圖4 不同深度應(yīng)力動(dòng)力放大系數(shù)隨速度的變化(μ*=1.0×107N/m2,λ*=1.0×107N/m2)Fig.4Changeofdynamicstressamplificationcoefficientwithloadmovingspeedindepth圖5 不同深度應(yīng)力動(dòng)力放大系數(shù)隨速度的變化(μ*=1.0×108N/m2,λ*=1.0×108N/m2)Fig.5Changeofdynamicstressamplificationcoefficientwithloadmovingspeedindepth

3.2附加動(dòng)荷載部分的速度-頻率效應(yīng)

車輛車輪經(jīng)過不平順路面時(shí)會(huì)產(chǎn)生附加動(dòng)荷載，為式(5)中的Q2eiω0t部分，為簡諧波形式。荷載頻率ω0=2πc/λt，式中頻率ω0根據(jù)路面不平順波長λt和車速c之間的關(guān)系確定。當(dāng)路面的不平順波長為固定值時(shí)，車輛速度越快，附加動(dòng)荷載的頻率越高，附加動(dòng)荷載的速度和頻率同時(shí)對地基的動(dòng)應(yīng)力產(chǎn)生影響，這個(gè)現(xiàn)象可稱為附加動(dòng)荷載的速度頻率同步效應(yīng)。在動(dòng)應(yīng)力分析時(shí)，選取不同頻率進(jìn)行計(jì)算，圖6中，計(jì)算參數(shù)μ*=4.0×106N/m2,λ*=4.0×106N/m2，圖7中，計(jì)算參數(shù)μ*=1.0×107N/m2,λ*=1.0×107N/m2，圖8中，計(jì)算參數(shù)μ*=1.0×108N/m2,λ*=1.0×108N/m2，其余參數(shù)與表1及表2一致。這里計(jì)算了附加動(dòng)荷載在不同硬度土層里的動(dòng)應(yīng)力，將其除以自重恒載靜止情況下的應(yīng)力，得到動(dòng)力放大系數(shù)φd，以此表征動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)的程度。

從圖6中可見，無論是正應(yīng)力σz，還是剪應(yīng)力τxz，不同深度處應(yīng)力的動(dòng)力放大系數(shù)都是先隨頻率增加，隨后隨著速度和頻率的同時(shí)增大，呈現(xiàn)波動(dòng)性的變化規(guī)律；另外，深度越大，曲線的峰值越大，說明深度越大，附加動(dòng)荷載的速度頻率同步效應(yīng)越顯著。圖6(a)與圖6(b)相比較，剪應(yīng)力τxz的動(dòng)力放大系數(shù)明顯大于正應(yīng)力σz的動(dòng)力放大系數(shù)，說明剪切應(yīng)力的速度頻率同步效應(yīng)越顯著，而目前的很多研究都往往忽視移動(dòng)荷載的剪切應(yīng)力。圖7和圖8有類似的性質(zhì)。

從圖6～圖8中可見，圖8中的動(dòng)力放大系數(shù)隨著頻率變化，曲線比較平坦，說明，拉梅常數(shù)越大，即土層越硬，相應(yīng)的動(dòng)力放大系數(shù)隨頻率的曲線變化得越緩慢。

圖6 不同深度應(yīng)力動(dòng)力放大系數(shù)隨速度的變化(μ*=4.0×106N/m2,λ*=4.0×106N/m2)Fig.6Changeofdynamicstressamplificationcoefficientwithloadmovingfrequencyindepth圖7 不同深度應(yīng)力動(dòng)力放大系數(shù)隨速度的變化(μ*=1.0×107N/m2,λ*=1.0×107N/m2)Fig.7Changeofdynamicstressamplificationcoefficientwithloadmovingfrequencyindepth圖8 不同深度應(yīng)力動(dòng)力放大系數(shù)隨速度的變化(μ*=1.0×108N/m2,λ*=1.0×108N/m2)Fig.8Changeofdynamicstressamplificationcoefficientwithloadmovingfrequencyindepth

3.3自重荷載和附加動(dòng)荷載對動(dòng)應(yīng)力影響的比較

將自重恒載和附加動(dòng)荷載兩者所引起的動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行比較分析。

圖3和圖6對比，μ*=1.0×106N/m2,λ*=1.0×106N/m2，其余計(jì)算參數(shù)相同，圖3中當(dāng)速度超過40 m/s后，恒載所引起的動(dòng)應(yīng)力急劇增大，而圖6中(對應(yīng)頻率大于20 Hz)附加動(dòng)荷載所引起的動(dòng)應(yīng)力未見較大的波動(dòng)。所以在軟土中，當(dāng)速度較大時(shí)，恒載的速度效應(yīng)對地基動(dòng)應(yīng)力的影響更大。

圖5和圖8比較，計(jì)算參數(shù)相同，μ*=1.0×108N/m2,λ*=1.0×108N/m2，汽車在速度由0～60 m/s的變化過程，同時(shí)也是頻率由0～30 Hz過程，兩者是對應(yīng)的，圖5中汽車自重恒載部分引起的地基動(dòng)應(yīng)力的動(dòng)力放大系數(shù)隨速度的增大基本沒變，而圖8中汽車附加動(dòng)荷載隨速度增大(頻率同時(shí)增大)的變化明顯。圖4和圖7對比，μ*=1.0×107N/m2,λ*=1.0×107N/m2，其余計(jì)算參數(shù)相同，圖4中汽車自重恒載部分引起的地基動(dòng)應(yīng)力的動(dòng)力放大系數(shù)在速度由0～40 m/s的范圍內(nèi)基本無變化，只有超過40 m/s后才有一定的增大，而圖7中的汽車附加動(dòng)荷載的動(dòng)力放大系數(shù)在0～40 m/s(對應(yīng)0～20 Hz)范圍就有較大的波動(dòng)性?？梢缘玫浇Y(jié)論，在拉梅常數(shù)變大的情況下，即土層硬度變大，汽車的自重恒載部分引起的地基的動(dòng)力響應(yīng)，尤其是速度不是很大時(shí)(未達(dá)到地基的瑞利波速)，基本不受速度的影響，而汽車的附加動(dòng)荷載引起的地基動(dòng)應(yīng)力受速度的影響更大。

所以，附加動(dòng)荷載引起的動(dòng)應(yīng)力很值得我們探討。

4附加動(dòng)荷載在有較厚較硬路面的地基中的影響分析

在現(xiàn)實(shí)情況下，道路往往具有較硬較厚的路面，而下部為相對較軟土層，堅(jiān)硬的路面會(huì)提高地基的瑞利波速，對動(dòng)應(yīng)力產(chǎn)生一定影響，所以有必要對附加動(dòng)荷載在此情況下的動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行分析。荷載取表1中的參數(shù)，地基取表3中參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，路面取較大的拉梅常數(shù)，并且厚度取1 m，而土層取較小的拉梅常數(shù)。

4.1附加動(dòng)荷載的速度頻率同步效應(yīng)

圖9為不同深度應(yīng)力的動(dòng)力放大系數(shù)φd隨速度的變化情況，由于附加動(dòng)荷載頻率和速度的同步性，其也可以視為隨頻率的變化。

從圖9中可見，無論是正應(yīng)力σz，還是剪應(yīng)力τxz，不同深度處應(yīng)力的動(dòng)力放大系數(shù)φd都是先隨速度增加，隨后隨著速度和頻率的同步增大，呈現(xiàn)上下波動(dòng)的變化規(guī)律。應(yīng)當(dāng)指出的是，自重恒載所產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力只有當(dāng)速度達(dá)到瑞利波速(此處土體瑞利波速為103 m/s)時(shí)才會(huì)有很大的速度效應(yīng)，小于50%瑞利波速的情況下速度效應(yīng)不顯著[7]，而圖9中附加動(dòng)荷載產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力在速度小于50%瑞利波速(即51 m/s)時(shí)就有明顯的上下波動(dòng)，速度的動(dòng)力效應(yīng)很顯著。這是由于附加動(dòng)荷載的速度和頻率同步增大造成的結(jié)果，這個(gè)特性就是附加動(dòng)荷載的速度頻率同步效應(yīng)，而以往的研究往往只考慮自重恒載的速度效應(yīng)。另外，z=6 m的曲線較z=4 m和z=2 m的曲線的上下波動(dòng)更明顯，說明深度越深，附加動(dòng)荷載對動(dòng)應(yīng)力的速度頻率同步效應(yīng)更顯著。

表3　 地基物理力學(xué)參數(shù)

圖9　不同深度應(yīng)力的動(dòng)力放大系數(shù)隨速度的變化Fig.9 Change of dynamic stress amplification coefficient with load moving speed in different depth

圖9(b)與圖11(a)相比較，剪應(yīng)力τxz的動(dòng)力放大系數(shù)φd明顯大于正應(yīng)力σz的動(dòng)力放大系數(shù)φd。圖9(b)中的z=4 m和z=6 m的曲線的峰值超過1倍，說明附加動(dòng)載產(chǎn)生的剪切動(dòng)應(yīng)力超過了自重恒載產(chǎn)生的剪應(yīng)力，在z=6 m的曲線最大值甚至達(dá)到1.6倍。

綜上所述，在具有較厚較硬路面的情況下，附加動(dòng)荷載對地基動(dòng)應(yīng)力的速度頻率效應(yīng)作用也很顯著，并且附加動(dòng)載所產(chǎn)生的剪應(yīng)力在一些峰值處已經(jīng)超過了自重恒載產(chǎn)生的剪應(yīng)力。

4.2不平順波長對附加動(dòng)荷載產(chǎn)生的地基動(dòng)應(yīng)力的影響

道路的不平順波長λt是代表了路面不平整程度的一個(gè)重要參數(shù)，對附加動(dòng)荷載產(chǎn)生的地基動(dòng)應(yīng)力有很大影響。其中軌道隨機(jī)不平順波長范圍較廣，根據(jù)波長分為短波不平順(λt<1 m)、中波不平順(1 m≤λt<30 m)和長波不平順(30 m≤λt<200 m)，由于長波不平順對動(dòng)應(yīng)力作用較小，所以只對短波和中波不平順進(jìn)行研究。圖10為在不同不平順波長下，地基動(dòng)應(yīng)力隨速度的變化情況。

圖10　不同速度下動(dòng)力放大系數(shù)隨不平順波長的變化Fig.10 Change of dynamic stress amplification coefficient with irregularity wavelength in different speed

圖10中λt分別取值0.5 m、1 m、2 m、10 m的情況，其余參數(shù)與表1及表3一致。從圖10(a)中，λt為0.5 m曲線隨速度快速增長，其應(yīng)力的最大值達(dá)到13.7 kPa。λt為1 m、2 m的兩條曲線隨速度都緩慢增長，其增長幅度不及0.5 m的曲線。λt為10 m時(shí)，應(yīng)力隨速度的變化很小。圖10(b)中, 剪應(yīng)力τxz隨速度增大呈現(xiàn)上下波動(dòng)的情況，并且不平順波長λt越小，其波動(dòng)幅度越大。λt為10 m時(shí)，剪應(yīng)力隨速度的變化很小。從圖10中可見，λt大于1 m的曲線，其隨速度的增加變化都很緩慢，而λt為0.5 m的曲線隨速度的變化很顯著，這說明短波不平順引起的動(dòng)應(yīng)力的速度效應(yīng)很顯著，而中波不平順引起的動(dòng)應(yīng)力的速度效應(yīng)就不明顯。

5不平順路面下車輛在地基中的動(dòng)應(yīng)力分析

真實(shí)路基中的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)為車輛的多個(gè)輪載耦合結(jié)果，這里考慮為四個(gè)輪子的移動(dòng)荷載，車輪荷載分布見圖11，輪載參數(shù)與表1一致，路面及下部土層參數(shù)見表3，車輪間距da=3 m，dw=1.5 m，車輛速度c=90 m/s，車輛沿x軸正方向前進(jìn)，在觀察點(diǎn)位置觀察2 m深度處采用本文方法得到總動(dòng)應(yīng)力隨時(shí)間的變化，并與4倍荷載下單輪荷載情況進(jìn)行比較，如圖12所示。

圖11　車輛計(jì)算模型Fig.11 Computational model of a car

可以看出，在t=0 s時(shí)，四輪荷載的動(dòng)應(yīng)力水平軸要明顯低于單輪荷載，但隨時(shí)間延長，兩條曲線趨于一致，隨著時(shí)間的繼續(xù)增大，四輪荷載的動(dòng)應(yīng)力又高于單輪荷載，且與不平順波長相關(guān)。圖12(a)、(b)、(c)給出不同不平順波長下的路基動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)曲線表明，不平順波長越短(即路面越不平整)，曲線波動(dòng)的頻率越高，單輪和四輪荷載的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)差異越大。

圖12　四輪荷載與單輪荷載總應(yīng)力的比較(x=0，y=0，z=2，c=90 m/s)Fig.12 Comparison between four wheels’ dynamic stress response and one wheel’s stress response

6結(jié)論

采用矩陣遞推方法求解了多層飽和半空間的各應(yīng)力，并分析了不平順路面的飽和半空間在移動(dòng)交通荷載作用下的應(yīng)力情況，分析得到如下的結(jié)論：

(1) 在分層地基半空間模型中，自重恒載的動(dòng)應(yīng)力動(dòng)力放大系數(shù)曲線會(huì)在接近瑞利波速時(shí)出現(xiàn)一個(gè)峰值，不同深度曲線的峰值所對應(yīng)的移動(dòng)速度不同，這正是分層地基半空間模型計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)。

(2) 在很軟的土層中，當(dāng)速度較大時(shí)，自重恒載的速度效應(yīng)對地基動(dòng)應(yīng)力的影響更大；當(dāng)土層硬度變大，自重恒載部分引起的地基的動(dòng)力響應(yīng)，尤其當(dāng)速度不是很大時(shí)(未達(dá)到地基的瑞利波速)，基本不受速度的影響，而附加動(dòng)荷載引起的地基動(dòng)應(yīng)力受速度的作用更大。

(3) 深度越大，附加動(dòng)荷載的速度頻率同步效應(yīng)越顯著；附加動(dòng)荷載所產(chǎn)生的剪應(yīng)力的速度頻率同步效應(yīng)比正應(yīng)力更顯著。

(4) 在具有較厚較硬路面的情況下，附加動(dòng)荷載對地基動(dòng)應(yīng)力的速度頻率同步效應(yīng)作用也很顯著，并且附加動(dòng)載所產(chǎn)生的剪應(yīng)力在一些峰值處已經(jīng)超過了自重恒載產(chǎn)生的剪應(yīng)力。

(5) 短波不平順引起的動(dòng)應(yīng)力隨速度顯著增大，而中波不平順引起的動(dòng)應(yīng)力的速度效應(yīng)就不明顯。

(6) 四輪荷載誘發(fā)的最大動(dòng)應(yīng)力水平小于單輪荷載，并依賴于路面不平順的波長。在高速移動(dòng)的車輛作用下，不平順的路面會(huì)造成地基的劇烈振動(dòng)，不平順波長越短(即路面越不平整)，振動(dòng)得越劇烈。

[ 1 ] Huang M S, Yao Z M. Analysis of traffic-load-induced permanent settlement of highway embankment on soft clay ground[C]//Advances in Transportation Geotechnics II. Taylor & Francis Group, 2012: 110-117.

[ 2 ] Chai J C, Miura N. Traffic-load-induced permanent deformation of road on soft subsoil[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2002, 128(11):907-916.

[ 3 ] 曹源文, 梁乃興, 于清,等. 路面不平整引起的車輛動(dòng)載計(jì)算方法[J].交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào), 2008，8(2):69-74.

CAO Yuan-wen, LIANG Nai-xing, YU Qing, et al. Undrained calculating method of vehicle dynamic load caused by uneven pavement[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2008,8(2):69-74.

[ 4 ] Biot M A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. 1. Low-frequency range [J]. Acoust Soc Am 1956,28(2):168-178.

[ 5 ] Biot M A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media [J]. Appl Phys,1962, 33(4):1482-1498.

[ 6 ] Siddharthan R, Zafir Z, Norris G M. Moving load response of layered soil. I: formulation; II: verification and application [J]. Eng Mech, 1993, 119(10): 2052-2089.

[ 7 ] Theodorakopoulos D D. Dynamic analysis of a poroelastic half-space soil medium under moving loads [J]. Soil Dynam Earthquake Engineering,2003,23: 521-533.

[ 8 ] Theodorakopoulos D D, Chassiakoos A P. Dynamic effects of moving load on poroelastic soil medium by an approximate method [J]. International Journal of Solids and Structures,2004, 41: 1801-1822.

[ 9 ] Jin B. Stresses and excess pore pressure induced in saturated poroelastic halfspace by moving line load [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering,2004, 24: 168-174.

[10] Lu J F, Jeng D S. A half-space saturated poro-elastic medium subjected to a moving point load [J]. International Journal of Solids and Structures,2007, 44:573-586.

[11] Cai Y Q, Cao Z G, S H L, et al. Dynamic response of pavements on poroelastic half-space soil medium to a moving traffic load [J]. Computers and Geotechnics,2009,36:52-60.

[12] Cai Y Q, Cao Z G, S H L, et al. Effects of the dynamic wheel-rail interaction on the ground vibration generated by a moving train [J]. International Journal of Solids and Structures,2010, 47: 2246-2259.

[13] Lefeuve-Mesgouez G, Mesgouez A. Three-dimensional dynamic response of a porous multilayered ground under moving loads of various distributions [J]. Advances in Engineering Software,2012, 46: 75-84.

[14] Xu B, Lu J F, Wang J H. Dynamic response of a layered water-saturated half space to a moving load[J]. Computers and Geotechnics,2008, 35: 1-10.

[15] Xu B, Lu J F, Wang J H. Dynamic response of an infinite beam overlying a layered poroelastic half-space to moving loading[J].Journal of Sound and Vibration,2007,306:91-110.

[16] 鐘陽，王哲人，張肖寧.不平整路面上行駛的車輛對路面隨機(jī)動(dòng)壓力的分析[J]. 中國公路學(xué)報(bào),1992,5(2):40-43.

ZHONG Yang,WANG Zhe-ren, ZHANG Xiao-ning. Random dynamic pressure of moving vehicle on roughpavement[J]. China Journal of Highway and Transport, 1992, 5(2): 40-43.

[17] 孫璐，鄧學(xué)均. 路面動(dòng)荷載數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)[J]. 西安公路交通大學(xué)學(xué)報(bào), 1996, 16(4): 50-53.

SUN Lu,DEN Xue-jun. Mathematic model and experiment design of pavement dynamic load[J]. Journal of Xi’an Highway University, 1996, 16(4): 50-53.

[18] 周華飛，蔣建群，毛根海. 路面不平整引起的車輛動(dòng)荷載分析[J]. 中國市政工程, 2002, 25(3): 10-13.

ZHOU Hua-fei, JIANG Jian-qun, MAO Gen-hai. Analysis of dynamic vehicle load caused by pavement roughness[J]. China Municipal Engineering,2002,25(3):10-13.

[19] Hardy M S A, Cebon D. Importance of speed and frequency in flexible pavement response[J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1994, 120(3): 463-482.

[20] 王晅. 隨機(jī)荷載作用下柔性路面結(jié)構(gòu)及路基動(dòng)力響應(yīng)研究[D]. 長沙：中南大學(xué), 2006.

[21] 姚海林, 盧正, 羅海寧, 等. 交通荷載作用下Kelvin 地基上不平整路面的動(dòng)力響應(yīng)分析[J]. 巖土力學(xué),2009,30(4):890-896.

YAO Hai-lin, LU Zheng, LUO Hai-ning, et al. Dynamic response of rough pavement on Kelvin foundation subjected to traffic loads[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(4): 890-896.

[22] 盧正，姚海林，胡智. 基于車輛-道路結(jié)構(gòu)耦合振動(dòng)的不平整路面動(dòng)力響應(yīng)分析[J]. 巖土工程學(xué)報(bào),2013,35(1):232-238.

LU Zheng, YAO Hai-lin, HU Zhi. Dynamic response analysis of rough pavement under vehicle-road system coupled vibration[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2013, 35(1):232-238.

[23] 蔡袁強(qiáng)，王玉，曹志剛，等. 列車運(yùn)行時(shí)由軌道不平順引起的地基振動(dòng)研究[J]. 巖土力學(xué), 2012, 33(2): 327-335.

CAI Yuan-qiang，WANG Yu，CAO Zhi-gang，et al. Study of ground vibration from trains caused by track irregularities[J]. Rock and Soil Mechanics,2012, 33(2): 327-335.

[24] 馮青松，雷曉燕，練松良. 軌道隨機(jī)不平順影響下高速鐵路地基動(dòng)力分析模型[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2013, 26(6): 927-934.

FENG Qing-song, LEI Xiao-yan, LIAN Song-liang. A dynamic model of ground for high-speed railway with track random irregularities[J]. Journal of Vibration Engineering,2013,26(6):927-934.

[25] Priest J A, Powrie W, Yang L, et al. Measurements of transient ground movements below a ballasted railway line[J]. Geotechnique,2010, 9:667-677.

附錄A

T11=T12=T13=T14=T37=T38=iξx,

T31=-T32=γf,T33=-T34=γs,

T35=T36=-iηy,

T51=-T52=2iγfμξx,T53=-T54=2iγsμξx,

T55=T56=2ηyμξx,

T61=-T62=2iγfμηy,T63=-T64=2iγsμηy,

T75=-T76=-2iγtμηy,

T75=-T76=2iγtμξx,

T85=T86=T87=T88=0

附錄B

Em為對角矩陣，E11=-E22=eh·γf，E33=-E44=eh·γs，E55=E77=-E66=-E88=eh·γt，其余元素為0。

Influences of vehicle dynamic load on dynamic stress in saturated poro-elastic ground

ZHOU Ren-yi1,2, QIAN Jian-gu1,2, HUANG Mao-song1,2

(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Here, the influences of dynamic component of vehicle load (caused by pavement roughness) on the dynamic stress responses in poroelastic ground were studied. By introducing an analytical solution to the three-dimensional dynamic stress in a saturated poroelastic half space subjected to a harmonic rectangular moving load, the solutions to a multi-layered saturated poroelastic half space under moving loading were derived using the transfer matrix method. Numerical results were obtained by performing inverse Fourier transformation. In the case of rough road in a saturated poroelastic half space, the numerical results were obtained and used to analyze the influences of the dynamic component of vehicle load (caused by pavement roughness) on the dynamic stress responses in the half space. The results showed that the advantages of the multi-layered poroelastic half space computing model and the stiffness of soil are important to the dynamic stress responses in the half space; the speed and frequency effects of this load affect the dynamic stress in the ground dramatically; in the case of a ground with thick and stiff pavement, the maximum value of shear stress caused by the dynamic component is larger than that caused by vehicle weight; the wavelength of rough pavement has an important effect on the dynamic stress responses, specially, the shorter wavelength of pavement roughness does; in the case of a fast moving car with four wheels, remarkable vibration is caused by pavement roughness and the shorter the wave length of pavement roughness, the stronger the ground vibration.

traffic loading; dynamic stress response; saturated poroelastic ground; rough pavement

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.015

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41272291;51238009;51578413)

2015-01-29修改稿收到日期：2015-04-20

周仁義 男，博士生，1980年7月生

錢建固 男，教授,博士生導(dǎo)師，1972年生

TU435

A