及春寧， 陳威霖， 徐萬海

(1.天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津　300072; 2.四川大學 水力學與山區(qū)河流開發(fā)保護國家重點實驗室，成都　610065)

正方形順排排列四圓柱流致振動響應研究

及春寧1,2， 陳威霖1， 徐萬海1

(1.天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津300072; 2.四川大學 水力學與山區(qū)河流開發(fā)保護國家重點實驗室，成都610065)

對間距比s/D=5.0正方形順排排列四圓柱流致振動進行了數(shù)值模擬研究，圓柱僅橫流向振動，雷諾數(shù)為Re=100，折合流速為Ur=2.0～50.0。研究發(fā)現(xiàn)，上游兩圓柱的響應與單圓柱渦激振動相似，呈現(xiàn)出明顯的初始分支和下端分支。上游兩圓柱的振幅均在折合流速Ur=4.4時達到最大值Ymax/D=0.56，與單圓柱渦激振動最大振幅Ymax/D=0.57相近。下游兩圓柱的振幅在折合流速Ur=7.9時達到最大值Ymax/D=0.997，比單圓柱渦激振動最大振幅增大了74.8%。正方形順排排列四圓柱流致振動響應中出現(xiàn)了三個不對稱區(qū)間，分別為第一不對稱區(qū)間4.510.5。圓柱不對稱的振動響應特性和圓柱間隙流穩(wěn)定偏斜有關。

流致振動；正方形排列；圓柱；振動響應

前人對單圓柱渦激振動的研究已經(jīng)取得了諸多成果[1-4]。相比之下，對圓柱群流致振動的研究則要少很多，但也取得了一些重要的結(jié)論。

在正方形排列四圓柱繞流方面，Sayers[5-6]的風洞實驗研究發(fā)現(xiàn)：當圓柱間距比s/D≥4.0時，每個圓柱的St數(shù)都等于單圓柱的情況。Zou等[7]對雷諾數(shù)Re=200、間距比s/D=1.2～5.0的菱形排列四圓柱繞流研究發(fā)現(xiàn)：隨著間距比的增加，流動模式依次為單一鈍體模式、窄間隙流模式和旋渦碰撞模式。Esfahani等[8]應用LBM(Lattice Boltzmann Method)方法研究了正方形排列四圓柱繞流，雷諾數(shù)Re=100，間距比s/D=1.5～4.5。研究發(fā)現(xiàn)：存在3種不同的流動模式，分別為穩(wěn)定屏蔽流、擺動屏蔽流和旋渦脫落模式。Lam等[9]實驗研究了間距比s/D=1.28～5.96的正方形排列四圓柱繞流，發(fā)現(xiàn)：當s/D≤1.54時，下游兩圓柱后尾流出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)模式，其中一個圓柱后的尾流為窄尾流，另一個圓柱后的尾流為寬尾流；而當4.47

在正方形排列四圓柱流致振動方面，相關研究非常少，取得的成果也非常有限。Zhao等[17]運用RANS方法，對雷諾數(shù)Re=103～2×104、來流攻角α=0°～45°的正方形排列四圓柱流致振動(兩向自由度)進行了數(shù)值模擬研究，其中間距比為s/D=3.0，質(zhì)量比為m*=2.0，阻尼系數(shù)ξ=0.001。研究發(fā)現(xiàn)：當α=15°時，鎖定區(qū)域的范圍最寬，對應折合流速范圍為Ur=3～12；當α=45°時，鎖定區(qū)域的范圍最窄，對應折合流速范圍為Ur=2～4；當α=30°時，在Ur=5～9范圍內(nèi)發(fā)生鎖定；當α=0°時，鎖定范圍為Ur=3～9。鎖定區(qū)域以外，振動通常是不規(guī)律的，鎖定區(qū)域以外的主導頻率隨著折合流速的增加而增加。徐楓等[18]對雷諾數(shù)Re=200、間距比s/D=2.5～6.0的正方形排列四圓柱流致振動進行了數(shù)值模擬，研究發(fā)現(xiàn)：上游圓柱的橫向振幅較大，最大橫向振幅達到了0.82D，遠大于相同參數(shù)條件下單圓柱渦激振動的最大振幅，流向振幅的最大值也達到了0.66D；下游圓柱的最大橫向和流向振幅可達到0.75D；圓柱繞流研究中所出現(xiàn)的對稱或者反對稱的尾渦模式消失，取而代之的是更加復雜的尾渦模式；當間距比s/D=2.5～6.0時，旋渦從上游圓柱脫落，尾渦模式不規(guī)則。

從已有的研究成果看，正方形排列四圓柱流致振動的復雜性高，此方面的研究成果較少，有必要對其振動響應展開精細化研究。

1數(shù)值方法

1.1控制方程

流固耦合數(shù)值模擬采用浸入邊界法[19]，控制方程如下：

(1)

·u=0

(2)

式中：u為速度，t為時間，p為壓強，ν為運動黏滯系數(shù)，為梯度算子，f為附加體積力矢量，代表流固耦合邊界條件。

對以上控制方程采用二階精度的Adams-Bashforth時間格式進行離散，可得控制方程的守恒形式如下：

(3)

·un+1=0

(4)

(5)

式中：I和D為插值函數(shù)，Vn+1為物面邊界速度，上標n+1，n+1/2，n，n-1為時間步。

針對傳統(tǒng)浸入邊界法施加邊界條件精度不高的情況，及春寧等[19]提出了基于嵌入式迭代的浸入邊界法，將浸入邊界法嵌入到壓強泊松方程的迭代求解中，利用壓強的中間解比初始值更接近真實值的特點，迭代修正附加體積力，在不顯著增加計算耗時的前提下，提高整個算法的求解精度。有關嵌入式迭代浸入邊界法的細節(jié)，請參考文獻[19]，此處不再贅述。

對僅做橫流向運動的剛性圓柱體，其運動方程可以用下述方程來描述：

(6)

式中：m為圓柱體質(zhì)量，c為結(jié)構(gòu)阻尼，k為彈簧剛度系數(shù)，F(xiàn)y為圓柱受到的橫流向流體力。方程采用標準Newmark-β法求解。

1.2問題描述

計算域邊界條件設置如下。入口邊界為Dirichlet型邊界條件(u=1,v=0)；出口邊界為Neumann型邊界條件(?u/?x=0,?v/?x=0)；上下邊界為自由滑移邊界條件(?u/?y=0,v=0)。

為了滿足Courant-Friedrichs-Lewy條件，即CFL=UΔt/Δx≤0.5，時間步長取為Δt=0.006。

圖1　計算域與邊界條件Fig.1 Computational domain and boundary conditions

2程序驗證

通過單圓柱繞流算例(Re=100)驗證本文數(shù)值模擬方法的正確性。將數(shù)值計算得到的圓柱阻力系數(shù)CD、升力系數(shù)CL和斯托勞哈爾數(shù)St與已有文獻結(jié)果進行對比，如表1所示?？梢?，本文數(shù)值模擬結(jié)果與已有數(shù)值模擬[20-23]和實驗[24]結(jié)果吻合較好，驗證了本文數(shù)值方法的正確性。需要說明的是，本文采用的模型和程序已在文獻[25-26]中針對多種算例(如單圓柱繞流/渦激振動、串列雙圓柱繞流/流致振動等)進行了充分驗證，讀者可自行查閱。

3結(jié)果和討論

3.1正方形順排排列四圓柱振動響應

如圖2所示，與單圓柱渦激振動響應相似，上游兩圓柱(圓柱1和2)的振動響應呈現(xiàn)為初始分支和下端分支，且最大振幅(Ymax/D=0.56)和鎖定區(qū)間(4.4

表1　Re=100的單圓柱繞流的阻力系數(shù)CD、升力系數(shù)CL以及斯托勞哈爾數(shù)St與已有結(jié)果的比較

下游兩圓柱(圓柱3和4)的振動響應更為復雜，難以辨認出分支結(jié)構(gòu)，但總的來說表現(xiàn)為雙峰結(jié)構(gòu)。第一個振幅峰值較小(Ymax/D=0.57)，出現(xiàn)在Ur=4.0附近，第二個峰值較大(Ymax/D=0.997)，在Ur=7.9附近取得，該值要比單圓柱渦激振動的最大值(Ymax/D=0.56)大了74.8%，如圖2所示。與上游圓柱振幅以及單圓柱渦激振動振幅相比，當折合流速Ur≤3.5時，下游圓柱的振幅明顯較大，這說明：當Ur≤3.5時上游圓柱的存在對下游圓柱振動起到促進作用。隨折合流速的增大，下游圓柱振幅在Ur=4.1附近達到第一個峰值，隨后出現(xiàn)小幅下降。當4.1

圖2　響應振幅隨折合流速變化情況Fig.2 Variation of the vibration amplitude with the reduced velocity

整體而言，下游圓柱振幅表現(xiàn)為先增后減的趨勢，并沒有體現(xiàn)出紊流條件下串列雙圓柱的尾流馳振的特點，即：隨著折合流速的增加，下游圓柱振幅單調(diào)增大。這主要是由于：與紊流條件下的尾流馳振相比，層流條件下上游圓柱尾渦強度較低，對下游圓柱擾動不足，下游圓柱缺乏大幅振動的動力。此外，層流較大的黏滯性導致振動耗散的能量較多，也促使下游圓柱振幅隨折合流速逐漸降低。

與以往的研究結(jié)果[18]不同，本文結(jié)果中出現(xiàn)了上游兩圓柱和下游兩圓柱振幅不相等的情況，出現(xiàn)在三個折合流速范圍內(nèi)，分別稱為振幅第一不對稱區(qū)間4.5

根據(jù)文獻[27]的結(jié)論，圓柱振幅不對稱情況的出現(xiàn)與圓柱后尾流的不對稱性有關。圖3分別給出了Ur=4.4(對稱振動)和Ur=5.0(非對稱振動)的尾渦圖。兩種工況相比，圓柱振幅相差不大。由圖3(a)可知，當Ur=4.4時，圓柱尾流關于圓柱的中心線對稱，下游圓柱后方形成兩列平行渦街，并一直延伸很遠。然而，對于Ur=5.0的工況，尾流關于圓柱中心線不對稱，下游圓柱間的間隙流穩(wěn)定地偏斜向一個圓柱(圓柱4)，在一個圓柱(圓柱3)后面形成較寬的尾流，而另一個(圓柱4)則形成較窄的尾流。寬尾流表現(xiàn)為平行渦街，而窄尾流則表現(xiàn)為交替渦街。仔細觀察上游圓柱的尾流，發(fā)現(xiàn)：兩尾流也并非對稱，圓柱2的脫渦時機要早于圓柱1的。在此影響之下，圓柱3的脫渦也要早于圓柱4的。在下游圓柱的尾流中，由于圓柱3脫渦時，圓柱4的漩渦仍未脫落，因此從圓柱3上脫落的漩渦側(cè)向發(fā)展受到圓柱4的干擾較小，所形成的渦街基本關于圓柱振動平衡位置對稱，與單圓柱渦激振動的相似。而從圓柱4上脫落的漩渦由于受到從圓柱3上已經(jīng)脫落漩渦的壓迫，所形成的渦街更偏向圓柱4的外側(cè)，故而在下游圓柱之間形成了穩(wěn)定偏斜的間隙流。

圖3　折合流速Ur=4.4和Ur=5.0工況的尾渦模式Fig.3 The wake patterns for the cases with the reduced velocity of Ur=4.4 and Ur=5.0

圖4　升力系數(shù)均方根值隨折合流速變化情況Fig.4 Variation of the r.m.s value of the lift coefficient with the reduced velocity

圖4給出了圓柱受到的升力均方根值隨折合流速的變化。不難看出，上游兩圓柱受到的升力均方根值與單圓柱渦激振動的情況相似，最大值CL,rns=1.201略小于單圓柱的情況CL,rns=1.306。然而，下游圓柱的升力均方根值卻表現(xiàn)出截然不同的趨勢。當折合流速較小時，下游圓柱受到的升力均方根值隨著折合流速逐漸增大，并在Ur=3.5處達到最大值CL,rns=1.236。在此區(qū)間內(nèi)(Ur<3.5)，下游圓柱的升力均方根值遠大于上游圓柱的。隨著折合流速的增大，下游圓柱的升力均方根值快速降低，而上游圓柱的快速增大。在3.8

圖5給出了圓柱受到的阻力均值隨折合流速的變化。上游圓柱的阻力均值的變化趨勢與單圓柱渦激振動的大體一致，但數(shù)值上較小，尤其在振幅較大的鎖定區(qū)間內(nèi)。下游圓柱由于受到上游圓柱的遮蔽作用，除了在6.9

圖5　阻力均值隨折合流速變化情況Fig.5 Variation of the mean drag coefficient with the reduced velocity

圖6給出了圓柱振動平衡位置偏離初始位置的偏移量隨折合流速變化的情況。總體來說，隨著折合流速的增大，偏移量也逐漸增大，這與本文通過減小彈簧系數(shù)來增大折合流速有關。需要說明的是，圓柱2和3向上偏移為正，而圓柱1和4向下偏移為正。在振幅的三個不對稱區(qū)間內(nèi)，偏移量也出現(xiàn)了不對稱的情況，最大的偏移量差值約為0.1D，出現(xiàn)在Ur=7.2附近。

圖6　平衡位置偏移量隨折合流速變化情況Fig.6 The shift of the balanced positions varying with the reduced velocity

3.2與串列雙圓柱流致振動響應對比

將正方形順排排列四圓柱流致振動(取圓柱2和3)與相同條件下串列雙圓柱流致振動響應(間距比s/D=5.0)進行對比，分析兩者的不同，如圖7所示。

當折合流速Ur≤3.5時，串列上游圓柱和圓柱2的響應均較??；與串列上游圓柱相比，圓柱2的振幅不論是大小還是增長速率都要稍大。當折合流速Ur>3.5以后，圓柱2和串列上游圓柱的振幅急劇增加，串列上游圓柱在折合流速Ur=4.4時取得最大振幅Ymax/D=0.529，稍大于圓柱2的最大振幅Ymax/D=0.575(在折合流速Ur=4.7時取得)，這是由于臨近圓柱(圓柱1)對于圓柱2在一定程度上起到了固壁的作用，降低了圓柱2的振幅。在折合流速Ur≥4.7以后，上游圓柱的響應與圓柱2非常接近?？傮w來說，圓柱2與串列上游圓柱的振動響應基本相同。

當折合流速Ur≤3.5時，圓柱3的振幅明顯大于串列下游圓柱的振幅。圓柱3在Ur=3.9處取得第一峰值Ymax/D=0.377，略大于串列下游圓柱在Ur=3.9處取得第一峰值Ymax/D=0.345。然而，圓柱3的第二峰值Ymax/D=0.977卻小于串列下游圓柱的第二峰值Ymax/D=1.015。當折合流速Ur=10.5時，圓柱3的振動響應進入了第三不對稱區(qū)間，相比于折合流速Ur=10.3，振幅發(fā)生了跳躍。與之相比，串列下游圓柱的振幅則表現(xiàn)得較為光滑，沒有出現(xiàn)跳躍?？傮w來說，與串列下游圓柱相比，圓柱3的振動響應趨勢相似，但振幅曲線整體向低折合流速偏移。

綜上可知，正方形順排排列的圓柱2和3的流致振動響應與同條件下串列雙圓柱流致振動響應基本相等，臨近圓柱(圓柱4)對于圓柱3的影響要強于臨近圓柱(圓柱1)對于圓柱2的影響。

圖7　與串列雙圓柱流致振動響應對比Fig.7 Comparison with the vibration amplitude of two tandem circular cylinders

3.3與并列雙圓柱流致振動響應對比

將正方形順排排列四圓柱的圓柱1和2與相同條件下并列雙圓柱流致振動響應(間距比s/D=5.0)進行對比，分析兩者的不同，如圖8所示。

圖8　與并列雙圓柱流致振動響應對比Fig.8 Comparison with the vibration amplitude of two side-by-side circular cylinders

當折合流速Ur≤3.4時，圓柱1和2的振幅略小于并列雙圓柱的振幅。之后，隨著折合流速的增加，圓柱1和2以及并列雙圓柱的響應振幅急劇增加，并列雙圓柱在折合流速Ur=4.0時取得最大振幅Ymax/D=0.56，而圓柱1和2的響應振幅則在折合流速Ur=4.7時取得最大值。此時，四圓柱流致振動正處在第一不對稱區(qū)域內(nèi)，因此兩圓柱的振幅不同，圓柱1的最大振幅為Ymax/D=0.566，圓柱2的最大振幅為Ymax/D=0.575，比并列雙圓柱的振幅分別增大了1%和3%。在此以后，圓柱1和2的振幅一直大于并列雙圓柱的振幅。

整體來看，圓柱1和2的振幅略大于并列雙圓柱的振幅。與并列雙圓柱相比，圓柱1和2振動響應的鎖定區(qū)間向高折合流速偏移，且鎖定區(qū)間的寬度略有增加。此外，間距比s/D=5.0時，并列雙圓柱流致振動中并未出現(xiàn)振幅不對稱現(xiàn)象，這與正方形順排排列四圓柱流致振動的情況不同，與下游圓柱(圓柱3和4)的影響有關。

4結(jié)論

對雷諾數(shù)Re=100間距比s/D=5.0正方形順排排列四圓柱流致振動進行了精細化的數(shù)值模擬研究，其中折合流速為Ur=2.0～50.0，圓柱質(zhì)量比為m*=2.0。對四圓柱流致振動響應展開了深入的分析，并與串列和并列雙圓柱流致振動進行了對比。將主要結(jié)論歸納如下：

(1) 上游兩圓柱的響應與單圓柱渦激振動相似，呈現(xiàn)出明顯的初始分支和下端分支。其中上游兩圓柱的響應振幅均在折合流速Ur=4.4時達到最大值Ymax/D=0.56，與單圓柱渦激振動最大值Ymax/D=0.57(Ur=4.21)相接近；而下游兩圓柱在折合流速Ur=7.9時達到最大值Ymax/D=0.997，比單圓柱渦激振動最大振幅增大了74.8%。

(2) 正方形排列四圓柱流致振動中響應出現(xiàn)了三個不對稱區(qū)間，分別為第一不對稱區(qū)間(Ur=4.5～5.9)、第二不對稱區(qū)間(Ur=6.9～7.2)和第三不對稱區(qū)間(Ur≥10.5)。

(3) 在不對稱區(qū)間內(nèi)，振幅、升力、阻力以及平衡位置偏移量均出現(xiàn)了不對稱的情況，這是由尾流的不對稱性以及間隙流的穩(wěn)定偏斜造成。

(4) 與串列雙圓柱流致振動相比，當折合流速Ur≥4.7以后，圓柱2的振動響應與串列上游圓柱的響應相近；圓柱3和下游圓柱的響應隨折合流速的變化趨勢相同。但是由于臨近圓柱(圓柱4)的存在，圓柱3的響應振幅出現(xiàn)跳躍，且整體向低折合流速偏移。與并列雙圓柱流致振動相比，由于受到下游兩圓柱的影響，圓柱1和2的振動響應與并列雙圓柱有較明顯不同，鎖定區(qū)間向更高的折合流速偏移，且寬度略有增加，并出現(xiàn)了振幅不對稱情況。

本文在圓柱群流致振動的研究中發(fā)現(xiàn)了對稱布置的圓柱群的振動響應不對稱的現(xiàn)象。在不對稱振動區(qū)間內(nèi)，盡管圓柱的振幅相差不大，但圓柱受到的升、阻力系數(shù)和振動平衡位置偏移量有較明顯的差別。比如，當Ur>10.3時，圓柱3和圓柱4受到的升力均方根值分別約為0.4和0.6，相差了約40%(與兩者的均值相比)。并且，這種差別在很廣的折合流速范圍內(nèi)存在。這就使得考慮圓柱群流致振動響應時并不能簡單地認為各圓柱響應相等。該結(jié)論對于實際工程(如海洋立管束的受力計算和防碰撞設計)具有一定的參考價值。

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Flow-induced vibrations of four square-arranged circular cylinders

JI Chun-ning1,2, CHEN Wei-lin1, XU Wan-hai1

(1. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Flow-induced vibrations of four square-arranged circular cylinders with a center-to-center spacing ratio ofs/D=5.0 and zero attack angle were numerically investigated. The vibrations were constrained in cross-flow direction, the reduced flow-velocity was in the range ofUr=2.0～50.0 and Reynolds number was Re=100. Results showed that the responses of two upstream cylinders are similar to those of VIV of an isolated cylinder, the initial and lower branches are clearly observed; the upstream two cylinders reach their maximum vibration amplitude ofYmax/D=0.56 at the reduced flow-velocityUr=4.4, it is close to that of an isolated cylinderYmax/D=0.57; the two downstream cylinders reach their maximum amplitudeYmax/D=0.997 at the reduced flow-velocityUr=7.9, it is 74.8% larger than that of an isolated cylinder; three asymmetric vibration regions are observed, i.e., the first asymmetric vibration region is 4.510.5; the asymmetric vibration features of the cylinders are closely related to asymmetric wake patterns and stably biased gap flows.

flow-induced vibration; square arrangement; circular cylinder; vibration response

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.009

國家自然科學基金創(chuàng)新研究群體科學基金(51321065);國家自然科學基金(51579175;51479135);天津市青年科學基金(12JCQNJC02600);水力學與山區(qū)河流開發(fā)保護國家重點實驗室開放基金(SKHL1303)

2015-01-27修改稿收到日期：2015-06-18

及春寧 男，博士，副教授，1978年生

E-mail：cnji@tju.edu.cn

P751； TB531

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