婁軍強(qiáng), 魏燕定, 李國(guó)平, 楊依領(lǐng), 彭文飛

(1.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江　寧波　315211;2.浙江省零件軋制成形技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 浙江　寧波　315211; 3.浙江大學(xué) 現(xiàn)代制造工程研究所, 杭州　310027)

基于遺傳優(yōu)化算法的柔性機(jī)械臂抑振軌跡規(guī)劃研究

婁軍強(qiáng)1, 2, 魏燕定3, 李國(guó)平1, 2, 楊依領(lǐng)3, 彭文飛1, 2

(1.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江寧波315211;2.浙江省零件軋制成形技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 浙江寧波315211; 3.浙江大學(xué) 現(xiàn)代制造工程研究所, 杭州310027)

為了抑制柔性臂的彈性振動(dòng)，提出一種結(jié)合遺傳優(yōu)化算法和多項(xiàng)式函數(shù)插值的抑振軌跡規(guī)劃方法。基于假設(shè)模態(tài)法和Hamilton原理建立了柔性臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，揭示了抑振軌跡規(guī)劃原理。在軌跡優(yōu)化過(guò)程中，采用五次多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)軌跡控制點(diǎn)的基礎(chǔ)位移值，以軌跡控制點(diǎn)的位移浮動(dòng)值作為待優(yōu)化變量，在滿足初始和終止位置運(yùn)動(dòng)狀態(tài)約束的前提下，基于遺傳算法優(yōu)化得到柔性臂振動(dòng)能量最小的最優(yōu)抑振軌跡。數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了抑振軌跡規(guī)劃方法的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與跟蹤常規(guī)的五次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)軌跡相比，柔性臂在跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)的殘余振動(dòng)最大振幅減小了10倍左右，其衰減時(shí)間由12 s縮短為4.5 s，提高了柔性臂系統(tǒng)的定位控制精度，改善了系統(tǒng)的操作效率。

柔性機(jī)械臂；軌跡規(guī)劃；振動(dòng)抑制；遺傳算法

近年來(lái)，柔性機(jī)械臂在工業(yè)機(jī)械及航空航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1]。與傳統(tǒng)的剛性機(jī)械臂相比，柔性臂具有質(zhì)量輕、能耗低及載荷/自重比高等一系列優(yōu)點(diǎn)，但是結(jié)構(gòu)柔性使柔性臂在執(zhí)行操作任務(wù)和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中極易激起自身低頻、大幅度的彈性振動(dòng)，并持續(xù)很長(zhǎng)時(shí)間，導(dǎo)致整個(gè)柔性臂系統(tǒng)的定位精度和操作效率下降，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)或破壞。因此對(duì)柔性臂振動(dòng)抑制技術(shù)的研究是目前機(jī)器人控制領(lǐng)域中極其重要而又十分活躍的研究課題[2]。

目前柔性臂振動(dòng)控制技術(shù)從廣義上分為兩類(lèi)：反饋和前饋控制技術(shù)[3]：反饋控制技術(shù)借助于驅(qū)動(dòng)電機(jī)或其它作動(dòng)器利用檢測(cè)到的振動(dòng)信息對(duì)柔性臂的彈性振動(dòng)進(jìn)行抑制[4]。這種方法對(duì)外界干擾和系統(tǒng)參數(shù)變化具有很好的適應(yīng)能力，但是在一定程度上也增加了控制系統(tǒng)的成本和難度，并可能對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性帶來(lái)不利影響；另一方面，前饋控制技術(shù)既不需要測(cè)量柔性臂的彈性振動(dòng)信息，也不需要借助于其它作動(dòng)器就可以實(shí)現(xiàn)柔性臂的振動(dòng)抑制。與反饋控制相比，基于前饋控制的振動(dòng)抑制技術(shù)更加簡(jiǎn)單方便、經(jīng)濟(jì)實(shí)用。利用軌跡規(guī)劃方法來(lái)抑制柔性臂的彈性振動(dòng)就是一種前饋控制技術(shù)。其實(shí)質(zhì)是通過(guò)對(duì)柔性臂運(yùn)動(dòng)時(shí)間歷程內(nèi)的狀態(tài)信息(位移、速度及加速度)進(jìn)行合理規(guī)劃，來(lái)達(dá)到盡量避免激起柔性臂彈性振動(dòng)的目的。Park等[5]釆用爬山搜索算法，設(shè)計(jì)了一條用傅里葉級(jí)數(shù)和多形式混合描述的最優(yōu)抑振軌跡。Akira[6]采用B樣條曲線插值，研究了在固定時(shí)間歷程下沿著給定軌跡運(yùn)行的柔性臂最小殘存能量的軌跡規(guī)劃方法。Korayem等[7]利用龐特瑞根原理構(gòu)造了一類(lèi)兩個(gè)邊界值約束的最優(yōu)問(wèn)題模型，解決了柔性臂系統(tǒng)在點(diǎn)到點(diǎn)控制中的最優(yōu)抑振軌跡的求解。目前國(guó)內(nèi)從事柔性臂抑振軌跡規(guī)劃的研究還不是很多，吳立成等[8]根據(jù)空間柔性機(jī)器人處于失重條件的特性，提出了一個(gè)可以直接由運(yùn)動(dòng)軌跡簡(jiǎn)單計(jì)算得到的“激振力”性能指標(biāo)，對(duì)雙桿剛?cè)釞C(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃。邵君奕[9]以柔性臂振動(dòng)幅度的牽連作用力為優(yōu)化指標(biāo)，在滿足系統(tǒng)復(fù)雜工作約束的同時(shí)，減少了柔性機(jī)器人末端的彈性振動(dòng)。徐文福等[10]提出基函數(shù)疊加與粒子群優(yōu)化(PSO)算法相結(jié)合的抑振軌跡規(guī)劃方法，并從數(shù)值仿真的角度驗(yàn)證了其有效性。但是目前的研究大多仍處于理論分析和數(shù)值仿真階段，如何結(jié)合實(shí)際提出一種計(jì)算簡(jiǎn)單、操作方便、并具有較好的實(shí)際抑振效果的軌跡規(guī)劃方法，實(shí)際應(yīng)用中還需進(jìn)行深入研究。

1系統(tǒng)建模

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，研究中以典型的單連桿柔性機(jī)械臂為例，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1。圖中柔性臂根部通過(guò)輪轂與驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸出軸相連，xooyo為慣性坐標(biāo)系，xoy為固聯(lián)在柔性臂根部的浮動(dòng)坐標(biāo)系，τ(t)為輪轂處的驅(qū)動(dòng)力矩，θ(t)為輪轂帶動(dòng)柔性臂轉(zhuǎn)過(guò)的角位移，ρ,A,E,I,l分別為柔性臂的密度、橫截面積、彈性模量、慣性矩以及長(zhǎng)度。從圖中可以看出柔性臂的轉(zhuǎn)動(dòng)和彈性振動(dòng)都限制在水平面內(nèi)，故可以忽略重力的影響，將柔性臂視為簡(jiǎn)單的歐拉—伯努利梁模型。

圖1　單連桿柔性機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of the single-link flexible manipulator

距離柔性臂根部O點(diǎn)x處任意一點(diǎn)P的位置向量p可以表示為

(1)

式中：w(x,t)為P點(diǎn)的橫向彈性變形，r為輪轂半徑。

許多研究者都采用假設(shè)模態(tài)法來(lái)研究旋轉(zhuǎn)柔性機(jī)械臂的非線性動(dòng)力學(xué)特性[11]，且柔性臂的動(dòng)力學(xué)特性主要取決于前幾階低頻振動(dòng)模態(tài)?；诩僭O(shè)模態(tài)法，柔性臂的彈性變形w(x,t)可以表示為

(2)

式中：m為保留的模態(tài)階數(shù)；q(t)=(q1,q2, …,qm)T為廣義模態(tài)坐標(biāo)矢量；Ф (x)=(Ф1, Ф2, …, Фm)為模態(tài)振型矢量，而振型函數(shù)可由相應(yīng)的邊界條件確定。

根據(jù)廣義Hamilton原理，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)、計(jì)算和整理后得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程如下

(3)

(4)

式中：各系數(shù)的具體表達(dá)式如下：

2基于遺傳算法的抑振軌跡規(guī)劃

2.1抑振軌跡規(guī)劃原理

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(3)代表了柔性臂的剛性運(yùn)動(dòng)，該式表明關(guān)節(jié)力矩在驅(qū)動(dòng)柔性臂轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，激起了柔性臂的彈性振動(dòng)，整個(gè)柔性臂系統(tǒng)具有顯著的剛?cè)狁詈咸匦?。而?4)則反映了柔性臂彈性振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性，考慮到柔性臂的阻尼效應(yīng)，并假定其為比例阻尼，得到用于柔性臂抑振軌跡規(guī)劃的動(dòng)力學(xué)方程如下

(5)

式中：Cq為阻尼矩陣。

式(5)中的等號(hào)右邊為柔性臂轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力矩，同時(shí)也是柔性臂振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的外部作用力矩。從式(5)中可以看出：如果不考慮外部干擾，柔性臂的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)是系統(tǒng)剛性運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力矩激勵(lì)下的結(jié)果，且柔性臂在任意時(shí)刻的激振力矩與當(dāng)前剛性部分的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)-轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度有直接關(guān)系。因此在系統(tǒng)理想軌跡的運(yùn)動(dòng)參數(shù)可以精確實(shí)現(xiàn)的情況下，通過(guò)合理地規(guī)劃系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡(位移、速度及加速度)參數(shù)，在滿足系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)約束的同時(shí)，利用剛性運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的激振力來(lái)抑制柔性臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的彈性振動(dòng)，從而減少甚至消除柔性臂在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)停止后的殘余振動(dòng)。

2.2五次多項(xiàng)式軌跡曲線的描述與生成

柔性臂在執(zhí)行操作任務(wù)時(shí)，僅需對(duì)其初始和終止位置的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行約束，完成點(diǎn)到點(diǎn)(Point to Point)的運(yùn)動(dòng)任務(wù)，而不需要考慮具體的運(yùn)動(dòng)軌跡路徑。為了保證柔性臂的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，盡量減少?zèng)_擊，描述機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)必須是連續(xù)的，且其一階、二階導(dǎo)數(shù)最好也是連續(xù)的[12]。目前常用于描述柔性臂軌跡的函數(shù)有多項(xiàng)式函數(shù)、樣條曲線函數(shù)以及擺線函數(shù)等。五次多項(xiàng)式函數(shù)不僅具有形式簡(jiǎn)單、計(jì)算方便及容易滿足系統(tǒng)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡起始和終止位置約束的特點(diǎn)以外，還可以保證運(yùn)動(dòng)軌跡的一階、二階以及更高階次的導(dǎo)數(shù)均是連續(xù)的，因此廣泛用于柔性臂的運(yùn)動(dòng)軌跡控制中，故本節(jié)采用五次多項(xiàng)式函數(shù)作為柔性臂抑振軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)軌跡函數(shù)和插值函數(shù)。

為了實(shí)現(xiàn)柔性臂快速平穩(wěn)地從初始位置運(yùn)動(dòng)到指定位置，需要對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的位移、速度及加速度進(jìn)行約束。定義t0,tf分別為柔性臂運(yùn)動(dòng)的起始時(shí)刻和終止時(shí)刻；θ0,v0,a0為初始時(shí)刻的位置、速度及加速度；θf(wàn),vf,af為終止時(shí)刻的位置、速度及加速度。如果假定柔性臂初始處于靜止?fàn)顟B(tài)，并指定系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)結(jié)束到達(dá)指定位置時(shí)的速度和加速度均為零，可以得到柔性臂運(yùn)動(dòng)的五次多項(xiàng)式軌跡曲線為

(θf(wàn)-θ0)+θ0

(6)

如果選定五次多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)描述柔性臂的運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以通過(guò)給定區(qū)間內(nèi)的離散角位移插值擬合出柔性臂的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，并且分段的五次多項(xiàng)式函數(shù)在插值點(diǎn)上具有四階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的特點(diǎn)。首先將柔性臂的運(yùn)動(dòng)軌跡在時(shí)間軸上等分為n個(gè)時(shí)間間隔，設(shè)定時(shí)間節(jié)點(diǎn)依次為t0,t1, …,tn，而對(duì)應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)ti時(shí)刻柔性臂的角位移為θi。在邊界條件也就是起始、終止點(diǎn)的位移、速度和加速度都已知的情況下，只需要確定起點(diǎn)、終點(diǎn)之間的n-1個(gè)插值點(diǎn)，也稱(chēng)為軌跡控制點(diǎn)，就可以唯一地獲得一條通過(guò)五次多項(xiàng)式樣條曲線插值得到的柔性臂運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。同時(shí)為了提高優(yōu)化效率，加快搜索速度，需要事先剔除一些由于速度、加速度變化幅度變化較大而明顯不符合柔性臂運(yùn)動(dòng)軌跡要求的曲線，可以先通過(guò)一條基準(zhǔn)軌跡曲線離散得到軌跡控制點(diǎn)的基礎(chǔ)位移值，然后對(duì)基礎(chǔ)值進(jìn)行一些浮動(dòng)變化，進(jìn)而得到不同的軌跡控制點(diǎn)位移值，其具體表達(dá)式如下

(7)

2.3基于遺傳算法的抑振軌跡規(guī)劃實(shí)現(xiàn)

在進(jìn)行柔性臂的抑振軌跡規(guī)劃過(guò)程中，為了盡量減少柔性臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的彈性振動(dòng)，使柔性臂在運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的殘余振動(dòng)最小，提出如下目標(biāo)函數(shù)

(8)

式中：Fit(t)為柔性臂彈性振動(dòng)能量，式(8)第一項(xiàng)代表柔性臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的彈性振動(dòng)能量，第二項(xiàng)為柔性臂運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的殘余振動(dòng)能量，λ1和λ2為各自的權(quán)重系數(shù)。顯然如果能夠通過(guò)遺傳算法找到一條使目標(biāo)函數(shù)Fit(t)最小的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可保證柔性臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中及運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的振動(dòng)最小，從而通過(guò)軌跡規(guī)劃來(lái)達(dá)到抑制柔性臂彈性振動(dòng)的目的。

步驟4根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷是否滿足遺傳算法終止條件，如果不滿足則進(jìn)行下一步操作，否則直接跳到步驟7；

步驟5根據(jù)每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，按照一定的概率進(jìn)行選擇、交叉和變異遺傳算子操作，產(chǎn)生新的種群個(gè)體；

步驟6跳到步驟2，循環(huán)遺傳算法的尋優(yōu)過(guò)程；

步驟7輸出目標(biāo)函數(shù)最小的種群個(gè)體值，并根據(jù)遺傳算法搜索得到的最優(yōu)結(jié)果計(jì)算得到柔性臂的最優(yōu)抑振軌跡。

圖2　待優(yōu)化軌跡的離散軌跡角度圖(n=10)Fig.2 Discrete joint angles of the preparative optimization trajectory (n=10)

3數(shù)值計(jì)算

3.1基本參數(shù)設(shè)置

在數(shù)值計(jì)算中，柔性臂的基本參數(shù)如表1所示。由于實(shí)際柔性臂軌跡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的轉(zhuǎn)速不高，常由驅(qū)動(dòng)電機(jī)經(jīng)減速器減速后驅(qū)動(dòng)，因此驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的剛度較大，柔性臂近似為懸臂梁的邊界條件。在小彈性振動(dòng)變形的假設(shè)條件下，柔性臂的一階振動(dòng)模態(tài)起到主導(dǎo)作用，故此處僅截取其一階模態(tài)進(jìn)行研究，通過(guò)數(shù)值解法求得其一階固有頻率為24.4 rad/s，并設(shè)定模態(tài)阻尼比為0.02。

表1　柔性臂的基本參數(shù)表

為了突出反映抑振軌跡規(guī)劃方法對(duì)于柔性臂振動(dòng)的抑制效果，計(jì)算中設(shè)計(jì)了一個(gè)要求柔性臂在較短時(shí)間內(nèi)完成較長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡的工況，具體運(yùn)動(dòng)參數(shù)如下：初始位置θ0=0 rad，終止位置θf(wàn)=π/2 rad，運(yùn)動(dòng)時(shí)間tf=0.5 s。為了縮短柔性臂的振動(dòng)時(shí)間，提高系統(tǒng)操作效率，要求柔性臂在運(yùn)動(dòng)到指定位置后盡快停止振動(dòng)，因此希望柔性臂在運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的殘余振動(dòng)足夠小，故在利用遺傳算法搜索最優(yōu)抑振軌跡的過(guò)程中，對(duì)柔性臂的殘余振動(dòng)能量給予更高的權(quán)重。設(shè)定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)振動(dòng)能量和殘余振動(dòng)能量的權(quán)重系數(shù)λ1和λ2分別為0.2和0.8。設(shè)置仿真時(shí)間為2 s，即考察在系統(tǒng)軌跡運(yùn)動(dòng)停止后的1.5 s內(nèi)柔性臂的殘余振動(dòng)情況。

(i=1,2,…,n-1)

(9)

3.2優(yōu)化結(jié)果及分析

圖3給出了遺傳算法的進(jìn)化過(guò)程。從圖中最佳適應(yīng)度(Best Fitness)和平均適應(yīng)度(Mean Fitness)的進(jìn)化過(guò)程可以看出：隨著進(jìn)化代數(shù)增加，適應(yīng)度值不斷降低，大約經(jīng)過(guò)30代進(jìn)化過(guò)程收斂到最優(yōu)解，即得到最優(yōu)抑振軌跡控制點(diǎn)浮動(dòng)值的最優(yōu)值。

圖3　遺傳算法的進(jìn)化過(guò)程Fig.3 Evolution history of the genetic algorithm

圖4分別給出了柔性臂在跟蹤五次多項(xiàng)式軌跡和最優(yōu)抑振軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)的彈性振動(dòng)情況。從圖中所示的一階模態(tài)位移曲線可以看出：通過(guò)對(duì)柔性臂的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行抑振軌跡優(yōu)化，當(dāng)柔性臂在預(yù)定的時(shí)間歷程內(nèi)到達(dá)指定位置后，其一階模態(tài)殘余振動(dòng)與常規(guī)運(yùn)動(dòng)軌跡相比大幅度減少，并且其運(yùn)動(dòng)歷程末期的彈性振動(dòng)也得到了一定程度的抑制。顯然通過(guò)對(duì)柔性臂的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行抑振軌跡優(yōu)化大大減少了柔性臂的殘余振動(dòng)。

圖4　柔性臂的一階模態(tài)位移Fig.4 First modal displacement of the flexible manipulator

圖5給出了基于遺傳算法采用五次多項(xiàng)式插值生成的最優(yōu)抑振軌跡。從圖5(c)所示的加速度曲線中可以看出：雖然最優(yōu)抑振軌跡增大了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的最大加速度，但其加速度在運(yùn)動(dòng)歷程的大部分時(shí)間內(nèi)都小于同

時(shí)刻多項(xiàng)式軌跡的值，故在跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)，系統(tǒng)剛性運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的激振力在整個(gè)時(shí)間歷程內(nèi)也相對(duì)較小，同時(shí)從其速度圖5(b)中也可看出最優(yōu)抑振軌跡的最大速度也明顯小于多項(xiàng)式軌跡的值，故系統(tǒng)運(yùn)行速度也更加平穩(wěn)，因而激起的柔性臂彈性振動(dòng)較小。

4實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)方案

為了驗(yàn)證所提出的軌跡規(guī)劃方法的有效性，檢驗(yàn)優(yōu)化得到的抑振軌跡的實(shí)際效果，本節(jié)開(kāi)展了柔性臂軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究，搭建了柔性臂系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)見(jiàn)圖6。實(shí)驗(yàn)中驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)由小慣量交流伺服電機(jī)(型號(hào)為YASKAWA SGMAH01A1A2S)和精密諧波減速器(型號(hào)為Harmonic Drive CSF-17-50-2A, 傳動(dòng)比為1∶50)組成，且伺服電機(jī)尾部?jī)?nèi)置絕對(duì)式光電編碼器(16位)用于檢測(cè)電機(jī)的位移和速度。柔性臂采用環(huán)氧樹(shù)脂構(gòu)件，并通過(guò)剛性輪轂與減速器輸出端相連，其結(jié)構(gòu)和幾何參數(shù)與仿真數(shù)據(jù)相同。在柔性臂根部對(duì)稱(chēng)地貼有一對(duì)電阻應(yīng)變片(電阻值120 Ω，靈敏度系數(shù)2.08)組成的橋接電路檢測(cè)柔性臂的振動(dòng)信息，橋路的輸出信號(hào)經(jīng)功率放大器(增益5 000)放大為-10～+10 V的電壓信號(hào)，最后經(jīng)數(shù)據(jù)采集卡(研華 PCI-1742U)輸送到工控機(jī)中。

圖5　最優(yōu)抑振軌跡和五次多項(xiàng)式的結(jié)果比較Fig.5 Comparison between the optimal trajectory and quintic polynomial trajectory

圖6　柔性臂系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.6 Photograph of the flexible manipulator system

圖7給出了柔性臂系統(tǒng)在跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)的振動(dòng)情況。為了對(duì)比其抑振效果，圖中還給出了柔性臂系統(tǒng)在跟蹤五次多項(xiàng)式軌跡時(shí)的振動(dòng)曲線。從應(yīng)變

圖7　不同跟蹤軌跡下柔性臂的振動(dòng)響應(yīng)Fig.7 Vibration response of the manipulator tracking different trajectories

傳感器的輸出情況可以看出，柔性臂的彈性振動(dòng)在跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)得到了大幅度地衰減。

為了定量分析柔性臂在跟蹤不同運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)的振動(dòng)情況，表2進(jìn)一步給出了柔性臂在軌跡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不同時(shí)刻的最大振幅(以應(yīng)變傳感器的輸出電壓表示)。從表中可以清晰地看出：在電機(jī)運(yùn)動(dòng)停止(t=0.5 s)后，柔性臂跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)的最大應(yīng)變輸出電壓為1.11 V；而當(dāng)跟蹤五次多項(xiàng)式軌跡時(shí)的最大應(yīng)變輸出電壓處于飽和狀態(tài)，超過(guò)10 V。當(dāng)應(yīng)變傳感器的輸出小于0.1 V時(shí)，柔性臂的彈性振動(dòng)已經(jīng)很小，可近似認(rèn)為靜止?fàn)顟B(tài)。表2反映出當(dāng)系統(tǒng)跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)，柔性臂的殘余振動(dòng)在電機(jī)運(yùn)動(dòng)停止后大約4.5 s衰減到靜止?fàn)顟B(tài)；而當(dāng)跟蹤多項(xiàng)式軌跡時(shí)，達(dá)到同樣的靜止?fàn)顟B(tài)要持續(xù)12 s。顯然柔性臂跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)的彈性振動(dòng)，尤其是其殘余振動(dòng)，得到了大幅度的衰減，其衰減時(shí)間顯著縮短。

表2　跟蹤不同軌跡時(shí)的最大振幅比對(duì)表(單位:V)

需要指出的是：與跟蹤多項(xiàng)式軌跡相比，柔性臂在跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)的殘余振幅已經(jīng)削減了很多，但其殘余振動(dòng)仍然存在，這點(diǎn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果并不一致。這是由于在數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中并沒(méi)有考慮伺服電機(jī)的驅(qū)動(dòng)特性和減速器的傳動(dòng)特性，假定系統(tǒng)可以完美地完成軌跡運(yùn)動(dòng)任務(wù)，不存在軌跡跟蹤誤差。而實(shí)際中系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差是不可避免的，因此導(dǎo)致柔性臂的殘余振動(dòng)仍然存在。系統(tǒng)在跟蹤最優(yōu)軌跡時(shí)的實(shí)際位移、速度及加速度如圖8所示。從圖8所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出：實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的角位移和角速度曲線與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本吻合。而加速度曲線雖然變化趨勢(shì)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果相符，但是存在一定差異，這是由于圖8(c)所示的加速度曲線是將實(shí)驗(yàn)中采集到的角速度信號(hào)進(jìn)行微分運(yùn)算得到的結(jié)果，電機(jī)實(shí)際運(yùn)行速度存在一定的波動(dòng)，而微分運(yùn)算將其放大，造成實(shí)際加速度曲線與理想加速度曲線具有一定差異。

圖8　系統(tǒng)跟蹤最優(yōu)抑振軌跡的運(yùn)動(dòng)信息Fig.8 Experimental results tracking the optimal trajectory

5結(jié)論

在揭示柔性臂系統(tǒng)抑振軌跡規(guī)劃原理的基礎(chǔ)上，提出了一種結(jié)合遺傳優(yōu)化算法和多項(xiàng)式函數(shù)插值的抑振軌跡規(guī)劃方法。數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提出的抑振軌跡規(guī)劃方法的有效性和適用性。與跟蹤常規(guī)的運(yùn)動(dòng)軌跡相比，實(shí)驗(yàn)中柔性臂在跟蹤最優(yōu)抑振軌跡時(shí)的殘余振動(dòng)最大振幅減小了10倍左右，其振動(dòng)衰減時(shí)間由12 s縮短為4.5 s。因此證明了從關(guān)節(jié)電機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃的角度來(lái)實(shí)現(xiàn)柔性臂的振動(dòng)抑制是切實(shí)可行的，為柔性構(gòu)件的振動(dòng)抑制技術(shù)提供了新的方法和有益嘗試。

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Optimal trajectory planning of a flexible manipulator for its vibration suppression using genetic algorithm

LOU Jun-qiang1,2, WEI Yan-ding3, LI Guo-ping1,2, YANG Yi-ling3, PENG Wen-fei1,2

(1. Faculty of Mechanical Engineering and Mechanics, Ningbo University, Ningbo 315211, China；2. Zhejiang Provincial Key Lab of Part Rolling Technology, Ningbo 315211, China;3. Institute of Manufacture Engineering, Zhejiang University, Hangzhou310027, China)

Here, an optimal trajectory planning method of a flexible manipulator for its vibration suppression was proposed combining the genetic algorithm and the polynomial function interpolation. The dynamic equations of the manipulator were derived using the extended Hamilton’s principle and the assumed modes method. Then, the trajectory planning principle for vibration suppression was elaborated. For trajectory planning, quintic polynomials were employed as basic functions to interpolate a trajectory’s control points displacements, and the floating values of these displacements were taken as optimal parameters to be determined. After applying constraint conditions of the initial and final positions’ motions, the optimal trajectory with the minimum vibration energy was gained using the genetic algorithm. Numerical calculations and tests verified the applicability and effectiveness of the proposed trajectory planning method. Comparing with the results tracking trajectories of quintic polynomials functions, test results showed that the amplitude of the manipular’s residual vibration tracking the optimal trajectory decreases about 10 times, and its decay time reduces from 12 s to 4.5 s, so the position control precision and operating efficiency of the system are improved.

flexible manipulator; trajectory planning; vibration suppression; genetic algorithm

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.001

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51375433;51505238); 浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY13E050008&LQ15E050002); 浙江省公益項(xiàng)目(2013C31017)；寧波大學(xué)科研基金(XYL15021)

2015-04-28修改稿收到日期：2015-06-18

婁軍強(qiáng) 男，博士, 講師，1986年生

魏燕定 男，教授, 博士生導(dǎo)師，1970年生

TP24; TB32

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