陳洋洋， 崔　杰， 劉　博， 周福霖

(廣州大學(xué) 減震控制與結(jié)構(gòu)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(培育)，廣州　510405)

高墩梁橋的水平向主導(dǎo)振型理論分析

陳洋洋， 崔杰， 劉博， 周福霖

(廣州大學(xué) 減震控制與結(jié)構(gòu)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(培育)，廣州510405)

單自由度模型被廣泛應(yīng)用于規(guī)則中、低墩梁橋的抗震分析和設(shè)計，而高墩梁橋由于墩身高階振型的影響，有必要發(fā)展多自由度甚至分布參數(shù)體系的簡化分析模型和方法。基于分布參數(shù)歐拉梁理論對單墩-質(zhì)點(diǎn)體系進(jìn)行解析推導(dǎo)，分析了體系動力特性和振型質(zhì)量分布的控制因素和規(guī)律，從純解析角度更為嚴(yán)格的證明梁-墩質(zhì)量比是決定體系水平向振型質(zhì)量參與系數(shù)的主要因素。解釋了已有數(shù)值分析結(jié)果給出的統(tǒng)計規(guī)律，純解析給出比已有數(shù)值擬合公式精度更高、適用范圍更廣的分析公式，探討了高階振型的影響，最后給出手算評估等效單自由度模型有效性的建議公式。

高墩；單墩-質(zhì)點(diǎn)體系；振型質(zhì)量參與系數(shù)；解析推導(dǎo)

對于中、低墩梁橋，由于墩身高階振型對體系動力特性影響較小，因此在滿足工程精度的情況下高階振型往往可以被忽略，進(jìn)而采用基于一階振型等效的單自由度模型，使分析設(shè)計變得簡便。目前國內(nèi)外的橋梁抗震設(shè)計規(guī)范廣泛采用等效單自由度體系進(jìn)行簡化分析，如我國公路橋梁抗震設(shè)計細(xì)則(JTG/T B02-01-2008)[1]、美國CAHTRANS規(guī)范[2]、AASHTO規(guī)范[3]、歐洲EC8規(guī)范[4]和日本行業(yè)相關(guān)規(guī)范[5]等都給出了規(guī)定。另一方面，與中、低墩梁橋相比，高墩梁橋的相關(guān)簡化分析理論與設(shè)計方法則有待完善，例如，我國規(guī)范僅針對墩高不超過40 m的橋梁給出具體設(shè)計方法，并明確指出對于墩高超過40 m、墩身一階振型有效質(zhì)量低于60%的橋梁需要進(jìn)行專門研究，美國規(guī)范也僅給出適用于墩高不超過30 m的規(guī)則橋梁的具體設(shè)計方法。宗周紅等[6]對目前國內(nèi)外橋梁高墩抗震研究的現(xiàn)狀及展望做了較為全面的綜述，指出對高墩橋梁的抗震設(shè)計沿用中低墩橋梁的相關(guān)規(guī)范具有很大的盲目性。于此同時，高墩橋梁建設(shè)需求面臨日益增長的局面，由于我國正處大規(guī)模交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)階段，據(jù)統(tǒng)計，僅西部大開發(fā)背景下建成或在建的公路橋梁中，墩高超過40 m的橋梁已達(dá)40%以上，例如西南山區(qū)大量的巖石或硬土地基上的公路和鐵路高墩連續(xù)梁橋。

于是，為了進(jìn)一步發(fā)展和完善高墩橋梁的設(shè)計理論和簡化分析方法，不少學(xué)者開展了卓有成效的研究[7-14]，其中，墩底固結(jié)的等截面單墩-質(zhì)點(diǎn)高墩(Single Colume and Mass, SCM，見圖1)模型受到較多關(guān)注，這是由于該分析模型既能忽略次要因素，突出反映高墩抗震體系最主要的動力特性，又便于簡化分析，可以作為考慮其它更具體更復(fù)雜高墩橋梁結(jié)構(gòu)的模型基礎(chǔ)。近年來，針對該模型取得的典型研究成果包括，李建中等[8]應(yīng)用增量動力分析方法分別對墩底固結(jié)的30 m和60 m的SCM模型進(jìn)行比較，提出高階振型對其60 m高墩抗震性能具有較大影響。梁志垚等采用塑性鉸單元和纖維單元分別對墩底固結(jié)的30 m和90 m的SCM模型進(jìn)行彈塑性分析，重點(diǎn)考察中、低墩與高墩體系響應(yīng)的不同，結(jié)果表明高階振型影響直接導(dǎo)致90 m高墩的塑性區(qū)分布規(guī)律和延性能力與30 m墩的表現(xiàn)顯著不同。另外，Wang等完成了專門針對高墩的大比例振動臺模型研究。Francisco等應(yīng)用蟻群算法專門針對考慮高墩高柔情形的抗震體系進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。盧皓等對60 m、90 m墩高的SCM模型也進(jìn)行了研究，驗(yàn)證了二階振型對高墩體系的顯著影響。上述研究工作成果基本都明確指出，中、低墩體系的抗震設(shè)計方法和分析理論基本不適用于高墩體系，主要原因是由于高墩體系墩身水平向高階振型、特別是二階振型貢獻(xiàn)的顯著提高，且隨著墩身高度和柔性的增加，這個趨勢總體上愈加明顯。

然而，以上研究成果所采用的研究路徑都是基于對有限元離散模型的數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行總結(jié)和規(guī)律分析，由于技術(shù)路徑是基于數(shù)值的，所以大多數(shù)研究僅是針對兩個或少數(shù)幾個算例進(jìn)行比較分析，然后給出了高墩與低墩對比分析的定性結(jié)論，尚不足以給出全面、嚴(yán)格、連續(xù)的定量公式來概括SCM體系參數(shù)對各階振型貢獻(xiàn)的全局影響，因此，為了使分析結(jié)果具備更好的普遍性，彭凱等設(shè)計了不同參數(shù)組合下的多達(dá)102種工況進(jìn)行有限元計算，然后對這些數(shù)值結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析和數(shù)據(jù)擬合，總結(jié)發(fā)現(xiàn)梁-墩質(zhì)量比(上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量與對應(yīng)的墩身質(zhì)量之比)是決定單墩-質(zhì)點(diǎn)體系水平向振型質(zhì)量參與系數(shù)的最主要因素，并給出了相關(guān)的數(shù)值擬合關(guān)系式。盡管如此，他們也僅涉及了墩高范圍為10～60 m的情形，而近年來我國已建或在建的超過100 m墩高的大型剛構(gòu)橋就超過10座[7]，且高墩甚至超高墩的應(yīng)用還將越來越多?？v觀以上工作，基于分布參數(shù)理論對SCM體系直接進(jìn)行解析分析的工作還非常少見。

為了使分析方法更為嚴(yán)格，分析結(jié)果更具一般性，本文直接從純解析分析的研究路徑出發(fā)，對高墩情形下的SCM分布參數(shù)模型動力特性進(jìn)行嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，純解析的給出了墩高、墩頂質(zhì)量、墩身質(zhì)量和抗彎剛度等參數(shù)的任意變化對體系水平向動力特性的影響規(guī)律和關(guān)系式，并對比驗(yàn)證相關(guān)文獻(xiàn)的數(shù)值統(tǒng)計和擬合結(jié)果，更為嚴(yán)格的證明梁-墩質(zhì)量比是影響SCM體系水平向振型質(zhì)量參與系數(shù)分布的最主要因素，同時給出了比已有數(shù)值擬合公式精度更高、適用范圍更廣的振型質(zhì)量參與系數(shù)公式和單自由度選擇評估公式，以算例加以驗(yàn)證。

1頻率與振型的控制因素分析

(1)

式中：x為沿墩身的空間坐標(biāo)；t為時間；u(x,t)為墩身水平位移。式(1)的解分離變量形式為：

u(x,t)=φ(x)q(t)

(2)

式中：

(3)

圖1　單墩-質(zhì)點(diǎn)體系Fig.1 Single column and a mass system

式中：

φ(x)=A1cosax+A2sinax+A3coshax+A4sinhax(4)

(5)

振型函數(shù)φ(x)的系數(shù)A1、A2、A3和A4由如下邊界條件確定，考慮墩底固結(jié)情形有

φ(0)=φ′(0)=0

(6)

式中：φ′為φ對墩身高度坐標(biāo)x的一次求導(dǎo)，依次類推。考慮墩頂與上部結(jié)構(gòu)為鉸接的情形，有

EIφ″(H)=0

(7)

EIφ?(H)+ω2m1φ(H)=0

(8)

將振型函數(shù)式(4)依次代入式(6)得到A3= -A1，A4=-A2，然后再代入式(7)和式(8)整理得

(9)

我們求解上式的特征值問題可整理得到如下幾個彼此等價的頻率方程

(10)

或

(1+rbpaHtanhaH)cosaH-rbpaHsinaH=

-sechaH

(11)

或

(12)

式中：

(13)

為上部結(jié)構(gòu)等效集中質(zhì)量與墩身質(zhì)量之比，稱之為梁-墩質(zhì)量比。觀察以上方程可知，頻率方程可以看成是關(guān)于aH的、以梁-墩質(zhì)量比rbp為參數(shù)的超越方程。

由式(10)可知，梁-墩質(zhì)量比rbp由aH唯一表達(dá)，也可以說rbp是控制aH的唯一參數(shù)。由式(12)可知，方程左邊描述一個振幅和相位關(guān)于aH變化而變化，但頻率不變的余弦函數(shù)，右邊則是隨著aH增加迅速逼近于0的雙曲正割函數(shù)。圖2分別給出了方程左邊函數(shù)值lhs和右邊函數(shù)值rhs關(guān)于橫軸坐標(biāo)aH的曲線，頻率方程的解即由兩曲線的無數(shù)多交點(diǎn)確定，對應(yīng)各階頻率。

下面分析各階aH值的分布規(guī)律和取值范圍。首先，當(dāng)墩頂無集中質(zhì)量時，即rbp為0，式(12)退化為

cosaH=-sechaH

(14)

這種情形在許多經(jīng)典著作如文獻(xiàn)[15]中都作了詳細(xì)分析，這里不再贅述，直接給出其各階aH值作為SCM體系各階頻率的上界(amH)up，如表1所示。

圖2　頻率方程圖解Fig.2 Frequency equation diagram

階數(shù)m(amH)up當(dāng)rbp=0(amH)down當(dāng)rbp=+∞γm/%當(dāng)rbp=0γm/%當(dāng)rbp=+∞11.875061.31100.0024.69418.8337.855(m-5/4)π6.470≥4(n-1/2)π≤3.31

然后，我們考慮另一個極端情形，即當(dāng)墩頂質(zhì)量趨于無窮大，梁-墩質(zhì)量比rbp趨于無窮大的理想情形，這時對式(12)兩邊除以rbp并作極限運(yùn)算可得

(15)

(16)

確定。特別的，由于對于稍大的aH，雙曲正切函數(shù)tanhaH的值就已非常接近1，所以式(16)可進(jìn)一步簡化為

(17)

用式(17)確定二階及二階以上aH，相比用式(16)誤差小于0.4%。于是我們可以以該方程確定二階以上的各階aH值，得到表1中單墩-質(zhì)點(diǎn)體系各對應(yīng)頻率的下界(amH)down。

綜合這一節(jié)分析，結(jié)合圖2和表1可知，只要是在高墩體系滿足歐拉梁假設(shè)的理論框架下，無論對于任何參數(shù)，都是由rbp唯一確定各階的amH值，且各階amH值都被限定在相應(yīng)的、確定的上下界之間，上下界分別對應(yīng)梁-墩質(zhì)量比rbp等于0和無窮大時的情形。只要amH確定，各階頻率即可由式(5)確定，進(jìn)而由式(9)求特征向量得到m階振型函數(shù)為

φm(x)=A1[cosamx-coshamx-

Bm(sinamx-sinhamx)]

(18)

式中：

(19)

2振型質(zhì)量貢獻(xiàn)分析

2.1振型正交性條件

為了后續(xù)分析的需要，我們先推導(dǎo)體系的振型正交性條件，對第m和第n振型應(yīng)用Betti定律，第m振型的慣性力在第n振型上做的功為:

(20)

第n振型的慣性力在第m振型上做的功為:

(21)

由Wmn=Wnm，及不同階頻率不相等，可得到體系的第一個振型正交條件:

(22)

注意到墩頂質(zhì)點(diǎn)的自由振動方程為

(23)

設(shè)第n振型的運(yùn)動為

un(x,t)=φn(x)qnsinωnt

(24)

將式(24)代入式(1)、式(23)可得

(25)

(26)

對式(25)乘以φm(x)并做從0到H的定積分，對式(26)乘以φm(H)，分別得到

(27)

(28)

將式(2)和式(28) 相加，并計及式(22)，得到第二個振型正交條件:

(29)

2.2振型參與系數(shù)表達(dá)式

下面再分析分布參數(shù)體系m階振型參與系數(shù)ηm的表達(dá)式，地震作用下考慮模態(tài)阻尼的單墩-質(zhì)點(diǎn)體系的控制方程為

(30)

(31)

(32)

將式(32)分別代入式(30)和式(31)，然后式(30)乘以φm(x)并作從0到H的積分，式(31)乘以φm(H)，分別得到

(33)

(34)

引入如下Rayleigh阻尼假設(shè)，

(35)

式中：a0,a1分別為對應(yīng)質(zhì)量和剛度的比例常數(shù)。考慮由式(22)和式(29)表示的振型正交條件，且定義模態(tài)廣義質(zhì)量、廣義剛度和廣義地震作用分別表示為

(36)

(37)

(38)

由式(36)和式(37)，并計及關(guān)系式(1)、式(7)、式(8)，得到

(39)

然后將式(33)和式(34)相加，并注意到表達(dá)式(35)～式(39)，整理得到解耦的m階模態(tài)坐標(biāo)下的控制方程為

(40)

其中m階振型阻尼比

(41)

m階振型參與系數(shù)

(42)

2.3振型質(zhì)量貢獻(xiàn)的一般表達(dá)式與影響因素

下面，為了進(jìn)一步探討m階振型質(zhì)量參與系數(shù)γm的表達(dá)式，我們將式(30)兩邊對x做從0到H的定積分，再與式(31)相加得:

(43)

另一方面，將式(40)兩邊乘以ηmMm并計及關(guān)系式(25)、式(26)和式(35)，再對所有階做無窮級數(shù)和得:

(44)

注意到關(guān)系式(32)，顯然式(43)和式(44)的左邊相等，則它們的右邊也相等，即

(45)

(46)

將式(18)、式(19)代入上式進(jìn)行解析積分，并注意利用關(guān)系式(10)進(jìn)行化簡，得到單墩-質(zhì)點(diǎn)分布參數(shù)體系m階振型質(zhì)量參與系數(shù)的一般解析表達(dá)式為

γm=4(cosamH+coshamH)2/

rbp(sinaHcoshaH-cosaHsinhaH)2](1+rbp)}

(47)

振型質(zhì)量參與系數(shù)被普遍用來衡量m階振型對體系承受地震力的貢獻(xiàn)，可以看到，式(47)表明振型質(zhì)量參與系數(shù)由rbp和amH值確定，而從式(10)可知，amH又是由rbp唯一確定的。因此同樣的，無論對于任何參數(shù)組合，只要是在SCM高墩體系滿足歐拉梁假設(shè)的理論框架下，體系的振型質(zhì)量參與系數(shù)γm也是由梁-墩質(zhì)量比rbp唯一確定。

3若干簡化公式推導(dǎo)

由以上兩節(jié)分析可知，SCM體系的頻率、振型和振型質(zhì)量參與系數(shù)的一般解析表達(dá)式分別由式(5)、式(18)、式(47)給出，且只要在歐拉梁假設(shè)下確定體系的梁-墩質(zhì)量比，各階振型質(zhì)量參與系數(shù)即可確定。

3.1一階動力特性的簡化公式

從“1”的分析和對圖2的觀察我們還不難意識到，a1H可以看成是被限制在0點(diǎn)鄰域[0, 1.875]內(nèi)的解，所以在該鄰域內(nèi)的函數(shù)可以在0點(diǎn)展開為關(guān)于aH的無窮泰勒級數(shù)，即麥克勞林級數(shù)，我們利用截斷的級數(shù)關(guān)系則很可能獲得既保持較好精度、形式又大大簡化的公式，于是我們不妨利用如下麥克勞林級數(shù)

(48)

(49)

(49)

(50)

(52)

再計及式(5)和式(13)，由式(52)又得到

(53)

由于上述麥克勞林級數(shù)在m1無窮大處，即在aH=ω1=0處是精確的。而在m1=0處，其距離展開點(diǎn)最遠(yuǎn)，誤差也最大，幸運(yùn)的是，誤差最大時該體系也退化為無集中質(zhì)量的懸臂墩情形，存在簡單精確解析解[15]，其根號前的精確系數(shù)應(yīng)為表2表示的上界1.875，于是我們很容易利用這一點(diǎn)，給出修正的頻率公式:

(54)

使得上式分別精確滿足一階解的上下界，即m1在無窮大和0處的頻率值。然后，將截斷的泰勒展式(48)～式(51)分別代入式(18)整理得到簡化的一階振型表達(dá)式

(55)

式(55)表示體系基本振型可以由墩身高度坐標(biāo)的二次、三次非線性多項(xiàng)式表示，手算簡便。

進(jìn)一步，將截斷的麥克勞林級數(shù)式(48)～式(51)分別代入式(47)，并計及式(10)，整理得簡化的一階振型質(zhì)量參與系數(shù)表達(dá)式

(56)

值得注意的是，式(56)給出了由梁-墩質(zhì)量比rbp唯一顯式表達(dá)的一階振型質(zhì)量參與系數(shù)，手算簡便，且從理論角度說明了梁-墩質(zhì)量比是決定一階振型質(zhì)量參與系數(shù)，即評估等效單自由度模型適用性的最主要因素，也驗(yàn)證了文獻(xiàn)[14]數(shù)值研究總結(jié)給出的結(jié)論。

3.2高階動力特性的簡化公式

下面分析二階及二階以上動力特性的簡化公式。由于在非零點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開相比麥克勞林級數(shù)的形式會復(fù)雜很多，所以按照前一小節(jié)的思路并不能得到形式上簡便的二階及二階以上的動力特性公式。然而，從圖2和表1我們可以看到，二階及二階以上的各階amH區(qū)間長度相比一階的區(qū)間長度小很多，且都幾乎相等。因此，我們不妨用上下界直接給出如下統(tǒng)一的高階amH表達(dá)式

amH=(amH)down+Δme-2rbp,m≥2

(57)

其中區(qū)間長度

Δm=(amH)up-(amH)down

(58)

再根據(jù)式(5)得到頻率公式為

(59)

(60)

對于m ≥ 4，

(61)

由式(57)確定amH后，即可由式(18)確定振型，由式(47)確定各階振型質(zhì)量貢獻(xiàn)。

4算例分析與公式驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述推導(dǎo)結(jié)果的正確性，我們沿用文獻(xiàn)[14]設(shè)計的6類鋼筋混凝土空心方形墩算例進(jìn)行計算驗(yàn)證，墩身彈性模量為3.25×104N/mm2，縱筋配筋率為1.25%，考慮墩頂質(zhì)量從0～1 500 t變化，其它參數(shù)見表2。計算結(jié)果與SAP2000軟件的標(biāo)準(zhǔn)鐵木辛哥梁有限元模型的分析結(jié)果進(jìn)行對比，為了保證數(shù)值計算的精度，計算過程中細(xì)分單元并且考察細(xì)分前后模型誤差。具體算例見表2。考慮地震作用下墩截面開裂對抗彎剛度的影響，根據(jù)軸壓比和配筋率，按美國Caltrans規(guī)范圖表的建議，各墩柱的抗彎剛度均取折減系數(shù)0.5。

4.1頻率與振型分析

我們分別應(yīng)用式(54)，式(55)，式(59)，式(60)和式(18)對表2中6類SCM體系的模態(tài)分析結(jié)果進(jìn)行分析，并與相應(yīng)的SAP2000采用標(biāo)準(zhǔn)鐵木辛哥梁有限元的分析結(jié)果進(jìn)行比較。圖3和圖4給出了其中60 m墩高SCM體系的對比結(jié)果，表中其余工況的分析結(jié)論也基本相同，這里不一一列舉贅述?？梢钥吹剑喕降姆治鼋Y(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果吻合得很好，并說明剪切變形對表2中各類SCM體系的振型和周期影響很小。

表2　6類SCM體系的幾何、物理參數(shù)

圖3　60 m SCM體系前三階T～m1曲線Fig.3 T～ m1curves of the first three modes of 60 m SCM system

圖4　1 500 t墩頂質(zhì)量的60 m SCM體系前三階振型Fig. 4 The first three modes of 60 m SCM system with 1 500 t mass on top

4.2振型質(zhì)量參與系數(shù)簡化公式的驗(yàn)證

文獻(xiàn)[14]對表2所示SCM體系不同梁-墩質(zhì)量比情況下的前3階振型質(zhì)量參與系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，然后通過優(yōu)化比較給出了前三階振型質(zhì)量參與系數(shù)與梁-墩質(zhì)量比的數(shù)值擬合關(guān)系式，即γi-rbp曲線的建議公式如下

γi=a+bec·rbp

(62)

其中擬合參數(shù)(a，b，c)對應(yīng)階數(shù)i=1，2，3的值分別為(0.98，-0.34，-0.5)，(0.013，0.19，-0.45)，(0.004，0.065，-0.51)。由于該式在3

圖5給出了表2中三類SCM體系的分析結(jié)果，表中其余工況的分析結(jié)論也基本相同，這里不一一列舉贅述。由圖5可知，本文公式總體上與有限元結(jié)果吻合得更好，由于我們是直接采用解析推導(dǎo)，給出的公式中各參數(shù)物理意義明確，曲線保持更好精度和連續(xù)性，且除了前三階之外還可以給出任意階分析公式的表達(dá)式。從圖5中可知，公式的誤差主要來源于歐拉梁理論沒有考慮剪切變形，而有限元模型還考慮了剪切變形。盡管如此，本文公式的一階振型質(zhì)量參與系數(shù)曲線與數(shù)值分析結(jié)果誤差非常小，符合剪切變形對高墩體系一階振型影響很小的規(guī)律。公式的最大誤差存在于高階曲線在rbp還較小的階段，符合剪切變形主要影響墩頂質(zhì)量較小時的高階振型的規(guī)律，但可以看到，該誤差仍然很小，對總的累積振型質(zhì)量參與系數(shù)影響很小，說明剪切變形對高墩SCM體系的水平動力特性不起明顯作用，多數(shù)情況可以忽略。

4.3振型質(zhì)量參與系數(shù)分布規(guī)律

當(dāng)墩頂質(zhì)量rbp= 0，將表1中(amH)up一列取值代入式(47)計算可得到此時各階振型質(zhì)量參與系數(shù)取值如表1第4列所示。同樣，對于墩頂質(zhì)量rbp= +∞的理想情形，由表1中(amH)down一列取值代入式(47)計算可得到相應(yīng)的各階振型質(zhì)量參與系數(shù)取值見表1第5列。再結(jié)合圖5可知，該SCM體系在無墩頂質(zhì)量時，一階振型質(zhì)量參與系數(shù)達(dá)到61.31%，然后隨著梁墩質(zhì)量比增加而逐漸增大，直至收斂于100%。二階和三階振型質(zhì)量參與系數(shù)在無墩頂質(zhì)量時則分別達(dá)到18.83%和6.47%，然后隨著梁墩質(zhì)量比的增加反而減小，且收斂趨勢都很快。由此可見前三階累積振型質(zhì)量參與系數(shù)的下限就已經(jīng)達(dá)到86.61%，更高階振型的影響很小。由式(56)和式(47)計算可知對于占大多數(shù)的rbp>0.55的SCM體系，前三階累積振型質(zhì)量參與系數(shù)>90%；當(dāng)rbp>1.25，前兩階累積振型質(zhì)量參與系數(shù)>90%。

考慮等效單自由度模型適用性的手算評估公式，我們可由式(56)直接求得由一階振型質(zhì)量參與系數(shù)顯式表達(dá)的梁墩質(zhì)量比為

(63)

式(63)可為評估等效單自由度模型或者僅考慮一階振型模型的有效性提供參考，例如，如果要求模型振型質(zhì)量參與>90%時，則將γi= 0.9代入式(63)可以得到rbp= 3.81，說明對于梁墩質(zhì)量比rbp>3.81的高墩SCM體系，一階振型質(zhì)量參與系數(shù)即>90%，用等效單自由度模型進(jìn)行分析有效性會保持較好。

5結(jié)論

(1) 通過基于分布參數(shù)歐拉梁理論的嚴(yán)格推導(dǎo)，分析了高墩梁橋SCM體系動力特性規(guī)律，更為嚴(yán)格的證明了梁-墩質(zhì)量比是決定高墩SCM體系水平向振型質(zhì)量參與系數(shù)的主要因素，從理論上解釋了文獻(xiàn)[14]基于數(shù)值分析結(jié)果的統(tǒng)計結(jié)論。

圖5　SCM體系前三階γi ～ rbp曲線Fig.5 γi ～ rbp curves of the first three modes for SCM system

(2) 推導(dǎo)了高墩梁橋SCM體系水平向動力特性和振型質(zhì)量參與系數(shù)的一般表達(dá)式和簡化分析公式，為嚴(yán)格定量分析高墩SCM體系水平向主導(dǎo)振型分布規(guī)律提供理論支持。算例表明，與已有的數(shù)值擬合公式相比，本文提供的振型質(zhì)量參與系數(shù)公式精度更高，參數(shù)物理意義更明確，保持了更好的連續(xù)性，不受離散數(shù)值分析的局限，可以給出任意參數(shù)組合和任意階振型的解析結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，還給出了評估等效單自由度模型或者僅考慮一階振型模型有效性的參考公式。

(3) 本文理論分析的誤差主要來源于歐拉梁理論本身沒有考慮剪切變形的影響，但算例表明，公式結(jié)果與考慮剪切變形的有限元結(jié)果總體吻合得很好，這是由于剪切變形對高墩SCM體系一階振型質(zhì)量幾乎不敏感，對高階振型質(zhì)量的影響也比較小，對累積振型質(zhì)量參與系數(shù)的計算在多數(shù)情況可以忽略，這與已有的數(shù)值分析結(jié)論一致。

(4) 本文僅對墩底固結(jié)、墩頂鉸接的等截面高墩SCM體系進(jìn)行研究，盡管一定程度上反映了高墩抗震體系最主要的水平向動力特性，但仍有待于以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步將研究推廣至變截面墩，以及墩底約束和墩頂連接條件更為復(fù)雜的情形。另外，累積振型質(zhì)量參與系數(shù)僅是評估抗震體系地震作用下振型貢獻(xiàn)的重要因素之一，對于不同地震輸入下各階振型貢獻(xiàn)的影響規(guī)律，也有待于進(jìn)一步研究。

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A theoretical study on the horizontal dominant vibration mode of a girder bridge with tall piers

CHEN Yang-yang, CUI Jie, LIU Bo, ZHOU Fu-lin

(State Key Laboratory for Seismic Reduction, Control and Structural Safety (Cultivation),Guangzhou University, Guangzhou 510405, China)

The single degree of freedom model was widely applied in anti-seismic analysis and was designed for regular girder bridges with medium-length or short-length piers. For girder bridges with tall piers, due to the obvious influence of higher-order modes, a simplified model and a method with multiple degrees of freedom or even with distributed parameters still need to be developed. In this paper, based on the theory of the Euler beam with distributed parameters, analytical derivation is presented for the single column and the mass system. The dynamical characteristics and modal mass distributions, as well as their control factors and properties, are studied. It is proved analytically and more clearly that the girder-pier mass ratio plays a dominant role in determining horizontal modal mass participation. Thus, interpretation of the previous conclusion based on statistical and numerical analysis is presented. Purely analytical formulas, which show higher accuracy and better applicability than the previous numerical fitting formulas, are also given. The influence of a higher-order vibration mode is analyzed and discussed. Finally, the manual calculation formula, for efficiency assessment of the single degree of freedom model, is also proposed.

tall pier; single column and mass system; modal mass participation; analytical derivation

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.003

“973”重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(2011CB013606)；“十二五”國家科技支撐計劃(2012BAJ07B02)；國家自然科學(xué)基金 (U1334209)

2015-02-27修改稿收到日期：2015-06-23

陳洋洋 男，博士，副研究員，1981年12月生

TU352

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