董　磊， 宋漢文， 鄭鐵生

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上?！?00433; 2.同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上?！?00092)

EMA與OMA模態(tài)參數(shù)辨識(shí)統(tǒng)一性方法

董磊1， 宋漢文2， 鄭鐵生1

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海200433; 2.同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092)

現(xiàn)代模態(tài)測(cè)試的對(duì)象正從系統(tǒng)部件轉(zhuǎn)向整體結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征正變得越來(lái)越復(fù)雜，表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)組件眾多導(dǎo)致系統(tǒng)模態(tài)密集化、局部化;在實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)中，甚至無(wú)法對(duì)大型結(jié)構(gòu)施加有效的激勵(lì)或激勵(lì)的成本很高，使得EMA方法不能進(jìn)行，只能使用OMA方法。在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征越加復(fù)雜與參數(shù)辨識(shí)難度增加的同時(shí)，對(duì)參數(shù)辨識(shí)的要求越來(lái)越高;對(duì)算法的模態(tài)辨識(shí)能力要求越來(lái)越高;EMA與OMA都面臨著整體頻段的擬合困難、模型階次與模態(tài)參數(shù)選擇困難以及測(cè)點(diǎn)數(shù)的迅速增大帶來(lái)的計(jì)算量劇增等困難;并且，EMA與OMA之間還存在著辨識(shí)方法不能統(tǒng)一的問(wèn)題;簡(jiǎn)要回顧了VF算法原理，并進(jìn)一步將VF算法拓展到OMA問(wèn)題中，將頻域內(nèi)的EMA與OMA建立一個(gè)統(tǒng)一辨識(shí)流程，實(shí)現(xiàn)了整個(gè)頻段上的整體擬合;簡(jiǎn)化了模態(tài)參數(shù)辨識(shí)流程，減少人工介入工以及由于頻段劃分不當(dāng)造成的識(shí)別質(zhì)量的下降。利用公開(kāi)數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證了EMA問(wèn)題中，VF算法在低信噪比和大規(guī)模曲線(xiàn)數(shù)目時(shí)的辨識(shí)效果，以及在OMA問(wèn)題中的良好適用性。

試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析；環(huán)境激勵(lì)模態(tài)分析；模態(tài)參數(shù)；頻域；統(tǒng)一性

傳統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析(Experiment Modal Analysis, EMA)中的參數(shù)識(shí)別算法分為時(shí)域、頻域兩類(lèi)。近十幾年來(lái)迅速發(fā)展的基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)分析(Operational Modal Analysis,OMA)是本領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

現(xiàn)代模態(tài)測(cè)試的對(duì)象正從系統(tǒng)部件轉(zhuǎn)向整體結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征正變得越來(lái)越復(fù)雜，這表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)組件眾多導(dǎo)致系統(tǒng)模態(tài)密集化、局部化。系統(tǒng)組件增加使得系統(tǒng)的模態(tài)越來(lái)越多，模態(tài)間的密度越來(lái)越高，在頻率軸上模態(tài)間的耦合變得越來(lái)越嚴(yán)重，甚至在某些頻段上密集化；同時(shí)，不同組件之間表現(xiàn)出模態(tài)的局部化。

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征復(fù)雜化也使得測(cè)試方法復(fù)雜化，系統(tǒng)測(cè)點(diǎn)數(shù)急劇增多，測(cè)試數(shù)據(jù)隨之增長(zhǎng)。為了保持?jǐn)?shù)據(jù)的一致性，減小數(shù)據(jù)間的偏移，多次測(cè)量對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行拼合的測(cè)試方法不再適用。整體結(jié)構(gòu)組件的增多也使得單點(diǎn)激勵(lì)不再能對(duì)整體系統(tǒng)能夠進(jìn)行有效激勵(lì)，需要同時(shí)布置多個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，MIMO(Maltiple-Input Multiple-Output)測(cè)試的必要性越來(lái)越高。MIMO測(cè)試更使得頻響函數(shù)數(shù)倍于測(cè)點(diǎn)數(shù)目。

在實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)中，甚至無(wú)法對(duì)大型結(jié)構(gòu)施加有效的激勵(lì)或激勵(lì)的成本很高，使得EMA不能進(jìn)行，只能使用OMA方法。OMA只測(cè)量響應(yīng)信號(hào)，簡(jiǎn)化了測(cè)試過(guò)程，更符合系統(tǒng)實(shí)際邊界條件，但也具有很大局限性：OMA對(duì)環(huán)境激勵(lì)信號(hào)一般基于白噪聲假設(shè)，但實(shí)際激勵(lì)信號(hào)不一定接近白噪聲。因此OMA方法中得到的模態(tài)中，有些模態(tài)是系統(tǒng)固有的，有些是系統(tǒng)激勵(lì)引起的強(qiáng)迫響應(yīng)造成的虛假模態(tài)，需要對(duì)得到的模態(tài)進(jìn)行進(jìn)一步甄別。

在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征越加復(fù)雜與參數(shù)辨識(shí)難度增加的同時(shí)，對(duì)參數(shù)的辨識(shí)、對(duì)算法模態(tài)辨識(shí)能力的要求越來(lái)越高，特別是將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用來(lái)驗(yàn)證有限元模型時(shí)。這些變化使得模態(tài)分析面臨的挑戰(zhàn)也隨之增大。

無(wú)論EMA與OMA都面臨著數(shù)據(jù)擬合過(guò)程中整體頻段擬合困難、模型階次與模態(tài)參數(shù)選擇困難以及測(cè)點(diǎn)數(shù)的迅速增大帶來(lái)的計(jì)算量劇增等困難。并且，EMA與OMA之間還存在著辨識(shí)方法不能統(tǒng)一適用的問(wèn)題[1]。

當(dāng)前的模態(tài)辨識(shí)過(guò)程需要對(duì)數(shù)據(jù)頻段進(jìn)行劃分，通過(guò)多次分段擬合之后將模態(tài)參數(shù)拼合來(lái)取得所有模態(tài)[2]。模態(tài)間越來(lái)越嚴(yán)重的耦合導(dǎo)致無(wú)法有效通過(guò)頻段劃分使模態(tài)得到良好的隔離，模態(tài)間的高耦合性也使得剩余模態(tài)的影響更加明顯，從而造成辨識(shí)過(guò)程中模態(tài)的遺漏以及模態(tài)參數(shù)精度的下降。這對(duì)從業(yè)人員的經(jīng)驗(yàn)要求越來(lái)越高，在整個(gè)分析頻帶上整體擬合的必要性越來(lái)越突出。

整體頻段上進(jìn)行擬合可以消除模態(tài)耦合以及低階剩余模態(tài)的影響，將高階剩余模態(tài)的影響降到最低，同時(shí)可以簡(jiǎn)化整個(gè)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)流程，減小操作人員的介入、減少工作量以及由于頻段劃分不當(dāng)造成的識(shí)別質(zhì)量的下降。但整體頻段擬合面臨著比分段擬合更加嚴(yán)苛的挑戰(zhàn)：整體頻段擬合的數(shù)據(jù)中包括更多的系統(tǒng)模態(tài)，要適用比分段擬合使用更高的模型階次，因而要面對(duì)更嚴(yán)重的數(shù)值病態(tài)問(wèn)題，對(duì)算法有更高的數(shù)值穩(wěn)定性要求。同時(shí)，整體頻段上模態(tài)間能量的差異更大，對(duì)辨識(shí)算法在整個(gè)頻段上獲得所有模態(tài)的能力要求也更高。而更高的模型階次也意味著擬合過(guò)程中出現(xiàn)更多的虛假模態(tài)，要面對(duì)更復(fù)雜的模態(tài)參數(shù)挑選過(guò)程。

在EMA中，傳統(tǒng)以正交多項(xiàng)式為代表的算法在面臨更高的型階次下，遇到的數(shù)值病態(tài)問(wèn)題更加嚴(yán)重，同時(shí)定階不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致曲線(xiàn)擬合效果畸變失真。

EMA建立在頻響數(shù)據(jù)估計(jì)的基礎(chǔ)之上，而OMA的頻域算法多數(shù)以功率譜函數(shù)為數(shù)據(jù)對(duì)象，由于數(shù)學(xué)模型上的差異，EMA和OMA算法之間互相不適用，EMA的頻域辨識(shí)方法不能有效擴(kuò)展到OMA的參數(shù)辨識(shí)中，OMA頻域中的方法也不適合EMA問(wèn)題。針對(duì)不同的情況，需要針對(duì)性的方法才能取得較好的辨識(shí)結(jié)果，各種辨識(shí)方法不具有統(tǒng)一的適用性。

VF(Vector Fitting)[3]將有理分式函數(shù)直接分解為部分分式和的疊加，擬合誤差隨擬合階次的增大而迅速收斂。隨擬合階次的增加，已辨識(shí)得到的部分分式參數(shù)并不隨著階次的變化而改變，具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。在發(fā)展過(guò)程中的一系列改進(jìn)以及過(guò)程很大改善了方法的數(shù)值條件，避免了數(shù)值病態(tài)[4-7]。

本文進(jìn)一步將VF算法拓展到OMA問(wèn)題中，通過(guò)EMA與OMA在頻域內(nèi)多項(xiàng)式模型的統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)了辨識(shí)算法的統(tǒng)一；利用VF方法在曲線(xiàn)擬合精確性和識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定性達(dá)到整個(gè)頻段上的整體擬合。使用公開(kāi)的EMA以及OMA數(shù)據(jù)對(duì)VF算法進(jìn)行考核，進(jìn)一步驗(yàn)證了VF算法在低信噪比和MIMO測(cè)試下大規(guī)模試驗(yàn)數(shù)據(jù)下的辨識(shí)效果。

1EMA與OMA多項(xiàng)式模型統(tǒng)一

系統(tǒng)的頻響函數(shù)是有理分式多項(xiàng)式，其形式為：

(1)

式中：λr為系統(tǒng)的極點(diǎn);zij,r為零點(diǎn);Cij,r為留數(shù)。

系統(tǒng)的頻響矩陣為：

(2)

系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜矩陣為：

Gy(ω)=H(ω)Gx(ω)[H(ω)]H

(3)

式中：H(ω)為系統(tǒng)的頻響矩陣;Gx(ω)是輸入的功率譜密度矩陣;?H表示共軛轉(zhuǎn)置。在零均值的白噪聲輸入假設(shè)下，Gx是一常數(shù)矩陣，因此可以得到[8]：

(4)

將式(4)記為：

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

在實(shí)際擬合中，數(shù)據(jù)總是在有限的頻段內(nèi)，因而可以將模態(tài)頻率是否在數(shù)據(jù)段內(nèi)分為：

(9)

當(dāng)數(shù)據(jù)段外的模態(tài)固有頻率Re(λr)?ω，上式中的第二項(xiàng)可以近似為：

(10)

為一常數(shù)項(xiàng)?？紤]到對(duì)高頻剩余模態(tài)的補(bǔ)償，無(wú)論在EMA還是OMA辨識(shí)過(guò)程中，都使用統(tǒng)一的包含常數(shù)項(xiàng)的多項(xiàng)式模型：

(11)

特別的，如果測(cè)量信號(hào)為加速度，ηij(ω)本身的分子階次與分母階次相同，包含常數(shù)項(xiàng)。

2VF算法

對(duì)一個(gè)有理函數(shù)形式的待辨識(shí)曲線(xiàn)η(s)：

(12)

VF方法將η(s)的分子分母同時(shí)除以一個(gè)與分母同階的一個(gè)多項(xiàng)式σ(s)：該多項(xiàng)式的初始極點(diǎn)pr由人為設(shè)定，稱(chēng)為極點(diǎn)替換函數(shù)：

(13)

則η(s)變?yōu)椋?/p>

(14)

將式(14)的分母乘到等式兩邊可以得到：

(15)

(16)

可得：

(17)

(18)

(19)

將η(s)的數(shù)據(jù)代入后便可以將未知系數(shù)全部擬合出來(lái)。將式(19)寫(xiě)為矩陣形式：

(20)

采用QR對(duì)單曲線(xiàn)方程式(20)進(jìn)行分解[10]，只保留包含系統(tǒng)極點(diǎn)信息CD的相關(guān)矩陣，之后對(duì)多個(gè)曲線(xiàn)進(jìn)行矩陣拼合，使得多曲線(xiàn)擬合的矩陣規(guī)?？梢噪S曲線(xiàn)數(shù)目線(xiàn)性增長(zhǎng)，大大縮減多曲線(xiàn)擬合的計(jì)算量。

在實(shí)際的模態(tài)參數(shù)擬合過(guò)程即取s=jω來(lái)根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

3實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)

美國(guó)試驗(yàn)力學(xué)學(xué)會(huì)(SEM)為國(guó)際模態(tài)分析會(huì)議(IMAC)開(kāi)展的EMA與OMA競(jìng)賽而對(duì)一系列數(shù)據(jù)的公開(kāi)，以便對(duì)模態(tài)辨識(shí)算法進(jìn)行權(quán)威的考核、比較。數(shù)據(jù)公開(kāi)地址來(lái)自于密歇根理工大學(xué)(MTU)網(wǎng)站，EMA數(shù)據(jù)網(wǎng)址為：http://www.me.mtu.edu/imac_mpe/；OMA數(shù)據(jù)網(wǎng)址為：http://www.me.mtu.edu/imac_oma/；每組數(shù)據(jù)詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)描述可以從網(wǎng)站獲得。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)VF方法在EMA以及OMA問(wèn)題中的統(tǒng)一性以及辨識(shí)精度，我們使用此公開(kāi)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)。

數(shù)據(jù)一是某烘干機(jī)的模態(tài)試驗(yàn)。測(cè)試采用MIMO，共有四個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，分別分布在烘干機(jī)的底部、后方、左側(cè)、右側(cè)，測(cè)量點(diǎn)數(shù)目共為300個(gè)。激勵(lì)信號(hào)采用猝發(fā)隨機(jī)，采樣頻率為256 Hz，使用Polytec公司激光測(cè)振儀采集速度響應(yīng)信號(hào)，共獲得1 200條頻響曲線(xiàn)。

典型的系統(tǒng)頻響曲線(xiàn)見(jiàn)圖1。測(cè)試系統(tǒng)中模態(tài)數(shù)量較多，并且，在部分頻段上耦合較嚴(yán)重，數(shù)據(jù)信噪較低。

圖2是VF方法中使用QR分解的多曲線(xiàn)快速算法進(jìn)行擬合后得到的穩(wěn)態(tài)圖，穩(wěn)定模態(tài)參數(shù)篩選誤差準(zhǔn)則為：頻率0.05 Hz，阻尼比10%，留數(shù)10%。

圖1　典型頻響曲線(xiàn)Fig.1 Typical FRF curve

圖2　烘干機(jī)模態(tài)穩(wěn)態(tài)圖Fig.2 Stable diagram of the dryer

VF方法得到模態(tài)參數(shù)在不同模型自由度下具有高度的穩(wěn)定性，因而使得模態(tài)參數(shù)的挑選不再依賴(lài)模型階次的確定。在足夠高的模型自由度后，穩(wěn)定的模態(tài)便基本不再變化，可以依據(jù)穩(wěn)態(tài)圖中的穩(wěn)定模態(tài)不再增加得到確認(rèn)。此時(shí)，可以從其中挑選其中一個(gè)階次下的模態(tài)參數(shù)，或是取多個(gè)階次下的平均值。

本算例中，模態(tài)參數(shù)是取100～120自由度下的穩(wěn)定模態(tài)參數(shù)的平均值。在利用穩(wěn)態(tài)圖對(duì)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行篩選后，我們利用得到的模態(tài)頻率、阻尼進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到最終的重構(gòu)頻響函數(shù)，用來(lái)顯示VF方法最終達(dá)到的曲線(xiàn)精度以及參數(shù)精度。盡管部分曲線(xiàn)的信噪比不高，并且數(shù)據(jù)量巨大，VF方法依然在0～96 Hz整個(gè)頻段內(nèi)一次性獲得31個(gè)模態(tài)。并且在擬合自由度高達(dá)120的情況下，所獲得的參數(shù)仍然保持了良好的穩(wěn)定性。清晰的穩(wěn)態(tài)圖明顯降低了模態(tài)參數(shù)選擇的難度，使得對(duì)操作人員經(jīng)驗(yàn)的依賴(lài)降低，更能提高參數(shù)選擇速度。

圖3與圖4是根據(jù)圖2穩(wěn)態(tài)圖重構(gòu)后的頻響。但根據(jù)重構(gòu)后的頻響與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比可以看出，盡管數(shù)據(jù)中的噪聲很高，VF方法依然對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線(xiàn)實(shí)現(xiàn)了良好的重構(gòu)。

圖4　back:39+X/back:311+Y重構(gòu)頻響Fig.4 Comparison of measured FRF of back: 39+X/back: 311+Y with FRF synthesized from the identified modal parameters

在根據(jù)穩(wěn)態(tài)圖得到的模態(tài)參數(shù)來(lái)曲線(xiàn)重構(gòu)進(jìn)行檢驗(yàn)的同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)中存在局部模態(tài)：在烘干機(jī)后方存在局部模態(tài)，模態(tài)頻率分別為21.9 Hz和27.4 Hz。但在擬合過(guò)程中，頻率為27.4 Hz的模態(tài)并未能得到。

多曲線(xiàn)擬合中頻率為27.4 Hz的模態(tài)遺漏的原因在于數(shù)據(jù)的信噪比低并且該局部模態(tài)在其出現(xiàn)的曲線(xiàn)中都是低能量的：普遍低于最高峰值3個(gè)數(shù)量級(jí)。從圖4的重構(gòu)誤差來(lái)看，被遺漏的27.4 Hz模態(tài)在誤差能量中都屬于超小的數(shù)量級(jí)。該局部模態(tài)模態(tài)遺漏的原因并不在于整體頻段擬合：在采用分段擬合后，依然不能得到此模態(tài)；在只取背面相關(guān)頻響函數(shù)進(jìn)行擬合后，得到了此局部模態(tài)。

(21)

圖T與重構(gòu)頻響幅值疊加Fig.5 Comparison of measured T with synthesized from the identified modal parameters

圖6　烘干機(jī)MAC矩陣Fig.6 MAC matrix of the dryer

數(shù)據(jù)二是丹麥DFDS公司某滾裝船在海浪作用下的OMA檢驗(yàn)。測(cè)試時(shí)滾裝船的引擎轉(zhuǎn)速為123 r/min，共16條響應(yīng)曲線(xiàn)，數(shù)據(jù)共采集90 min，采樣頻率為128 Hz，時(shí)域響應(yīng)波形見(jiàn)圖7。在擬合中，采用第一點(diǎn)Y、Z方向兩個(gè)響應(yīng)作為參考點(diǎn)，共得到32條待擬合曲線(xiàn)。

表1　烘干機(jī)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)

圖7　滾裝船在海浪作用下的時(shí)域響應(yīng)Fig.7 Time response of the ship in random ocean waves

分析頻帶重點(diǎn)關(guān)注0～10 Hz，在實(shí)際中擬合時(shí)，選擇擬合頻段為0～32 Hz，模型自由度為5～70，共得到17個(gè)穩(wěn)定模態(tài)(見(jiàn)圖8)。圖9是通過(guò)圖8的滾裝船穩(wěn)態(tài)圖的穩(wěn)定模態(tài)重構(gòu)的曲線(xiàn)，可以看到，VF算法同樣取得了良好的擬合效果。

圖8　穩(wěn)態(tài)圖Fig.8 Stabilization diagrams of the ship

但圖8中的穩(wěn)定模態(tài)并不是全部為系統(tǒng)模態(tài)。在穩(wěn)態(tài)圖中存在著2.05 Hz整數(shù)倍頻率的模態(tài)，在10 Hz以后的穩(wěn)定模態(tài)基本都是由這些倍頻峰值構(gòu)成。表2列出了0～20 Hz范圍內(nèi)的倍頻模態(tài)：這些模態(tài)對(duì)應(yīng)著10-4數(shù)量級(jí)的超小阻尼比，是測(cè)試過(guò)程中由滾裝船引擎的周期信號(hào)強(qiáng)迫激勵(lì)引起的虛假模態(tài)。海浪的有效激勵(lì)帶寬是0～10 Hz，這也是重點(diǎn)分析這一頻段的原因。

圖9　2+Y/1+Z重構(gòu)Fig.from the identified modal parameters

0～10 Hz頻段內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)取50～70擬合自由度下參數(shù)的平均值，見(jiàn)表3，系統(tǒng)各階模態(tài)向量得到的模態(tài)置信因子矩陣見(jiàn)圖10。

表2　引擎激勵(lì)起的偽模態(tài)

表3　滾裝船0～10 Hz內(nèi)系統(tǒng)模態(tài)

圖10　滾裝船MAC矩陣Fig.10 MAC matrix of the ship

4結(jié)論

本文將頻域內(nèi)的EMA與OMA問(wèn)題使用一致的包含常數(shù)項(xiàng)的多項(xiàng)式模型，實(shí)現(xiàn)了頻域內(nèi)模態(tài)辨識(shí)算法的統(tǒng)一。

在EMA算例中，進(jìn)一步檢驗(yàn)了VF算法在大規(guī)模和低信噪比數(shù)據(jù)下的曲線(xiàn)擬合精度、模態(tài)參數(shù)的穩(wěn)定性以及對(duì)局部模態(tài)的檢驗(yàn)。

在OMA算例中同樣證明了VF算法良好的曲線(xiàn)擬合精度、參數(shù)穩(wěn)定性，同時(shí)討論了環(huán)境激勵(lì)下包含強(qiáng)迫激勵(lì)引起的虛假模態(tài)的甄別。

在EMA和OMA算例中，VF方法都具有良好的曲線(xiàn)擬合精確性和識(shí)別參數(shù)的穩(wěn)定性，使得模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確度和篩選可靠性都得到良好保障。利用VF算法達(dá)到了整個(gè)頻段上的整體擬合，簡(jiǎn)化了模態(tài)參數(shù)辨識(shí)流程，減少人工介入以及由于頻段劃分不當(dāng)造成的識(shí)別質(zhì)量的下降。

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Unity method for EMA and OMA in the frequency domain

DONG Lei1, SONG Han-wen2, ZHENG Tie-sheng1

(1.Department of Mechanics and Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China； 2.School of Aerospace Engineering and Applied Mechanic, Tongji University, Shanghai 200092, China)

The complexity of the characteristics of system dynamics is increasingly outstanding due to the trend of tested objects being changed from isolated components to integral structures. The local behavior of the components and the closely spaced modal increase that occurs with either this complexity of exertion or the measurement of the excitation is almost impossible for large-scale structures. Only the outputs are available, in which case OMA is issued. While the complexity of the system and the difficulty of analysis increase, further analysis highlights the current limitations of the modal-analysis process. Several difficulties can be mentioned: analysis of the complete frequency band simultaneously, high system orders, the large number of measurements to be processed, and its existence in both EMA and OMA processes. Specific mathematical models between EMA and OMA offer no universal method for modal analysis. The present paper reviews the theory of VF and extends the VF method to OMA. A coherent model description and unified identification process are presented for both EMA and OMA in the frequency domain. The implementation of the analysis in the whole frequency band at the same time is obtained using a high model order (over 100), which simplifies the identification process. The decrease in identification quality could be avoided by the reduction of user interaction. An EMA case is discussed, which validates the VF method when it is applied to a large number of FRFs (over 1000) with significant data noise. The excellent result is also confirmed in the OMA case study.

experiment model analysis (EMA); operational model analysis (OMA); modal parameter; frequency domain; unity

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.002

國(guó)家自然科學(xué)基金(11272235)

2015-05-13修改稿收到日期：2015-06-17

董磊 男，博士生，1985年生

宋漢文 男，教授，博士生導(dǎo)師，1961年生

O321;O327

A