朱磊， 沈繼紅

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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正弦信號頻率估計的改進高階自相關算法

朱磊， 沈繼紅

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：針對混有加性高斯白噪聲的正弦信號，利用正弦信號的線性預測性質(zhì)和高階自相關函數(shù)，提出了新的頻率估計算法。新算法與多種算法進行了計算復雜度比較，同時理論推導得到新算法的頻率估計方差的閉合表達。新算法平衡了估計性能和計算量之間的矛盾。在仿真實驗中，與改進協(xié)方差 (MC)算法、Rim算法、Pisarenko 諧波分解 (PHD)算法及其多種改進型算法進行比較。結(jié)果表明：本文算法總體優(yōu)于各對比算法，特別在在信號序列較短和中高信噪比情況下，性能接近克拉美羅界。

關鍵詞：正弦信號；頻率估計；線性性質(zhì)；高階自相關 ；克拉美羅界；Pisarenko諧波分解法

網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160127.1137.036.html

正弦信號的頻率估計問題是信號處理領域的一個基本問題，其在雷達、聲吶、探測、無線通信以及語音識別等領域被廣泛關注和研究[1-4]。極大似然估計法(maximum likelihood，ML)算法能夠達到克拉美羅限，但是需要進行大量計算[2-3]，在工程中難以實現(xiàn)。為尋找計算量合適的次優(yōu)算法，研究者進行了很多探索[3-22]， 焦點集中在兩個方面：估計的精度和算法實現(xiàn)所需的計算量。最大似然估計是最優(yōu)估計，其方差接近克拉美羅限(CRLB)[1-2]，但計算量大無法滿足實時處理的要求[5]。Quinn、 Candan等[6,16-17]利用FFT系數(shù)進行插值計算。Rife、Aboutanios等[1,18-20]利用迭代估計頻率。為了提高估計性能采用相位校正[21-22]技術，能夠在插值算法中改善算法精度。而迭代法的性能則一定程度上依賴于初值的選取[5,21]。文獻[5]指出當初值落在頻率真值5倍克拉美羅限均方根范圍之內(nèi)，迭代法方可獲得高性能。設計出新的高精度直接估計法，既可為迭代提供準確初值，也可直接作為頻率估計器，具備理論和應用的價值[21]。

利用正弦信號線性(linear prediction，LP)性質(zhì)及自相關函數(shù)，研究者提出了多種算法，如改進協(xié)方差(modified covariance，MC)算法[13]、Pisarenko諧波分解法(PHD算法)等[8]。PHD算法具備實現(xiàn)步驟簡單、計算量少等優(yōu)點，SO等[9-10]提出了眾多改進算法，從改進自相關函數(shù)設計的角度，減少估計誤差。Rim等[11]則考慮利用更多自相關信息，包括高階自相關等來進行算法改進。曹燕[4]利用Rim算法作為初值，利用泰勒展開式進行頻率細化，獲得了更好的精度。本文將利用高階自相關函數(shù)在提高估計精度上的優(yōu)勢[14]與PHD算法的派生形式[12]，進行新估計算法的設計，尋找合適的直接估計算法。

1基于線性(LP)性質(zhì)的估計方法

1.1MC估計法

單一頻率實正弦信號模型可表示為

(1)

其中

(2)

在無噪聲的情況下，利用正弦信號的LP性質(zhì)可以得到

(3)

基于LP性質(zhì)可以構(gòu)造預測誤差函數(shù):

(4)

(5)

此方法被也就是改進協(xié)方差(modified covariance，MC)算法[13]。

1.2Rim估計法

當噪聲存在時，MC算法是一個有偏的方法[15]。為了改進MC算法的估計精度，不少文獻開展了研究[9，11]。其中Rim提出基于自相關的頻率估計算法[11]。

無噪理想情況下，對式(1)給出的信號模型，定義基于時間平均的自相關函數(shù):

(6)

當N足夠大時，式(6)中第二項趨于零，對自相關求數(shù)學期望為

(7)

式中δk,0為Kronecker函數(shù)。當k≠0,δk=0，此時信號的自相關函數(shù)：

(8)

自相關信號的頻率與原信號頻率相同，即原信號的頻率估計問題轉(zhuǎn)化為自相關信號的頻率估計問題。同樣利用LP性質(zhì)可得rk+rk+2≈2cos(ω0)rk+1，則對q>p>1，觀察序列:

(9)

可以得出Rim法頻率估計表達式：

(10)

對Rim算法的性能進行了進一步分析表明，Rim算法在中高信噪比下表現(xiàn)較好。但是由于算法需要進行多個自相關函數(shù)計算，因此計算量較大[7]。

2基于高階自相關的頻率估計方法

從基于自相關的頻率估計誤差分析，自相關階數(shù)越高，性能越好[14]。文獻[12]對PHD算法的派生形式進行了研究，提出基于方程求根形式的PHD算法表達。本文算法引入高階自相關系數(shù)，利用LP性質(zhì)推廣PHD派生形式。推導出基于高階自相關的估計算法。

自相關函數(shù)定義由式(6)得到，同時由式(8)可以得到

(11)

(12)

(13)

上述過程都利用了高階的自相關函數(shù)，會帶來頻率模糊問題。文獻[11]和文獻[18]提出利用與PHD估計值最近的估計值作為算法的估計值。

(14)

表1　各種方法計算量比較

3統(tǒng)計性能分析

由式(12)定義三階多項式：

f(T)=4r2T3-2r3T2-3r2T+r3

(15)

(16)

(17)

利用式(6)進行期望計算，為計算式(16)，可以從式(15)得到

(18)

(19)

分別計算E(r2)、E(r3)、E(r22)、E(r32)、E(r2r3)：

(20)

(21)

(22)

(23)

E(r2r3)=

(24)

將結(jié)果代入式(18)、(19)，通過略去高次項進行近似，得到方差的精確理論估計：

(25)

當N值較大時，式(25)的后幾項可以進行進一步的簡化得到：

(26)

其結(jié)構(gòu)更加清楚簡潔，當然，準確程度受到相應的限制。通過圖像可以清楚的對比理論誤差式(25)、(26)與估計算法的數(shù)值試驗的近似程度。

圖1顯示精確誤差公式在SNR=10 dB， N=200時能夠較好的匹配試驗結(jié)果。但注意到式(26)在對式(25)近似時，要求合適的SNR與N值。在對SNR與N取不同值時發(fā)現(xiàn)理論誤差公式(26)在較大的SNR與較小N值情況下，近似效果較差。

圖1　SNR=10 dB， N=200時均方誤差Fig.1　MSE vsω0/π， SNR=10 dB， N=200

圖2～4分別顯示增大SNR、長度 N不變，SNR不變、N減小，SNR增大同時N減小三種情況下理論誤差公式與試驗情況的對比圖。

通過表2，清楚的看到式(25)與式(26)的近似程度差別。雖然式(25)結(jié)構(gòu)繁瑣，但能夠更好的逼近估計誤差。在相對低SNR與高數(shù)據(jù)長度N情況下則能夠用式(26)近似。相對于SNR變化，式(26)對于數(shù)據(jù)長度N變化更加敏感，這與理論分析相吻合。

圖2　SNR=20 dB， N=200時均方誤差Fig.2　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=200

圖3　SNR=10 dB， N=40時均方誤差Fig.3　MSE vsω0/π， SNR=10 dB， N=40

圖4　SNR=20 dB， N=40時均方誤差Fig.4　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=40

SNR=10dBSNR=20dBN=200好(圖1)較差(圖2)N=40差(圖3)非常差(圖4)

4仿真實驗

利用計算機對本文提出的估計算法進行模擬。 并將算法與PHD算法[8]、ML算法[3]、MC算法[13]、IVPHD(improved PHD)算法[9]、RPHD(reformed PHD)算法[10]、Rim算法[11]進行比較。最后，與CRLB限[2]進行對比。

圖5的比較結(jié)果顯示本文提出的算法明顯優(yōu)于各種PHD算法及其改進IVPHD，RPHD算法等。特別的，在區(qū)間(0.35π,0.65π)，最大領先10 dB。注意到在圖2～4中，IVPHD體現(xiàn)出過大的波動性，并且在區(qū)間(0.35π,0.65π)內(nèi)明顯差與本文算法(并且差于其他算法)，并在區(qū)間外呈現(xiàn)大幅震蕩的結(jié)果，算法穩(wěn)定性較差。并且，與計算量最大的Rim算法相比，算法總體上優(yōu)于Rim算法，特別在區(qū)間ω0≤0.2π和ω0≥0.8π有5 dB以上的優(yōu)勢，并且算法的穩(wěn)定性很好。

圖7顯示本文提出的兩種算法，與其他6種算法，在ω0=0.825π,N=20,φ=0 情況下，MSE 隨SNR 變化情況。結(jié)果顯示算法體現(xiàn)出優(yōu)勢。本文提出的算法全面優(yōu)于MC、PHD、IVPHD、RPHD，Rim算法。特別是在SNR>10 dB情況下，算法能夠接近于CLRB界，相差小于1 dB ，體現(xiàn)了計算量和計算精度很好的綜合。

圖5　SNR=20 dB 、 N=200時各算法MSEFig.5　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=200

圖6　SNR=10 dB 、 N=20時各算法MSEFig.6　MSE vsω0/π， SNR=10 dB & N=20

圖7　ω0=0.85π,N=20時各算法MSEFig.7　MSE vs SNR atω0=0.85π,N=20

5結(jié)論

本文對正弦信號頻率估計問題進行研究，通過理論分析和推導，利用正弦信號的LP性質(zhì)及高階自相關函數(shù)的特點，提出基于高階自相關的新估計算法：

1)對算法進行計算復雜度比較，相較其他算法，本文算法在計算量上的消耗較小。適用于實時情況；

2)利用泰勒展開式對算法的方差進行理論推導，給出本文算法的估計誤差的精確和粗略2種閉合表達式。精確公式能夠在各種條件下更準確逼近估計誤差。但在N值較大情況下，結(jié)構(gòu)簡單的粗略形式表達滿足精度要求；

3)對算法的仿真結(jié)果表明，本文算法精度性能上優(yōu)于與之對比的算法，特別是在數(shù)據(jù)序列較小和中高信噪比情況下能夠逼近理論界CRLB。本文提出的估計算法能夠綜合平衡計算精度和計算量，既能單獨作為估計算法，以較小計算量滿足精度需求。同時，也能作為頻率估計迭代算法的合適初值，進一步提高頻率估計算法的性能。

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收稿日期：2015-01-14.

基金項目：國家自然科學基金項目(NSFC:11002037).

作者簡介：朱磊(1982-), 男,講師,博士研究生； 通信作者：朱磊, E-mail: zhulei@hrbeu.edu.cn.

doi:10.11990/jheu.201501022

中圖分類號：TN911.23

文獻標志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)04-0579-06

Modified high-lag autocorrelation estimation method for frequency estimation of sinusoidal signal

ZHU Lei，SHEN Jihong

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract：Based on the linear prediction (LP) property and high-lag autocorrelation of sinusoidal signals, a new frequency estimation algorithm for real sinusoid signals in additive white Gaussian noise is proposed. The computational complexity and theoretical variance expression of the frequency estimation algorithm are given. The new estimator can reach a compromise between estimation performance and amount of computation. Computer simulations were performed to validate the performance of the proposed algorithm via comparison with the Cramer-Rao lower bound (CRLB) and several conventional frequency estimation algorithms, including modified covariance (MC), Rim, Pisarenko harmonic decomposition (PHD), and their modified algorithms. The results show the proposed algorithm is superior to the other methods, and its performance is close to that of CRLB for short data lengths and large SNR.

Keywords：sinusoidal signal; frequency estimation; LP property; high-lag autocorrelation; Cramer-Rao lower bound; Pisarenko harmonic decomposition

網(wǎng)絡出版日期：2016-01-27.

沈繼紅(1966-), 男, 教授，博士生導師.