時統(tǒng)業(yè)，周國輝（海軍指揮學院 信息系，南京 211800）

調和h-凸函數(shù)和調和平方s-凸函數(shù)的 Fejér和Hermite-Hadamard型不等式

時統(tǒng)業(yè)，周國輝
（海軍指揮學院 信息系，南京 211800）

利用調和h-凸函數(shù)和調和平方s-凸函數(shù)的定義以及s-凸函數(shù)、調和s-凸函數(shù)、調和平方s-凸函數(shù)三者之間的相互關系，建立了調和h-凸函數(shù)和調和平方s-凸函數(shù)的Fejér 型和 Hermite-Hadamard 型不等式.

調和h-凸函數(shù)； 調和平方s-凸函數(shù)； s-凸函數(shù)； 調和s-凸函數(shù)； Fejér和Hermite-Hadamard型不等式

1 預備知識

文[1[引入了調和h-凸函數(shù)的概念．

定義1[1］集合Ω?（0，+∞）稱為調和凸集，若對任意x，y∈Ω和任意t∈[0，1[，有

定義2[1］設h：[0，1[→?是非負函數(shù)，Ω?（0，+∞），函數(shù)f：Ω→?稱為調和h-凸函數(shù)，若對任意x，y∈Ω和任意t∈[0，1[，有

若式（1）的不等式反向，則f稱為調和h-凹函數(shù)．

調和h-凸函數(shù)是調和凸函數(shù)[2］（h（t）=t），第二類調和s-凸函數(shù)[1］（h（t）=ts），調和P-凸函數(shù)[1］（h（t）=1），調和Godunova-Levin函數(shù)[1］（h（t）=），第二類調和s-Godunova-Levin函數(shù)[1］（h（t）=）的推廣．

文[1[和[2[分別建立了調和凸函數(shù)和調和h-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式．

定理1[2］設Ω?（0，+∞），f：Ω→?是調和凸函數(shù)，a，b∈Ω，a＜b．若f在[a，b[上勒貝格可積，則有

定理2[1］設I?（0，+∞），h：[0，1[→?是非負函數(shù)，且h2）≠0，f：I→?是調和h-凸函數(shù)，a，b∈I，a＜b．若f在[a，b[上勒貝格可積，則有

定義3[3］設[a，b］｛0｝，稱函數(shù)g：[a，b[→?是關于直線x=調和對稱的，若對任意x∈[a，b[，有

定義4 設[a，b[??｛0｝，稱函數(shù)g：[a，b[→?是關于直線x=調和平方對稱的，若對任意x∈[a，b[，有

文[4[給出了調和凸函數(shù)的Fejér和Hermite-Hadamard型不等式．

定理3[4］設f：I→?是調和凸函數(shù)，a，b∈I，a＜b，p：[a，b[→?是非負可積函數(shù)，且關于直線x=調和對稱．若f在[a，b[上勒貝格可積，則有

注： 若f是調和凹函數(shù)，則定理1～定理3的不等式反向．

文[5[引入了第二類調和平方凸（凹）函數(shù)的概念，文[6[中引入了第二類調和平方s-凸（凹）函數(shù)的概念． 定義6[6］設I?（0，+∞），s∈（0，1[，f：I→（0，+∞），若對任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1[，有

則稱f（x）為I上的調和平方s-凸函數(shù)．若不等式（2）反向，則稱f（x）為I上的調和平方s-凹函數(shù)．

本文的目的之一就是建立調和h-凸函數(shù)的Fejér和Hermite-Hadamard型不等式．另一個目的是建立調和平方s-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式．

引理1[6］設I?（0，+∞），τ：x→x2是單調遞減函數(shù)，τ（I）=I-2，s∈（0，1[， f：I→（0，+∞），則f為I上的調和平方s-凸函數(shù)的充要條件是函數(shù)（f））-2為I-2上的s-凹函數(shù)．

引理2 設I?（0，+∞），s∈（0，1[，ψ：I →（0，+∞），φ（x）=xsψ （x），則ψ是I上的第二類調和s-凸函數(shù)的充要條件為φ是I上的第二類s-凸函數(shù)．

證明 與文[7[引理5的證明過程類似，這里略去．

2 主要結果

定理4 設h：[0，1[→?是非負可積函數(shù)，Ω?（0，+∞），f ：Ω→?是調和h-凸函數(shù)，a，b∈Ω，a＜b，p：[a，b[→?是非負可積函數(shù)，且關于直線x=2ab調和對稱．若f在[a，b[上勒貝格可積，則有 a+b

故式（3）的左邊部分得證．

故式（4）的右邊部分得證．

推論5.1 設I?（0，+∞），s∈（0，1[，f：I→（0，+∞）是I上的調和平方s-凸函數(shù)，a，b∈I，a＜b，若f在[a，b[上勒貝格可積，則有

證明 在定理5中取p（x）=1即可得證．

推論5.2 設I?（0，+∞），f：I→（0，+∞）是I上的調和平方凸函數(shù)，a，b∈I，a＜b，p：[a，b[→?是非負可積函數(shù)且關于直線x=調和平方對稱．若f在[a，b[上勒貝格可積，則有

證明 在定理5中取s=1即可得證．

定理6 設I?（0，+∞），s∈（0，1[，a，b∈I，a＜b，q：[a，b[→?是非負可積函數(shù)且關于直線x=算術平方對稱．若f：I→（0，+∞）是I上的調和平方s-凸函數(shù)，且f在[a，b[上勒貝格可積，則有

再將θ（x）和p（x）代入上式并利用積分變量代換，則式（5）得證．

定理7 設s∈（0，1[，f：[a，b[?（0，+∞）→?是[a，b[上的第二類調和s-凸函數(shù)，p：[a，b[→?是非負可積函數(shù)，且關于直線x=a+b 對稱．若f在[a，b[上勒貝格可積，則有 2

證明 由引理2知xsf（x）是第二類s-凸函數(shù)，于是對任意x，y∈[a，b[，t∈[0，1[，有

定理8 設I?（0，+∞），s∈（0，1[，a，b∈I，a＜b．若f：I→（0，+∞）是I上的調和平方s-凸函數(shù)，且f在[a，b[上勒貝格可積，則有

[1]Noor M A，Noor K I，Awan M U，et al. Some integral inequalities for harmonically h-convex functions[J[. University Politehnica of Bucharest Scientific Bulletin-Series A-Applied Mathematics and Physics，2015，77（1）： 5～16

[2]??can ?. Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions[J[.Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics，2014，43（6）： 935～942

[3]Turhan S，??can ?. Some new Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for harmonically convex functions[EB/OL[. https：//www.researchgate.net/ publication/287814838

[4]Chen Feixiang，Wu Shanhe. Fejér and Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions[J[. Journal of Applied Mathematics，Volume 2014，Article ID 386806

[5]宋振云，陳少元. 調和平方凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J[. 首都師范大學學報（自然科學版），2015，36（3）： 7～14

[6]宋振云. 調和平方s-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J[.數(shù)學的實踐與認識，2016，46（3）： 279～284

[7]時統(tǒng)業(yè)，王 斌. 與HA-凸函數(shù)有關的若干不等式[J[．湖南理工學院學報（自然科學版），2015，28（4）： 1～5，36

SHI Tong-ye，ZHOU Guo-hui
（Department of Information，PLA Naval Command College，Nanjing 211800，China）

With the aid of the definition of harmonically h-convex functions and harmonic square s-convex functions and the relationship among s-convex functions，harmonically s-convex functions and harmonic square s-convex functions，F(xiàn)ejér and Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically h-convex functions and harmonic square s-convex functions were obtained．

harmonically h-convex functions，harmonic square s-convex functions，s-convex functions，harmonically s-convex functions，F(xiàn)ejér and Hermite-Hadamard type inequalities

O178

A

1672-5298（2016）02-0001-05

2016-03-25

時統(tǒng)業(yè)（1963-），男，河北張家口人，碩士，海軍指揮學院信息系副教授. 主要研究方向： 基礎數(shù)學