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        調和h-凸函數(shù)和調和平方s-凸函數(shù)的 Fejér和Hermite-Hadamard型不等式

        2016-08-01 14:58:45時統(tǒng)業(yè)周國輝海軍指揮學院信息系南京211800
        關鍵詞:調和定理直線

        時統(tǒng)業(yè),周國輝(海軍指揮學院 信息系,南京 211800)

        調和h-凸函數(shù)和調和平方s-凸函數(shù)的 Fejér和Hermite-Hadamard型不等式

        時統(tǒng)業(yè),周國輝
        (海軍指揮學院 信息系,南京 211800)

        利用調和h-凸函數(shù)和調和平方s-凸函數(shù)的定義以及s-凸函數(shù)、調和s-凸函數(shù)、調和平方s-凸函數(shù)三者之間的相互關系,建立了調和h-凸函數(shù)和調和平方s-凸函數(shù)的Fejér 型和 Hermite-Hadamard 型不等式.

        調和h-凸函數(shù); 調和平方s-凸函數(shù); s-凸函數(shù); 調和s-凸函數(shù); Fejér和Hermite-Hadamard型不等式

        1 預備知識

        文[1[引入了調和h-凸函數(shù)的概念.

        定義1[1]集合Ω?(0,+∞)稱為調和凸集,若對任意x,y∈Ω和任意t∈[0,1[,有

        定義2[1]設h:[0,1[→?是非負函數(shù),Ω?(0,+∞),函數(shù)f:Ω→?稱為調和h-凸函數(shù),若對任意x,y∈Ω和任意t∈[0,1[,有

        若式(1)的不等式反向,則f稱為調和h-凹函數(shù).

        調和h-凸函數(shù)是調和凸函數(shù)[2](h(t)=t),第二類調和s-凸函數(shù)[1](h(t)=ts),調和P-凸函數(shù)[1](h(t)=1),調和Godunova-Levin函數(shù)[1](h(t)=),第二類調和s-Godunova-Levin函數(shù)[1](h(t)=)的推廣.

        文[1[和[2[分別建立了調和凸函數(shù)和調和h-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式.

        定理1[2]設Ω?(0,+∞),f:Ω→?是調和凸函數(shù),a,b∈Ω,a<b.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

        定理2[1]設I?(0,+∞),h:[0,1[→?是非負函數(shù),且h2)≠0,f:I→?是調和h-凸函數(shù),a,b∈I,a<b.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

        定義3[3]設[a,b]{0},稱函數(shù)g:[a,b[→?是關于直線x=調和對稱的,若對任意x∈[a,b[,有

        定義4 設[a,b[??{0},稱函數(shù)g:[a,b[→?是關于直線x=調和平方對稱的,若對任意x∈[a,b[,有

        文[4[給出了調和凸函數(shù)的Fejér和Hermite-Hadamard型不等式.

        定理3[4]設f:I→?是調和凸函數(shù),a,b∈I,a<b,p:[a,b[→?是非負可積函數(shù),且關于直線x=調和對稱.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

        注: 若f是調和凹函數(shù),則定理1~定理3的不等式反向.

        文[5[引入了第二類調和平方凸(凹)函數(shù)的概念,文[6[中引入了第二類調和平方s-凸(凹)函數(shù)的概念. 定義6[6]設I?(0,+∞),s∈(0,1[,f:I→(0,+∞),若對任意x1,x2∈I和任意t∈[0,1[,有

        則稱f(x)為I上的調和平方s-凸函數(shù).若不等式(2)反向,則稱f(x)為I上的調和平方s-凹函數(shù).

        本文的目的之一就是建立調和h-凸函數(shù)的Fejér和Hermite-Hadamard型不等式.另一個目的是建立調和平方s-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式.

        引理1[6]設I?(0,+∞),τ:x→x2是單調遞減函數(shù),τ(I)=I-2,s∈(0,1[, f:I→(0,+∞),則f為I上的調和平方s-凸函數(shù)的充要條件是函數(shù)(f))-2為I-2上的s-凹函數(shù).

        引理2 設I?(0,+∞),s∈(0,1[,ψ:I →(0,+∞),φ(x)=xsψ (x),則ψ是I上的第二類調和s-凸函數(shù)的充要條件為φ是I上的第二類s-凸函數(shù).

        證明 與文[7[引理5的證明過程類似,這里略去.

        2 主要結果

        定理4 設h:[0,1[→?是非負可積函數(shù),Ω?(0,+∞),f :Ω→?是調和h-凸函數(shù),a,b∈Ω,a<b,p:[a,b[→?是非負可積函數(shù),且關于直線x=2ab調和對稱.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有 a+b

        故式(3)的左邊部分得證.

        故式(4)的右邊部分得證.

        推論5.1 設I?(0,+∞),s∈(0,1[,f:I→(0,+∞)是I上的調和平方s-凸函數(shù),a,b∈I,a<b,若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

        證明 在定理5中取p(x)=1即可得證.

        推論5.2 設I?(0,+∞),f:I→(0,+∞)是I上的調和平方凸函數(shù),a,b∈I,a<b,p:[a,b[→?是非負可積函數(shù)且關于直線x=調和平方對稱.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

        證明 在定理5中取s=1即可得證.

        定理6 設I?(0,+∞),s∈(0,1[,a,b∈I,a<b,q:[a,b[→?是非負可積函數(shù)且關于直線x=算術平方對稱.若f:I→(0,+∞)是I上的調和平方s-凸函數(shù),且f在[a,b[上勒貝格可積,則有

        再將θ(x)和p(x)代入上式并利用積分變量代換,則式(5)得證.

        定理7 設s∈(0,1[,f:[a,b[?(0,+∞)→?是[a,b[上的第二類調和s-凸函數(shù),p:[a,b[→?是非負可積函數(shù),且關于直線x=a+b 對稱.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有 2

        證明 由引理2知xsf(x)是第二類s-凸函數(shù),于是對任意x,y∈[a,b[,t∈[0,1[,有

        定理8 設I?(0,+∞),s∈(0,1[,a,b∈I,a<b.若f:I→(0,+∞)是I上的調和平方s-凸函數(shù),且f在[a,b[上勒貝格可積,則有

        [1]Noor M A,Noor K I,Awan M U,et al. Some integral inequalities for harmonically h-convex functions[J[. University Politehnica of Bucharest Scientific Bulletin-Series A-Applied Mathematics and Physics,2015,77(1): 5~16

        [2]??can ?. Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions[J[.Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics,2014,43(6): 935~942

        [3]Turhan S,??can ?. Some new Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for harmonically convex functions[EB/OL[. https://www.researchgate.net/ publication/287814838

        [4]Chen Feixiang,Wu Shanhe. Fejér and Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions[J[. Journal of Applied Mathematics,Volume 2014,Article ID 386806

        [5]宋振云,陳少元. 調和平方凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J[. 首都師范大學學報(自然科學版),2015,36(3): 7~14

        [6]宋振云. 調和平方s-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J[.數(shù)學的實踐與認識,2016,46(3): 279~284

        [7]時統(tǒng)業(yè),王 斌. 與HA-凸函數(shù)有關的若干不等式[J[.湖南理工學院學報(自然科學版),2015,28(4): 1~5,36

        SHI Tong-ye,ZHOU Guo-hui
        (Department of Information,PLA Naval Command College,Nanjing 211800,China)

        With the aid of the definition of harmonically h-convex functions and harmonic square s-convex functions and the relationship among s-convex functions,harmonically s-convex functions and harmonic square s-convex functions,F(xiàn)ejér and Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically h-convex functions and harmonic square s-convex functions were obtained.

        harmonically h-convex functions,harmonic square s-convex functions,s-convex functions,harmonically s-convex functions,F(xiàn)ejér and Hermite-Hadamard type inequalities

        O178

        A

        1672-5298(2016)02-0001-05

        2016-03-25

        時統(tǒng)業(yè)(1963-),男,河北張家口人,碩士,海軍指揮學院信息系副教授. 主要研究方向: 基礎數(shù)學

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