陳順?lè)?，成?lè)濤，金　剛

(1.湖北科技學(xué)院　電子與信息工程學(xué)院,湖北　咸寧　437100;2.通山一中,湖北　通山　437600 3.通城二中，湖北　通城　437400)

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二維非線性非局域PT對(duì)稱(chēng)光晶格中的孤子

陳順?lè)?，成樂(lè)濤2，金剛3

(1.湖北科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院,湖北咸寧437100;2.通山一中,湖北通山437600 3.通城二中，湖北通城437400)

摘要：本文研究了非局域非線性(2+1)維PT對(duì)稱(chēng)光晶格勢(shì)中孤子的傳輸特性。首先，使用改進(jìn)的平方算符法得到孤子數(shù)值解，然后用傅里葉配點(diǎn)法得到了孤子的穩(wěn)定性情況，對(duì)于孤子在介質(zhì)中傳輸?shù)姆€(wěn)定性情況我們采用分布傅里葉算法得到了它的傳播情況。分析了線性和非線性情況下光束的不同傳播行為。研究發(fā)現(xiàn)在非局域非線性(2+1)維PT對(duì)稱(chēng)光晶格勢(shì)中，孤子是否存在與它的傳播常數(shù)，調(diào)制深度有著密切的關(guān)系，孤子的強(qiáng)度會(huì)隨著傳播常數(shù)的增大而增加，穩(wěn)定性卻隨之減弱。當(dāng)光功率超過(guò)一定值時(shí)孤子不能穩(wěn)定傳輸。

關(guān)鍵詞：非局域非線性；改進(jìn)的平方算符法；帶隙孤子；分步傅里葉算法

孤子又叫孤立子，它是一種特殊的超短脈沖，孤立波是一種在傳播過(guò)程中保持形狀、速度、幅度不變的脈沖狀行波[1]。鑒于孤子具有的這些特性，孤子系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界有著廣泛的應(yīng)用潛力[2]。因此，孤子的形成及其傳輸特性的研究在目前是一個(gè)十分誘人的課題。

近年來(lái), 非局域非線性介質(zhì)中的空間孤子一直是研究的熱點(diǎn),人們對(duì)它們的各種獨(dú)特的性質(zhì)例如相互作用、穩(wěn)定性進(jìn)行了大量研究[3-6]。介質(zhì)中非局域亮孤子間的相互作用取決于它們間的相位差、相干程度、材料的非線性非局域程度; 非局域基態(tài)和二階體亮孤子總是穩(wěn)定的, 而高階亮孤子是震蕩不穩(wěn)的, 但如果樣品的寬度超過(guò)一臨界值, 三階、四階體亮孤子在其存在區(qū)域也總是穩(wěn)定的。 非局域表面亮孤子的穩(wěn)定性與體亮孤子的穩(wěn)定性相似：基態(tài)和二階表面亮孤子總是穩(wěn)定的，高階表面亮孤子是震蕩不穩(wěn)的。非局域基態(tài)界面亮孤子總是穩(wěn)定的, 二階及以上高階界面亮孤子是震蕩不穩(wěn)的[7～9]。 與非局域亮孤子相比，由于其邊界的特殊性，對(duì)非局域暗孤子相互作用及其穩(wěn)定性的研究甚少。非局域暗孤子間的相互作用取決于孤子間距離以及介質(zhì)的非局域程度，并存在著一個(gè)相互作用的臨界點(diǎn)。 2+1維非局域暗孤子由于橫向不穩(wěn)定性容易分裂并演變成渦旋孤子，其暗孤子的穩(wěn)定性如何, 目前還沒(méi)有文章對(duì)其進(jìn)行過(guò)具體研究.

本文基于二維非局域非線性薛定諤方程, 在前期研究[10～22]的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)值模擬得到非局域暗孤子解, 然后提出了暗孤子穩(wěn)定性分析理論, 并對(duì)其數(shù)值求解得到了非局域暗孤子的穩(wěn)定性分析圖, 最后利用加噪聲的傳輸驗(yàn)證了穩(wěn)定性分析理論的正確。

一、理論模型

非局域非線性介質(zhì)中的近軸光束的傳輸特性，沿z軸傳播的光束滿足歸一化的(2+1)維非局域非線性薛定諤方程[23]

(1)

其中u為無(wú)量綱光場(chǎng)包絡(luò)波，z軸為光束傳播軸，x軸和y軸為垂直于傳播軸的光束展寬方向。V(x,y)和W(x,y)分別為PT對(duì)稱(chēng)晶格勢(shì)的實(shí)部和虛部，T表示調(diào)制深度。μ∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)|u(λ)2|dλ表示非局域的形式，PT對(duì)稱(chēng)晶格勢(shì)為

V(x,y)=(sech2(x)+sech2(y))(cos(2x)+cos(2y))，

(2a)

W(x,y)=W0(tanh(2x)tanh(2y))(cos(2x)+cos(2y)),

(2b)

圖1　PT勢(shì)的強(qiáng)度分布 (a)(b)(c)偶對(duì)稱(chēng)V；(d)(e)(f)奇對(duì)稱(chēng)W

假設(shè)方程(1)中孤子解的形式為u=f(x·y)eibz，其中b為傳播常數(shù)，模f(x,y)滿足下列方程

uxx+ivxx+uyy+ivyy+T(uv+ivw+ivv-vw)+(u+iv) ∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)|u2+v2|dλ=b(u+iv),

(3)

我們用改進(jìn)的平方算符方法對(duì)方程(3)進(jìn)行數(shù)值求解，得到PT孤子模。為了研究所得孤子的穩(wěn)定性，我們對(duì)方程(1)采用微擾解:

U=eiμz{f(x,y)+[g(x,y)-h(x,y)]eλz+[g(x,y)+h(x,y)]*eλ*z}

(4)

其中g(shù)(x,y),h(x,y)?f(x,y)為微擾項(xiàng)。將微擾后的U(x,y,z)代入方程(1)，然后對(duì)g(x,y)和h(x,y)進(jìn)行線性化，得到它們的本征值方程:

uxx+ivxx+uyy+ivyy+T(uv+ivw+ivv-vw)+ξu3+ξiu2v+ξuv2+ξiv3=bu+ibv

(5)

令∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)dλ=ξ則:實(shí)部：uxx+uyy+T(uv-vw)+ξu3+ξuv2=bu,虛部：vxx+vyy+T(vw+vv)+ξu2v+ξv3=bv.此本征值問(wèn)題可以改寫(xiě)為

(6)

其中

A1=uxxuyy+Tv+3ξu2+ξv2-b,A2=-Tw+2ξuv,B1=Tw+2ξuv,B2=vxx+vyy+Tv+3ξv2+ξu2-b,此本征值問(wèn)題可以通過(guò)傅里葉配點(diǎn)法進(jìn)行求解，若本征值的實(shí)部為零，則孤子線性穩(wěn)定，反之，線性不穩(wěn)定。

為了便于討論，取PT勢(shì)的虛部強(qiáng)度W0=0.1。PT勢(shì)的分布如圖1所示，可以看到其實(shí)部V 關(guān)于原點(diǎn)偶對(duì)稱(chēng)，虛部W關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng)。

二、孤子的形成與分布

首先對(duì)方程(1)進(jìn)行求解得到基模孤子，由圖可以看出功率P隨著傳播常數(shù)μ的增加而增加，隨著調(diào)制深度參數(shù)T的增加P減小。孤子在光晶格傳輸有一個(gè)存在的區(qū)域與穩(wěn)定的區(qū)域，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加。孤子的能量為P=∫-∞+∞∫-∞+∞|f(x,y)|2dxdy。圖2(a)(b)(c)表示不同調(diào)制深度T和傳播常數(shù)μ時(shí)基極孤子的強(qiáng)度分布。圖2(d)(e)(f)是對(duì)應(yīng)孤子實(shí)部與與虛部的光場(chǎng)分布，圖2(g)(h)(i)是對(duì)應(yīng)孤子的穩(wěn)定性光譜，我們?cè)谟?jì)算仿真過(guò)程中發(fā)現(xiàn)第一帶隙結(jié)構(gòu)中的基模孤子可以保持穩(wěn)定，通過(guò)線性穩(wěn)定性分析我們得到了三組孤子的穩(wěn)定性光譜，由于僅僅包含虛部本征值，因此這個(gè)孤子是穩(wěn)定的。

圖2(a)(b)(c) 基模孤子強(qiáng)度分布圖，參數(shù)為(a)T = 3，μ= 6.4，(b) T = 3，μ= 8.6，(c) T =6，μ= 8.6，(d)(e)(f)基模孤子光場(chǎng)分布(實(shí)部是實(shí)線，虛部是虛線)；(g)(h)(i) 基模孤子線性穩(wěn)定性光譜

圖3　(a)(b)(c) 偶孤子強(qiáng)度分布圖，參數(shù)為(a)T = 5，μ= 8.4，(b) T = 5，μ= 9.6，(c) T =7，μ= 9.6，(d)(e)(f)偶孤子光場(chǎng)分布(實(shí)部是實(shí)線，虛部是虛線)；(g)(h)(i) 偶孤子線性穩(wěn)定性光譜

圖4　(a)(b)(c)是偶孤子對(duì)應(yīng)圖3 (a)(b)(c)在z=400的輸出；(d)(e)(f)是偶孤子在z=400的輸出時(shí)刻的相位分布。參數(shù)為(a)T = 5，μ= 8.4，(b) T = 5，μ= 9.6，(c) T =7，μ= 9.6。

圖3(a)(b)(c)表示不同調(diào)制深度T和傳播常數(shù)μ時(shí)偶孤子的光場(chǎng)分布，當(dāng)T=5，傳播常數(shù)μ增加時(shí)，圖3(b)中孤子的光強(qiáng)大于3(a)；當(dāng)μ=9.6時(shí)，圖3(c)中孤子的光強(qiáng)小于3(b)。圖3.3(d)(e)(f)時(shí)對(duì)應(yīng)的偶孤子的光場(chǎng)實(shí)部虛部分布圖，可以看出它是實(shí)部關(guān)于原點(diǎn)偶對(duì)稱(chēng)，虛部關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng)。圖3.3(g)(h)(i)是對(duì)應(yīng)孤子的線性穩(wěn)定性光譜，可以看出(g)(i)都是穩(wěn)定的，(h)是不穩(wěn)定的。這是由于方程(1)中的非線性項(xiàng)與非局域度之間的相互作用，非線性效應(yīng)加強(qiáng)光束寬度變小抑制了孤子的能量轉(zhuǎn)移，使得在這種平衡狀態(tài)下得到穩(wěn)定孤子。偶孤子之間存在著相互排斥的作用，所以在得到穩(wěn)定的二極孤子時(shí)需要對(duì)基極孤子更大的調(diào)制深度，進(jìn)而分裂得到偶孤子。 P隨μ的增大而增大，其中，調(diào)制深度T增大，功率P隨μ的增加而增加的速率變慢。隨著T的增加P減小，其中，傳播常數(shù)μ增大。

接著我們用分布傅里葉算法得到了偶孤子的傳輸圖像。圖4 (a)(b)(c)和(d)(e)(f)分別為偶孤子在Z=400時(shí)的輸出圖像和相位分布。由圖4(a)(c)可見(jiàn)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)距離的傳輸后偶孤子能夠在吸收微擾白噪聲能量后保持其原有波形，從而傳輸穩(wěn)定。而由圖4 (b)我們可以看到孤子在經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)距離的傳輸后發(fā)生了失真，波形嚴(yán)重變形，這是由于發(fā)生能量轉(zhuǎn)移，使得孤子不穩(wěn)定。從而證明了線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果。

三、結(jié)論

通過(guò)研究我們得出帶隙基模孤子的功率P隨著傳播常數(shù)μ的增加而增加，隨著調(diào)制深度參數(shù)T的增加功率P減小。孤子在光晶格傳輸有一個(gè)存在的區(qū)域與穩(wěn)定的區(qū)域，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加。我們發(fā)現(xiàn)在第一帶隙結(jié)構(gòu)中的基模孤子可以保持穩(wěn)定，通過(guò)線性穩(wěn)定性分析我們得到了三組孤子是穩(wěn)定的，而偶孤子之間存在著相互排斥的作用，所以在得到穩(wěn)定的二極孤子時(shí)需要對(duì)基極孤子更大的調(diào)制深度，進(jìn)而分裂得到偶孤子。功率P隨傳播常數(shù)μ的增大而增大，調(diào)制深度T增大，功率P隨μ的增加而增加的速率變慢。隨著T的增加P減小，傳播常數(shù)μ增大。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃景寧，徐濟(jì)仲，熊吟濤．孤子：概念、原理和應(yīng)用[M]．北京：高等教育出版社，2004.

[2] 何影記．空間孤子傳輸?shù)难芯縖D]．激光與光譜學(xué)研究所光電材料與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,2007.

[3]SiliuXu,MilivojR.Belic,Three-dimensionalHermite-Besselsolitonsinstronglynonlocalmediawithvariablepotentialcoefficients,OpticsCommunications,2014,313(15):62～68.

[4]A.Guo,G.J.Salamo,D.Duchesne,R.Morandotti.et,al.,ObservationofPT-SymmetryBreakinginComplexOpticalPotentials[J].Phys.Rev.Lett.2009,(103): 093902-093905.

[5]M.C.Zheng,D.N.Christodoulides,R.Fleischmann,andT.Kottos,PTopticallatticesanduniversalityinbeamdynamics[J].Phys.Rev.A2010,(82):010103～010109.

[6]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi,SpatialSolitonSolutionsinaHarmonicPotential[J].CHIN.PHYS.LETT.,2009, (26): 074215-0742219.

[7]SiliuXu,JiangchuLiangandZhongmingLi,Self-similarspatiotemporalsolitarywavesinBesselHermiteopticallattices[J].Chin.Phys.B,2011,20,11～17.

[8] 徐四六,劉會(huì)平, 易林, 強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中的二維庫(kù)墨-高斯孤子簇[J].物理學(xué)報(bào), 2010,59(2):1069.

[9]高星輝, 張承云, 唐冬,等. 非局域暗孤子及其穩(wěn)定性分析[J]. 物理學(xué)報(bào), 2013, 63(4):228～232.

[10]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi,Self-similarsolitarywavesinBesselopticallattices[J].J.Opt.Soc.Am.B,2010, 27(1):99～106.

[11]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi,ExactsolitonsolutionstoageneralizednonlinearSchrodingerequation[J].Commun.Theo.Phys.,2010,(531):59～66.

[12]SiliuXu,MilivojR.Belic,andWei-PingZhong,Three-dimensionalspatio-temporalvectorsolitarywavesincouplednonlinearSchrodingerequationswithvariablecoefficients[J].J.Opt.Soc.Am.B,2013, 30(1):113～122.

[13]SiLiuXu,NikolaZ.Petrovic,MilivojR.Beli?,Vortexsolitonsinthe(2+1)-dimensionalnonlinearSchrodingerequationwithvariablediffractionandnonlinearitycoefficients[J].Phys.Scr.2013, (87):045401～045407.

[14]SiliuXu,MilivojR.Belic,Three-dimensionalHermite-Besselsolitonsinstronglynonlocalmediawithvariablepotentialcoefficients[J],OpticsCommunications,2014,313(15), 62～69.

[15]SiliuXuandMilivojR.Belic,LightbulletsinspatiallymodulatedLaguerre-Gaussopticallattices[J].J.Opt.Soc.Am.B,2013, 30 (10): 2715～2721.

[16]SiliuXu,MilivojR.Belic,Lightbulletsinthree-dimensionalcomplexGinzburg-LandauequationwithspatiallymodulatedKummer-Gaussopticallattice，EPL,2014, (108):34001～34007.

[17]Z.Lin,H.Ramezani,T.Eichelkraut,T.Kottos,H.Cao,andD.N.hristodoulides[J].Phys.Rev.Lett.2011,(106):213901～213904.

[18]S.L.Xu,M.R.Belic,LightbulletsincouplednonlinearSchrodingerequationwithspatiallymodulatedcoefficientsandBessel,trappingpotential[J].J.Mod.Opt.2015,(62):683～692.

[19]S.L.Xu,N.Petrovic,M.R.Belic,Exactsolutionsofthe(2+1)-dimensionalquinticnonlinearSchrodingerequationwithvariablecoefficients,NonlinearDyn.2015, (80):583～589.

[20]S.L.Xu,G.P.Zhou,N.Z.Petrovic,andM.R.Belic,NonautonomousvectormatterwavesintwocomponentBose-Einsteincondensateswithcombinedtime-dependentharmonic-latticepotential[J].J.Opt.17,2015.105605～105611.

[21]H.Ramezani,T.Kottos,R.El-Ganainy,andD.N.Christodoulides,UnidirectionalNonlinearPT-symmetricOpticalStructures[J].Phys.Rev.A,2010, (82)：043803～043809.

[22]Si-LiuXu,Jia-XiCheng,MilivojR.Belic,Zheng-LongHu,andYuanZhao,Dynamicsofnonlinearwavesintwo-dimensionalcubic-quinticnonlinearSchrodingerequationwithspatiallymodulatednonlinearitiesandpotentials[J].OPTICSEXPRESS,2016,24(9)：10066～10077.

[23]Z.Y.Zhang,andS.J.Xiong,Effectoflayer-thicknessrandomnessongapsolitonsandopticalbistabilityinnonlinearsuperlatticeswithphotonicstopgaps[J].Phys.Rev.B,1997，(55)：10302～10306.

文章編號(hào)：2095-4654(2016)05-0001-05

* 收稿日期：2016-02-01

中圖分類(lèi)號(hào)：TN929.11

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A