張玉蓮，儲海榮，張宏巍，張明月，陳　陽，李銀海

(中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033)

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MEMS陀螺隨機誤差特性研究及補償

張玉蓮*，儲海榮，張宏巍，張明月，陳陽，李銀海

(中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033)

摘要：為了提高MEMS陀螺輸出角速度的精度，采用Allan分析法以及Kalman濾波算法對MEMS陀螺儀進行隨機誤差分析和補償。由Allan方差分析陀螺的輸出數(shù)據(jù)，對Allan方差進行最小二乘法擬合，得到各項隨機噪聲的定量評價指標；對陀螺的輸出數(shù)據(jù)使用AR模型進行數(shù)學建模，采用AIC準則確定了AR模型的階次，建立了陀螺零漂數(shù)據(jù)的離散時間表達式；在AR模型所建立的陀螺隨機誤差模型的基礎上，設計了Kalman濾波器，對陀螺輸出數(shù)據(jù)使用Kalman算法進行了濾波處理，對陀螺的隨機誤差進行了補償；通過Allan方差對Kalman算法對陀螺隨機誤差的補償效果進行分析。實驗結果表明：角速率隨機游走Kalman濾波前為0.148 ，Kalman濾波補償后為，通過補償可減小97.24%的角速率隨機游走誤差；零偏不穩(wěn)定性Kalman濾波前為1.940 8°/h，Kalman濾波補償后為0.054 2°/h，通過補償可減小97.21%的零偏不穩(wěn)定性誤差；速率隨機游走Kalman濾波前為2.698 ，Kalman濾波補償后為0.334 ，通過補償可減小87.61%的速率隨機游走誤差。Kalman濾波適用于MEMS陀螺的濾波處理，可有效降低陀螺的隨機誤差。

關鍵詞:MEMS陀螺；隨機誤差；Allan方差；AR模型；Kalman濾波

1引言

武器系統(tǒng)中的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)(SINS)一般采用MEMS陀螺儀來獲取飛行器的角速度信息。MEMS陀螺具有成本低、體積小、功耗低、重量輕及可靠性高等優(yōu)勢[1-3]，在無人機、精確制導導彈等領域具有廣泛的應用前景。

目前，與光纖陀螺和激光陀螺相比，MEMS陀螺的精度較低[4]，由于傳感器的噪聲、漂移及刻度因數(shù)非線性等影響會造成陀螺輸出產生較大的誤差[5]，并且MEMS陀螺的精度會隨著時間的延長而降低，這些誤差會作為捷聯(lián)慣導系統(tǒng)中慣導解算的誤差源，影響飛行器的姿態(tài)解算精度，從而引起較大的航向誤差[6]。

影響MEMS陀螺精度的誤差主要有確定性誤差和隨機誤差，確定性誤差作為系統(tǒng)誤差，可以通過標定等環(huán)節(jié)加以消除[7]，而隨機誤差沒有明顯的規(guī)律，是限制MEMS陀螺精度提高的主要瓶頸。因此MEMS陀螺的隨機誤差辨識及補償是提高陀螺精度的重要途徑。

MEMS陀螺隨機誤差辨識主要有自相關分析法、功率譜密度、Allan方差等方法。自相關分析法的數(shù)據(jù)采集時間特別長，有時甚至超過儀器壽命[8]；功率譜密度是隨機誤差的頻域分析方法，很難通過分析功率譜密度函數(shù)將隨機誤差分離出來[9]；而Allan方差分析法能夠很容易地對各類誤差源進行細致的表征和辨識[10]，具有便于計算和分離等優(yōu)點。對于改善陀螺的性能，傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器存在實時性不高，處理過程過于簡單等缺點。本文采用Kalman濾波方法對陀螺數(shù)據(jù)進行濾波補償，提高了陀螺性能補償?shù)木群托省?/p>

Allan方差是由David Allan提出的，該方法最初是為了分析振蕩器的相位和頻率的不穩(wěn)定性，是一種時域分析方法[11]。陀螺等慣性器件具有振蕩器的特征，該方法已被應用于慣性傳感器的隨機誤差辨識。Allan方差分析方法能夠準確地將陀螺的量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機游走和速率斜坡等各項隨機誤差分離開來，是對陀螺隨機噪聲進行分類分析的最佳方法[12]。并且，Allan方差可以定量比較不同陀螺的各項隨機誤差性能指標，同時還可以作為濾波算法對陀螺隨機誤差補償結果的評價依據(jù)。

本文依據(jù)Allan方差分析原理，以實際測試中的零偏穩(wěn)定性測試數(shù)據(jù)為例，實現(xiàn)MEMS陀螺隨機誤差特性分析，采用AR模型對陀螺輸出數(shù)據(jù)進行建模，對MEMS陀螺的隨機誤差進行補償。隨機誤差補償采用Kalman濾波算法，形成了MEMS陀螺隨機誤差特性研究及補償?shù)南到y(tǒng)方法。

2MEMS陀螺隨機誤差的Allan方差

2.1Allan方差分析

當MEMS陀螺儀輸入值為零時，設有N個在初始采樣間隔為τ0時獲得的陀螺儀輸出角速度的初始樣本數(shù)據(jù)；對于共N個初始樣本的連續(xù)數(shù)據(jù)，將N個樣本數(shù)據(jù)平均分為K組，把M個連續(xù)數(shù)據(jù)作為一組，一組的時間長度為τ=Mτ0，τ也稱為相關時間，分別取τ為τ0、2τ0、……Kτ0(K

(1)

則Allan方差為：

(2)

式中，〈 〉為求總體的平均。

(3)

分別取不同的τ，重復上述過程。其中，K為N/M商的最大整數(shù)值。σ2(τ)為Allan方差，Allan方差的平方根σ(τ)稱為Allan標準差，在τ取對數(shù)坐標的坐標系中得到σ(τ)～τ曲線，稱為Allan標準差曲線。

2.2Allan方差在隨機誤差辨識中的應用

MEMS陀螺主要包括量化噪聲、角隨機游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機游走和速率斜坡等5種隨機噪聲。不同噪聲在Allan標準差曲線中表現(xiàn)為不同斜率的直線，且各種類型的噪聲出現(xiàn)在不同的相關時間區(qū)域，可以根據(jù)上述特點來辨識陀螺零漂測試數(shù)據(jù)中存在的不同噪聲[13]。陀螺隨機噪聲辨識的典型Allan方差曲線如圖1所示。

圖1　陀螺隨機誤差辨識典型Allan方差曲線 Fig.1　Typical Allan variance curve of Gyro random error identification

(1)量化噪聲

量化噪聲(Quantization Noise,QN)代表了MEMS陀螺的最低分辨率水平，是由MEMS陀螺輸出數(shù)據(jù)的數(shù)字化引起的。采樣開始時，量化噪聲影響較大，在Allan標準差曲線中斜率為-1。量化噪聲的Allan方差為:

(4)

(2)角隨機游走

角隨機游走(Angular Random Walk,ARW)是MEMS陀螺隨機誤差的主要部分，它是由相關時間比采樣間隔短的多的高頻噪聲引起的。在Allan標準差曲線中，隨著時間推移，量化噪聲逐漸減小，角隨機游走誤差增大，Allan標準差曲線的斜率變?yōu)?1/2。之后，會出現(xiàn)一階馬爾可夫噪聲和正弦噪聲等誤差，但其影響比較小，一般選擇忽略，此時Allan標準差曲線無規(guī)律性。角隨機游走的Allan方差為:

(5)

(3)零偏不穩(wěn)定性

零偏不穩(wěn)定性(Bias Instability,BI)來源于電路噪聲、環(huán)境噪聲以及其它有可能產生閃爍噪聲的內部構件。隨著測量時間的延長，零偏不穩(wěn)定性誤差占據(jù)相應時段的主導地位。零偏不穩(wěn)定性的Allan方差為:

(6)

當τ>>τ0時，在Allan標準差曲線中其斜率為0，Allan標準差達到穩(wěn)定。

(4)角速率隨機游走

角速率隨機游走(Rate Random Walk,RRW)誤差的來源不確定，可能是具有長相關時間的指數(shù)相關噪聲的極限情況，也有可能是由MEMS陀螺內部晶振的老化效應引起的[14]，在Allan標準差曲線中斜率為1/2。角速率隨機游走的Allan方差為:

(7)

(5)速率斜坡

速率斜坡誤差(Rate Ramp,RR)可能是由于在某個方向上平臺保持一個非常小的加速度，或者由于外界環(huán)境的變化導致MEMS陀螺的溫度產生漂移，在Allan標準差曲線中斜率為1。速率斜坡的Allan方差為:

(8)

若MEMS陀螺各項隨機噪聲的數(shù)理統(tǒng)計特性是相互獨立的，則MEMS陀螺零偏穩(wěn)定性測量數(shù)據(jù)的Allan方差可表示為各項隨機誤差的方差之和，如式(9)所示。

(9)

上式可用式(10)進行最小二乘法擬合。

(10)

(11)

通過擬合函數(shù)求得An的值后，從而可以得到量化噪聲Q、角隨機游走N、零偏不穩(wěn)定性B、角速率隨機游走K、速率斜坡R的估計值。

B=0.6648·A0°/s，

(12)

2.3Allan方差估計精度分析

Allan方差的估計適用于有限長度數(shù)據(jù)，其估計的可信度與數(shù)據(jù)劃分組數(shù)的多少相關，對于某特定的隨機過程數(shù)據(jù)，劃分的組數(shù)越多，Allan方差估計的可信度就越高。若共有N個數(shù)據(jù)點，將所有數(shù)據(jù)點平均分為K組，每組數(shù)據(jù)點的長度為M，Allan方差估計的百分比誤差為：

(13)

3測試實驗及數(shù)據(jù)處理

3.1陀螺測試實驗設計

陀螺儀測試原理框圖如圖2所示。

圖2　陀螺儀測試原理框圖 Fig.2　Principle frame chart of gyro test

本實驗測試的MEMS陀螺儀為MSG1100D，MSG1100D的數(shù)據(jù)以SPI接口輸出，陀螺儀測試數(shù)據(jù)采集板以TMS320F28335為核心接口處理器，使用陀螺儀測試數(shù)據(jù)采集板采集陀螺儀的輸出數(shù)據(jù)，并將采集到的數(shù)據(jù)通過CAN總線發(fā)送，由CANoe記錄CAN總線上的實驗數(shù)據(jù)。溫箱速率轉臺在轉臺控制程序的控制下實現(xiàn)MEMS陀螺儀的自動化測試。

設定對MSG1100D陀螺輸出數(shù)據(jù)的采樣間隔時間為10 ms，以100 Hz的采樣頻率連續(xù)測量80 min。根據(jù)陀螺儀測試原理框圖所搭建的測試平臺如圖3所示。

圖3　MEMS陀螺儀測試平臺 Fig.3　Test platform of MEMS gyro

在室溫下，將MSG1100D通過安裝夾具固定在轉臺上，在靜態(tài)下通電采樣，采集持續(xù)時間為90 min，選取陀螺儀輸出穩(wěn)定后連續(xù)80 min的有效采樣數(shù)據(jù)。MSG1100D陀螺輸出原始數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4　MSG1100D陀螺輸出原始數(shù)據(jù) Fig.4　Output raw data of MSG1100D gyro

3.2隨機誤差的各態(tài)遍歷性分析

依據(jù)一般工程處理，首先假定隨機信號是平穩(wěn)的，再假定它是各態(tài)遍歷的，通過對隨機信號的檢驗說明假定的正確性。由于過程平穩(wěn)的假設，保證了不同時刻的統(tǒng)計特性是不同的，只要一個實現(xiàn)時間充分長的過程能表現(xiàn)出各個實現(xiàn)的特征，就可用一個實現(xiàn)來表示總體的統(tǒng)計特性，即平穩(wěn)的隨機過程是各態(tài)遍歷的。

查符號檢驗表，在0.05置信度下，若接受平穩(wěn)性假設，則正負號轉換次數(shù)應在6～15次之間，而上述正負號的轉換次數(shù)為8，顯然陀螺輸出數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的隨機信號，說明陀螺的隨機誤差是符合各態(tài)遍歷的。

3.3陀螺輸出數(shù)據(jù)的Allan方差分析

陀螺輸出數(shù)據(jù)的采樣間隔τ0=10 ms，連續(xù)80 min的有效采樣數(shù)據(jù)共有N=480 000個陀螺輸出數(shù)據(jù)點。已知采樣間隔τ0和總采樣數(shù)據(jù)個數(shù)N后，應用Allan方差分析法對MEMS陀螺的零偏測量數(shù)據(jù)進行處理，即基于式(1)～(3)編寫Matlab數(shù)據(jù)程序處理陀螺零偏測數(shù)據(jù)，可得到σ(τ)～τ對應的Allan標準差曲線。通過最小二乘法對阿倫方差進行擬合，得到擬合系數(shù)后繪制出擬合的阿倫標準差曲線。MSG1100D的Allan標準差及其擬合曲線如圖5所示。

圖5　MSG1100D的Allan標準差及其擬合曲線 Fig.5　MSG1100D′s Allan standard deviation and it′s fitting curve

根據(jù)式(12)計算得到MSG1100D陀螺的各項隨機誤差如表1所示。

表1　MSG1100D陀螺的各項隨機誤差統(tǒng)計表

根據(jù)式(13)計算得Allan方差的估計的百分比誤差為0.14%，估計的可信度為99.86%。表明，MSG1100D陀螺測試數(shù)據(jù)的Allan方差分析具有較高的可信度。

4隨機誤差補償方法

4.1陀螺儀輸出數(shù)據(jù)建模方法

MEMS陀螺隨機誤差測試數(shù)據(jù)是有序的非平穩(wěn)隨機過程信號，可以按照統(tǒng)計理論，采用一定的方法處理系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)，建立一個能夠反映系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)學模型，可采用自回歸模型AR進行建模來描述陀螺的系統(tǒng)特性。AR模型適用于均值為零且滿足正態(tài)分布的隨機過程的描述，該模型的優(yōu)點是容易建模、計算快速、便于預測、易于估計模型的參數(shù)[15]。

{xk}為一零均值的非平穩(wěn)隨機序列，其中K=1,2,…N，該序列的AR模型的形式如式(14)所示。

(14)

AR模型階次的確定主要有自相關和偏相關定階法、FPE準則、AIC準則等方法。本文采用AIC準則來對AR模型進行定階。

陀螺漂移模型的階次一般都比較低，通常不大于三階。對AR(1)、AR(2)、AR(3)的模型參數(shù)和AIC值分別進行估計，計算結果如表2所示。

表2　AR模型擬合系數(shù)

從表2可以看出，運用AR模型在不同階次建模時AIC的值相差不大。在工程應用中一般使用AR(1)即可保證建模的精度。

AR(1)模型的表達式為：

(15)

4.2Kalman濾波算法

Kalman濾波技術以陀螺儀的隨機漂移等導航系統(tǒng)的誤差作為狀態(tài)變量，用離散化的狀態(tài)方程來建立描述系統(tǒng)的數(shù)學模型，由狀態(tài)方程和量測方程共同表現(xiàn)系統(tǒng)特性，經過Kalman濾波處理后會得到系統(tǒng)狀態(tài)變量的最佳估計值[16-17]。在慣性導航系統(tǒng)中，使用Kalman可以將陀螺的隨機噪聲誤差減小到很低的水平。

以系統(tǒng)的觀點，可以把陀螺儀的零點漂移看作是輸入為白噪聲時的系統(tǒng)輸出。Kalman濾波采用遞推線性最小方差估計的原理，只需給定前一時刻的估計值和當前時刻的測量值即能推出當前狀態(tài)的最佳估計值，能實現(xiàn)隨機信號在最小均方估計誤差下的最優(yōu)線性濾波[18]。

利用Kalman濾波方法對陀螺儀漂移進行濾波的原理如下。

若k時刻的系統(tǒng)方程為：

(16)

k時刻的量測方程為：

(17)

Kalman濾波的5個基本方程為：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

對于陀螺儀測量數(shù)據(jù)而言，輸入U(k)=0，X(k|k-1)是根據(jù)前一狀態(tài)進行預測后得到的預測值，X(K-1|k-1)為前一狀態(tài)的最優(yōu)估計值。P為系統(tǒng)所對應的協(xié)方差。H為量測矩陣，對于線性系統(tǒng)來說，H為常數(shù)矩陣。Kg(k)為卡爾曼增益。X(k|k)是綜合預測值和實際測量值的當前狀態(tài)的最佳估計值。觀測量Z(k)是480 000個采樣周期的陀螺儀輸出實際測量值。V(k)為測量噪聲，一般假設為高斯白噪聲，R為測量噪聲的協(xié)方差。W(k)為過程激勵噪聲，一般也假設為高斯白噪聲，Q為系統(tǒng)過程的協(xié)方差。W(k)和V(k)是相互獨立的，系統(tǒng)過程協(xié)方差Q和測量噪聲協(xié)方差R為常數(shù)。

4.3Kalman濾波器設計及結果分析

由AR(1)模型建立的陀螺隨機誤差模型為:

(23)

觀測值Z(K)是陀螺儀輸出的實際測量值。陀螺儀輸出數(shù)據(jù)的時間序列是一維的，可以對Kalman濾波公式進行簡化。A=0.123 5，B=0，W(k)=ak，X(0|0)=0.05，P(0|0)=0.1，H=1，Q=0.024 7，R=1，得到Kalman濾波公式為：

(24)

P(k|k-1)=0.12352·

(25)

(26)

(27)

(28)

圖6　MEMS陀螺隨機誤差Kalman濾波效果圖 Fig.6　Kalman filtering of MEMS Gyro random error

根據(jù)Kalman濾波式(24)～(28)設計相應的matlab程序對陀螺儀輸出數(shù)據(jù)進行Kalman濾波處理，處理結果如圖6所示。由圖6可以看出，Kalman濾波能夠很快的收斂和跟蹤，濾波前與濾波后數(shù)據(jù)均值和方差的對比如表3所示。

表3　濾波前后數(shù)據(jù)均值和方差對比

由表3結果能夠看出，Kalman濾波之后數(shù)據(jù)的均值明顯降低；而數(shù)據(jù)的方差更是大幅下降，減小了3個數(shù)量級。

對MEMS陀螺的零偏測量數(shù)據(jù)經過Kalman濾波處理后得到的數(shù)據(jù)進行Allan方差分析，得到σKalman(τ)～τ對應的Allan標準差曲線，Kalman濾波前后Allan標準差對比曲線如圖7所示。

Kalman濾波后的Allan方差采用最小二乘法進行曲線擬合，得到擬合系數(shù)后根據(jù)式(12)計算得到Kalman濾波后陀螺的各項隨機誤差如表4所示。

影響MEMS陀螺精度的主要隨機誤差為角速率隨機游走、零偏不穩(wěn)定性和速率隨機游走。通過Kalman濾波前后的隨機誤差對比可以看到，陀螺儀的各項隨機噪聲都有了大幅的降低。

圖7　Kalman濾波前后Allan標準差對比曲線 Fig.7　Allan standard deviation contrast curves before and after Kalman filtering

隨機誤差項濾波后結果隨機誤差降低百分比/%量化噪聲Q/urad4.1×10-688.75角隨機游走N/(°/h)0.004197.24零偏不穩(wěn)定性B/(°/h)0.054297.21速率隨機游走K/(°/h32)0.334387.61速率斜坡R/(°/h2)6.156374.53

4.4動態(tài)補償效果分析

為了驗證動態(tài)下陀螺輸出數(shù)據(jù)的Kalman濾波補償效果，使安裝在轉臺上的陀螺按照300°/s的角速度進行旋轉，得到動態(tài)下的陀螺輸出數(shù)據(jù)，重復4.3節(jié)處理過程對動態(tài)陀螺輸出數(shù)據(jù)進行AR模型建模及Kalman濾波處理，實驗及處理結果如圖8所示。

圖8　動態(tài)下MEMS陀螺隨機誤差Kalman濾波效果圖 Fig.8　Kalman filtering effect of MEMS gyro random error under dynamic condition

陀螺動態(tài)輸出數(shù)據(jù)同樣能夠滿足AR模型，由圖8可以看出，陀螺動態(tài)輸出數(shù)據(jù)經過Kalman濾波處理后隨機誤差顯著降低。

5結論

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收稿日期:2016-02-29；

修訂日期:2016-04-14

基金項目：國家自然科學基金資助項目(No.51305421)

文章編號2095-1531(2016)04-0501-10

中圖分類號：V249.322

文獻標識碼:A

doi:10.3788/CO.20160904.0501

作者簡介：

張玉蓮(1991—)，女，山東濟寧人，碩士，研究實習員，主要從事慣性導航系統(tǒng)方面的研究。E-mail:yulian-2009@163.com

Characterists and compensation method of MEMS gyroscope random error

ZHANG Yu-lian*, CHU Hai-Rong, ZHANG Hong-wei, ZHANG Ming-yue, CHEN Yang, LI Yin-hai

(ChangchunInstituteofOptics,FineMechanicsandPhysics,ChineseAcademyofSciences,Changchun130033,China)*Correspondingauthor,E-mail:yulian-2009@163.com

Abstract:In order to improve the accuracy of MEMS gyro angular velocity, Allan analysis and Kalman filter algorithm are used to analyze and compensate the random error of MEMS gyroscope. First, Allan variance is used to analyze the gyro output data, and least squares algorithm is used to fit Allan variance. A quantitative evaluation of the random noise is obtained. Then, AR model is applied to set up a mathematical model of gyro output data, and AIC criterion is used to determine the order of the AR model, establishing a discrete time expression of gyro drift data. After that, the Kalman filter is designed based on gyro random error model established by AR model, and Kalman filtering algorithm is used for filtering processing of gyro output data. The random error of gyro can be compensated. Finally, the compensation effect of Kalman algorithm for the gyro random error is analyzed through Allan variance. Experimental results indicate that after compensation of Kalman filter the angular random walk is reduced by 97.24% from 0.148 to 0.004 , the bias instability is reduced by 97.21% from 1.940 8°/h to 0.0542°/h, and rate random walk is reduced by 87.61% from to . Kalman filter can be well applied to filtering process of MEMS gyroscope, and it can effectively reduce the gyro random error.

Key words:MEMS gyrocope;random error;Allan variance;AR model;Kalman filter

Supported by National Natural Science Foundation of China(No.51305421)